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专题04 三角函数
命题解读
考向
考查统计
高考对三角函数的考查，基础方面是
掌握三角函数的定义、同角三角函数
关系式和诱导公式。重点是三角恒等
变换和三角函数的图像、周期性、单
调性、奇偶性、对称性、最值等。三
角恒等变换位于三角函数与数学变换
的结合点上，高考会侧重综合推理能
力和运算能力的考查，体现三角恒等
变换的工具性作用，以及会有一些它
们在数学中的应用。这需要同学熟练
运用公式，进一步提高运用联系转化
的观点去处理问题的自觉性，体会一
般与特殊的思想、换元的思想、方程
的思想等数学思想在三角恒等变换中
的作用。
三角函数的图像与性质
2022·新高考Ⅰ卷，6
2023·新高考Ⅰ卷，15
2024·新高考Ⅰ卷，7
2022·新高考Ⅱ卷，9
2023·新高考Ⅱ卷，16
2024·新高考Ⅱ卷，9
三角恒等变换
2023·新高考Ⅰ卷，8
2024·新高考Ⅰ卷，4
2022·新高考Ⅱ卷，6
2023·新高考Ⅱ卷，7
2024·新高考Ⅱ卷，13
命题分析
2024 年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的
三角恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，
结合了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查
应关注：同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式
进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。预计2025 年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差
公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。
试题精讲
一、单选题
1．（2024 新高考Ⅰ卷·4）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
1
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【分析】根据两角和的余弦可求
的关系，结合
的值可求前者，故可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
而
，所以
，
故
即
，
从而
，故
，
故选：A.
2．（2024 新高考Ⅰ卷·7）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数
的的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
二、多选题
3．（2024 新高考Ⅱ卷·9）对于函数
和
，下列说法正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图像有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
2
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【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
三、填空题
4．（2024 新高考Ⅱ卷·13）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，
则
.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得
，再缩小
的范围，最后结合同角的
平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得
，
因为
，
，
则
，
，
又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
，
，
3
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则
故答案为：
.
一、单选题
1．（2022 新高考Ⅰ卷·6）记函数
的最小正周期为T．若
，且
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T 满足
，得
，解得
，
又因为函数图象关于点
对称，所以
，且
，
所以
，所以
，
，
所以
.
故选：A
2．（2023 新高考Ⅰ卷·8）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出
，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为
，而
，因此
，
则
，
4
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所以
.
故选：B
3．（2022 新高考Ⅱ卷·6）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：
,
即：
，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0 则sinα +cosα =0，取
，排除A, B；
再取α=0 则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β
，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
4．（2023 新高考Ⅱ卷·7）已知
为锐角，
，则
（ ）．
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
二、多选题
5．（2022 新高考Ⅱ卷·9）已知函数
的图像关于点
中心对称，则（ ）
A．
在区间
单调递减
B．
在区间
有两个极值点
C．直线
是曲线
的对称轴
D．直线
是曲线
的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：
，所以
，
，
即
，
又
，所以
时，
，故
．
对A，当
时，
，由正弦函数
图象知
在
上是单调递减；
对B，当
时，
，由正弦函数
图象知
只有1 个极值点，由
，解得
，即
为函数的唯一极值点；
对C，当
时，
，
，直线
不是对称轴；
6
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对D，由
得：
，
解得
或
,
从而得：
或
,
所以函数
在点
处的切线斜率为
，
切线方程为：
即
．
故选：AD．
三、填空题
6．（2023 新高考Ⅰ卷·15）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
7．（2023 新高考Ⅱ卷·16）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个
交点，若
，则
．
7
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【答案】
【分析】设
，依题可得，
，结合
的解可得，
，从而得
到
的值，再根据
以及
，即可得
，进而求得
．
【详解】设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．
因为
，所以
，即
，
．
所以
，
所以
或
，
又因为
，所以
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查根据图象求出
以及函数
的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．
一、三角函数基本概念
1、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧
度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：180°= π rad，
1°= π
180 rad
，
1rad=180°
π
．
（3）扇形的弧长公式：l=|α|⋅r ，扇形的面积公式：
S=1
2 lr =1
2|α|⋅r2
．
2、任意角的三角函数
8
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（1）定义：任意角α 的终边与单位圆交于点P(x ，y)时，则sinα=y ，cosα=x ，
tanα= y
x ( x≠0)
．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x ，y)是角α 终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O
的距离为r ，则
sinα= y
r ，
cosα= x
r ，
tanα= y
x ( x≠0)
三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象
限符号
第二象限
符号
第三象
限符号
第四象
限符号
sinα
R
＋
＋
－
－
cosα
R
＋
－
－
＋
tan α
{α| α≠kπ+ π
2 ，k ∈Z}
＋
－
＋
－
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α=1．
（2）商数关系：
sinα
cosα =tanα(α≠π
2 +kπ )
；
三、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k ∈Z)
π +α
−α
π−α
π
2 −α
π
2 +α
正弦
sinα
−sinα
−sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
−cosα
cosα
−cosα
sinα
−sinα
正切
tan α
tan α
−tanα
−tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作
；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断
所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当
为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当
为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
四、两角和与差的正余弦与正切
①
；
②
；
③
；
9
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五、二倍角公式
①
；
②
；
③
；
六、降次（幂）公式
知识点四：半角公式
七、辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中
）
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
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注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是
；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是
；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离
；
九、
与
的图像与性质
（1）最小正周期：
．
（2）定义域与值域：
，
的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设
．
①对于
，
②对于
，
（4）对称轴与对称中心．
假设
．
①对于
，
②对于
，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与
轴交点的
位置．
（5）单调性．
假设
．
①对于
，
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②对于
，
（6）平移与伸缩
由函数
的图像变换为函数
的图像的步骤；
方法一：
．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺
负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二：
．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期
后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量
而言
的，即图像变换要看“变量
”发生多大变化，而不是“角
”变化多少．
【三角函数常用结论】
1、利用sin2α+cos2α=1可以实现角α 的正弦、余弦的互化，利用
sinα
cosα =tanα
可以实现角α 的弦切互
化．
2、“sinα+cosα ，sinαcosα ，sinα−cosα ”方程思想知一求二．
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3、两角和与差正切公式变形
tanα±tan β=tan(α±β)(1∓tanα tan β)；
tanα⋅tan β=1−tanα+tan β
tan(α+β)
=tanα−tan β
tan(α−β)
−1
．
4、降幂公式与升幂公式
sin2α=1−cos2α
2
；cos2α=1+cos2α
2
；sinα cosα=1
2 sin2α
；
1+cos2α=2cos
2α ；1−cos2α=2sin
2α ；1+sin2α=(sinα+cosα)
2 ；1−sin2α=(sinα−cosα)
2
．
5、其他常用变式
sin2α= 2sinα cosα
sin2α+cos2α
= 2tanα
1+tan2α
；cos2α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
1+tan2α
；tan α
2 =sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
．
6、拆分角问题：①
；
；②
；③
；
④
；⑤
．
注意：特殊的角也看成已知角，如
．
7、关于三角函数对称的几个重要结论
（1）函数
的对称轴为
，对称中心为
；
（2）函数
的对称轴为
，对称中心为
；
（3）函数
函数无对称轴，对称中心为
；
（4）求函数
的对称轴的方法；令
，得
；对称中心的求取方法；令
，得
，即对称中心为
．
（5）求函数
的对称轴的方法；令
得
，即对称
中心为
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一、单选题
1．（2024·江苏南通·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】展开并同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得到关于
的方程，解出即可.
【详解】展开得
，
两边同时平方有
，
即
，解得
，
故选：B.
2．（2024·山东济南·三模）若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
故选：B
3．（2024·重庆·三模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出
，利用余弦二倍角公式求出答案.
【详解】因为
，所以
，
，
因为
，
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所以
，
所以
，
解得
或
舍，
则
故选：C
4．（2024·浙江·三模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式展开，即可得到
，再两边同除
，最后结合两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为
，
所以
，
即
，
即
，
两边同除
可得
，
所以
.
故选：C
5．（2024·河北保定·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出
，再结合二倍角公式即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
解得
或
（舍去），
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所以
．
故选：B.
6．（2024·湖北荆州·三模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由
，可得
，
可得
则
，
因为
，所以
与
异号，可得
为第二或第四象限，
当
为第二象限角时，可得
；
当
为第四象限角时，可得
.
故选：C.
7．（2024·山东青岛·三模）为了得到
的图象，只要把
的图象上所有的点
（ ）
A．向右平行移动
个单位长度
B．向左平行移动
个单位长度
C．向右平行移动
个单位长度
D．向左平行移动
个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数
的图象变换规律，得出结论．
【详解】
，
由诱导公式可知：
又
则
，即只需把图象向右平移
个单位.
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故选：A
8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数
，关于该函数有下列四个说法：
（1）函数
的图象关于点
中心对称
（2）函数
的图象关于直线
对称
（3）函数
在区间
内有4 个零点
（4）函数
在区间
上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于（1），由
，
所以
不是函数
的图象的对称中心，所以（1）错误；
对于（2）中，由
，
所以
不是函数
的图象的对称轴，所以（2）错误；
对于（3）中，令
，可得
，
当
时，可得
；当
时，可得
；当
时，可得
；
当
时，可得
，所以在
内，函数
有4 个零点，所以（3）正确；
对于（4）中，由
，可得
，此时函数
不是单调函数，所以（4）错误.
故选：A.
9．（2024·河北石家庄·三模）已知角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
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【分析】借助
对已知化简，可求出
的值，再由
可解.
【详解】因为
，即
，
所以
，
整理得
，变形得
，
所以
.
故选：C
10．（2024·重庆·三模）已知函数
的部分图像如图所示，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由图像以及题意求出
的解析式，从而得
，
，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.
【详解】由图可知
，由
可知
，
故
，又由图
，
故由图
，
①，
由图
，
②，
又
，结合①②可得
，故
，
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所以
.
故
.
故选：D.
11．（2024·安徽合肥·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由辅助角公式得
，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由
得
，即
，
所以
，
故选：D
12．（2024·江西九江·三模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，则原等式可化为
，化简后求出
即可.
【详解】令
，则
，
所以由
，
得
，
即
，
即
，得
，
所以
，
故选：C.
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13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是
的一个单调增区间
B．
是
的一个对称中心
C．
在
上值域为
D．将
的图象向右平移
个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为
【答案】C
【分析】化简函数由函数
，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，
即可求解.
【详解】由函数
，
对于A 中，当
，可得
，此时函数
不是单调函数，所以A 错误；
对于B 中，由
，所以函数
的一个对称中心为
，所以B 不正确；
对于C 中，由
，可得
，所以
，
所以
，即
，所以C 正确；
对于D 中，将
的图象向右平移
个单位，得到
，
再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为
，所以D 错误.
故选：C.
14．（2024·黑龙江·三模）已知函数
在区间
内恰有3 条对称轴，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
20
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【分析】根据条件得到
，利用
的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
又函数
在区间
恰有3 条对称轴，
所以
，解得
，
故选：D.
15．（2024·河北·三模）已知函数
在区间
内没有零点，则
周期的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出
的最大值，从而可求周期的最小值．
【详解】
，
令
得
，所以
，
，
因为
在区间
内没有零点，
所以，只需
且
，解得
，
令
得
，
得
，
因为
，所以
的取值范围
，
所以
周期的最小值是
，
故选：
．
二、多选题
16．（2024·山东威海·二模）已知函数
，则（ ）
21
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A．
在
上单调递减
B．将
图象上的所有点向左平移
个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称
C．
在
上有两个零点
D．
【答案】BCD
【分析】由
可知
的图象关于
对称，可判断AB；整体代入法求出函数零点即可判断
C；求出
，结合周期可判断D.
【详解】对于A，因为
，
所以
的图象关于
对称，所以
在
上不单调，A 错误；
对于B，由上知，
的图象关于
对称，
所以
的图象向左平移
个单位长度后得到的曲线关于y 轴对称，B 正确；
对于C，由
得函数
的零点为
，
令
，解得
，
所以
，即
在
上有两个零点，C 正确；
对于D，因为
，
，
，
所以
因为
的最小值周期
，
所以
，D 正确.
故选：BCD
17．（2024·云南昆明·三模）已知函数
的最小正周期大于
，若曲线
关于
22
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点
中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是函数
的一个极值点
D．
在
单调递增
【答案】ABC
【分析】由最小正周期大于
，关于点
中心对称，可知
，对于
，直接代入函数
解析式求解即可；对于
，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于
，通过求导，令导函数为，求得
的值，并判断
左右两端函数的单调性即可判断；对于
，通过求函数的单调递增区间即可求解.
【详解】因为
的最小正周期大于
，
所以
，即
，
又
关于点
中心对称，
所以
，
所以
，因为
，所以当
时，
，
所以
，
对于
，
，故
正确；
对于
，
，
由
且
是全体实数，所以
是偶函数，故
正确；
对于
，
，令
得
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
是函数
的极大值点，故
正确；
23
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对于
， 由
，
，
得
，
函数的单调递增区间为
，
，
当
时，
，
当
时，
，
显然函数在
上不单调，故
不正确.
故选：
.
18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为2
B．函数
的图象关于直线
对称
C．不等式
的解集为
D．若
在区间
上单调递增，则
的取值范围是
【答案】BCD
【分析】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由
，可求出对称轴方程判断，
对于C，由
求解即可，对于D，先由
求出
的递增区间，再
由
为函数增区间的子集可求出
的取值范围.
【详解】对于A，
的最大值为
，故A 错误；
对于B，令
，得
，
所以函数
的图象关于直线
对称，故B 正确；
对于C，不等式
可化为
，则
，解得
24
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，
因此原不等式的解集为
，故C 正确；
对于D，由
，
，解得
.
因为
在区间
上单调递增，所以
，
所以
，解得
，故D 正确.
故选：BCD
19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数
的部分图象如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
C．函数
在
上单调递增
D．方程
的解为
，
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，求出周期及
、
、
，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判
断即可.
【详解】对于A，由图可知，函数
的最小正周期为
，故A 正确；
25
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对于B，由
，所以
，
因为
，则
，则
，
因为
，则
，所以
，故B 正确；
对于C，
，由
，得
，
而
，即
时，
没有意义，故C 错误；
对于D，
，则
，
方程
，得
，
即
，即
，
所以
或
，因为
，
，
所以
或
，解得
或
，故D 正确.
故选：ABD.
20．（2024·河南·三模）已知函数
的最小正周期为
，则下列说法正确
的有（ ）
A．
的图象可由
的图象平移得到
B．
在
上单调递增
C．
图象的一个对称中心为
D．
图象的一条对称轴为直线
【答案】BD
【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到
，由图象平移的性质可得A 错误；
26
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由整体代入结合余弦函数的单调性可得B 正确；代入
可得C 错误；整体代入结合余弦函数对称轴的
性质可得D 正确；
【详解】
，
因为最小正周期为
，所以
，
所以
，
A：由以上解析式可得
的图象不可由
的图象平移得到，故A 错误；
B：当
时，
，
由余弦函数的单调性可得
在
上单调递增，故B 正确；
C：
，故C 错误；
D：当
时，
，此时
为最小值，
所以
图象的一条对称轴为直线
，故D 正确；
故选：BD.
21．（2024·广西钦州·三模）已知函数
，则下列命题正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．若
，则
D．将
的图象往右平移1 个单位长度后可以得到函数
的图象
【答案】AD
【分析】对于A，利用周期公式直接计算判断，对于B，将
代入函数验证，对于C，由
求
出
，再将
代入函数计算，对于D，根据三角函数图象变换规律分析判断.
【详解】对于A，
的最小正周期为
正确.
对于B，因为
，所以
的图象不关于直线
对称，
错误.
对于C，由
，得
，
27
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所以
，C 错误.
对于D，将
的图象往右平移1 个单位长度后可以得到函数
的图象，D 正确.
故选：AD
22．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数；
B．
是周期为
的周期函数；
C．
在
上单调递增；
D．
的最小值为
.
【答案】AD
【分析】利用偶函数的定义可判定A，利用周期的定义可判定B，利用复合函数的单调性可判定C，根据
周期性及单调性可判定D.
【详解】因为
，所以
是偶函数，故A 正确；
易知
，故B 错误；
当
时，
，
因为
，所以
在
上单调递减，
又
单调递增，所以
在
上单调递减，故C 错误；
易知
，所以
是周期为
的周期函数，
当
时，
，
显然
时
，
时
，
则
的最小值为
，故D 正确.
故选：AD
23．（2024·安徽芜湖·三模）已知
，下面结论正确的是（ ）
A．
时，
在
上单调递增
B．若
，且
的最小值为
，则
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C．若
在
上恰有7 个零点，则
的取值范围是
D．存在
，使得
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称
【答案】CD
【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断.
【详解】对于A，
，
当
时，
，
而
在
不单调，故A 是错误的；
对于B，
，由
的最小值为
，
则函数周期为
，所以
，解得
，故B 是错误的；
对于C，
在
上恰有7 个零点，结合正弦曲线可知，
，解得：
，故C 是正确的；
对于D，由
的图象向右平移
个单位长度后得到：
，由它关于
轴对称，可知：
，
解得：
，当
时，
，故D 是正确的；
故选：CD.
三、填空题
24．（2024·全国·二模）已知
，则
.
【答案】
/0.28
【分析】切化弦，然后整理可得
，再利用倍角公式计算即可.
【详解】
，
得
，
29
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解得
或
（舍）
所以
.
故答案为：
.
25．（2024·安徽合肥·三模）已知
，则
.
【答案】
【分析】利用两角和差的正切公式计算
，再使用二倍角的正切公式即可.
【详解】由
，
且
，
得
，
整理得
，
解得
（舍）或
，
所以
．
故答案为：
.
26．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
，则
．
【答案】
【分析】根据
结合两角差的余弦公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
.
30
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故答案为：
.
27．（2024·黑龙江·三模）已知
，则
.
【答案】
/
【分析】已知
，由两角和的余弦公式求得
，再由两角和的余弦公
式求
，倍角公式求
.
【详解】因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.
故答案为：
.
28．（2024·江西宜春·三模）已知
，且
，则
．
【答案】3
【分析】先结合二倍角的正切与两角和的正切公式及角
的取值范围，得到
，再利用倍角公式把
转化为齐次式求解.
【详解】由
，得
，
即
，又
，所以
，
从而
．
故答案为：3
29．（2024·北京·三模）已知函数
，若
是偶函数，则
；若圆面
恰好覆盖
图象的最高点或最低点共3 个，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据偶函数的对称性分析可知
，即可得结果；结合对称性可知圆面在y 轴右侧仅
31
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覆盖1 个
图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.
【详解】因为
是偶函数，则
，
且
，所以
；
可得
，设
的最小正周期为
，
因为
和
均关于y 轴对称，
可知圆面在y 轴右侧仅覆盖
图象的1 个最低点，
对于
，令
，解得
（不妨只考虑y 轴右侧，舍负）；
可得
，解得
，
且
，则
，解得
，
所以
的取值范围是
，
故答案为：
；
.
30．（2024·河北衡水·三模）已知
是函数
的一条对称轴，
在区间
内恰好存在3 个对称中心，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数的对称轴求出
，求出函数在原点附近的对称中心，由题意列不等式，即可求得答
案.
【详解】由题意知
是函数
的一条对称轴，
故
，解得
，
，因为
，故
，
32
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故
，令
，解得
，
原点附近的6 个对称中心分别为
，
若3 个对称中心恰好是
，
则
，则t 不存在，不合题意；
若3 个对称中心恰好是
，
则
，则
；
故当
时，符合题意．
故t 的取值范围为
，
故答案为：
31．（2024·安徽合肥·三模）已知函数
在区间
上只有一个零
点和两个最大值点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先将
化简为
，再根据
在区间
上只有一个零点和两个最大值点，结
合正弦型三角函数的处理办法求出
的取值范围.
【详解】
，
由
，
，得
，
时，
，
最大时，
也最大，
33
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若
在区间
上只有一个零点和两个最大值点，
则只需
，解得
．
故答案为：
.
32．（2024·江西九江·三模）已知函数
在区间
上有且仅有三个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】令
，然后由
的范围求出的范围，再结合正弦函数
的性质可求出
的取值范围
【详解】令
，
，
，
问题转化为函数
在区间
上有且仅有三个零点，
，解得
.
故答案为：
33．（2024·湖北荆州·三模）设
，
，
，若满足条件的
与
存在
且唯一，则
，
.
【答案】
1
【分析】由
得到
，再结合
，利用
，
得到
，
，从而
，再由满足条件的
与
存在且唯一，得到
唯一，从而
，求得m 即可.
【详解】解：由
，得
，即
，
因为
，
，所以
，
，
又
，所以
，
34
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从而
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
因为满足条件的
与
存在且唯一，所以
唯一，
所以
，所以
，经检验符合题意，
所以
，
则
，
解得
，
所以
.
故答案为：
，1
【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出
，求出
，由此即可顺利得解.
35
