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专题04 数学文化背景下的高考数学之三角函数
背景1：智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪
芯片生成的声波来抵消噪声．
背景2：《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多
代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明
背景3：魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576 边形，求出圆周率
约等于
，和
相比，其
误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．
背景4：我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三
斜求积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，
一为从隅，开平方得积.
背景5：我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距
的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.
背景5：《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股
定理，亦称商高定理
三角函数知识归纳总结：
1：三角函数基本概念
角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，构成的角的集合是S={β|β=k⋅360°+α ，k∈Z}．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，
就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
1
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弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的
弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：180°= π rad，
1°= π
180 rad
，
1rad=180°
π
．
（3）扇形的弧长公式：l=|α|⋅r ，扇形的面积公式：
S=1
2 lr =1
2|α|⋅r2
．
任意角的三角函数
（1）定义：任意角α 的终边与单位圆交于点P(x ，y)时，则sinα=y ，cosα=x ，
tanα= y
x ( x≠0)
．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x ，y)是角α 终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点
O 的距离为r ，则
sinα= y
r ，
cosα= x
r ，
tanα= y
x ( x≠0)
三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象
限符号
第二象限
符号
第三象
限符号
第四象
限符号
sinα
R
＋
＋
－
－
cosα
R
＋
－
－
＋
tan α
{α| α≠kπ+ π
2 ，k ∈Z}
＋
－
＋
－
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
三角函数线
如下图，设角α 的终边与单位圆交于点P，过P 作PM⊥x 轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与
α 的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线
有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线
2.同角三角函数基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α=1．
（2）商数关系：
sinα
cosα =tanα(α≠π
2 +kπ )
；
2
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3.三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k ∈Z)
π +α
−α
π−α
π
2 −α
π
2 +α
正弦
sinα
−sinα
−sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
−cosα
cosα
−cosα
sinα
−sinα
正切
tan α
tan α
−tanα
−tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数
，
的图象中，五个关键点是：
．
3
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5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
6.
与
的图像与性质
（1）最小正周期：
．
（2）定义域与值域：
，
的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设
．
①对于
，
②对于
，
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
4
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（4）对称轴与对称中心．
假设
．
①对于
，
②对于
，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与
轴交点的
位置．
（5）单调性．
假设
．
①对于
，
②对于
，
（6）平移与伸缩
由函数
的图像变换为函数
的图像的步骤；
方法一：
．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想
欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
5
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方法二：
．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周
期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量
而言
的，即图像变换要看“变量
”发生多大变化，而不是“角
”变化多少．
7.两角和与差的正余弦与正切
①
；
②
；
③
；
8.二倍角公式
①
；
②
；
③
；
9.降次（幂）公式
10.辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
11.基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
6
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公式
；
；
．
常见变形
（1）
，
，
；
（2）
，
，
；
；
；
．
（2）面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
12.相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）
内角和定理：
①
同理有：
，
．
②
；
③斜三角形中，
④
；
⑤在
中，内角
成等差数列
1 借助数学文化考查正余弦函数的图像与性质
7
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智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生
成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是
，通过主动降噪芯片生成的声波曲线
是
（其中
），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即
，
，
即
，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是
，
即
，
因为
，所以令
，即
，
故选：C
变式1.数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声等都可以
归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到
如图所示的图象，对应的函数解析式是
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
8
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【解析】由图象可知，函数
的最小正周期为
，
则
，所以
．
因为
，且函数
在
附近单调递增，
所以
，则
，
因为
，所以
．
故选：C．
变式2.（多选）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数
.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
为
的最小正周期
C．
为
曲线的对称轴
D．
为曲线
的对称中心
【答案】BD
【解析】对于A：若
的最大值为
，则
与
同时取得最大值，
当
取得最大值时，
，可得
取不到
，
若
取得最大值
时，
，此时
，
而
取不到，所以
与
不可能同时取得最大值，故选项A
不正确；
对于B：因为
的最小正周期是
，
的最小正周期是
，
且
，
9
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所以
为
的最小正周期，故选项B 正确；
对于C：
，
，
所以
不恒成立，即
，所以
不是
曲线
的对称轴，故选项C 不正确；
对于D：
，
所以
对于任意的
恒成立，所以
为曲线
的对称中心，故选项D 正确；
故选：BD.
2 借助数学文化考查两角和与差的正弦、余弦正切公式
《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的
公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，这种证明方式优雅而直观.观察图形可知，阴
影直角三角形的短直角边为
或
，所以该图直观地反映了公式
.通过观察图中阴影直角三角形长直角边和长方形的宽，可得公式（
）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【解析】图中阴影直角三角形长直角边为
，长方形的宽为
，
显然二者相等，所以有
.
故选：D.
变式1.古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过图来构造无理数
．记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知
，
，
，
，
所以
故选：B
变式2.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距
的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度
等于表高与太阳天顶距
正切值的乘积，即
.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳
天顶距分别为
、
，若第一次的“晷影长”是“表高”的倍，且
，则第二次的“晷影
长”是“表高”的（ ）倍
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设第
次的“晷影长”是，“表高”为
，
由题意可知
，又因为
，
则
，
故
.
故选：B.
3 借助数学文化考查二倍角公式
魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576 边形，求出圆周率
约等于
，和
相比，其误差小于
八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知
的近似值还可以表示成
，则
的值约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将
代入
，
可得
12
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.
故选：C.
变式1.我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正
边形随着边数
的无限增大，圆的内接正
边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率
的近似值．如图当
时，圆内接正六边形的周长为
，故
，即
．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的
是（ ）
A．
时，
B．
时，
C．
时，
D．
时，
【答案】A
【解析】设圆的内接正十二边形被分成
个如图所示的等腰三角形，其顶角为
，即
，
作
于点
，则
为
的中点，且
，
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因为
，在
中，
，即
，
所以，
，则
，
所以，正十二边形的周长为
，所以，
.
故选：A.
变式2.我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，
以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072
边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n 边形与圆内接正
边形分别计算出的
圆周率的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于正n 边形，其圆心角为
，面积为
，对于正
边形，其圆心角为
，
面积为
，由此可得，
.
故选：B.
4 借助数学文化考查解三角形面积公式
我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三斜求
积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为
从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问
14
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题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13，14，15，则该三角形田地的面积是（ ）
A．84
B．168
C．79
D．63
【答案】A
【解析】依题意设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，且
，则三角形面积公式为
，又
，
，
，所以
故选：A
变式1.九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方
法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一
为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是
，其中a，b，c 分别是
△ABC 的内角A，B，C 的对边，S 是△ABC 的面积，在△ABC 中，若
，
，
，则△ABC 的内切圆
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
，
所以
．
△ABC 的周长
，
设△ABC 的内切圆半径为r，
由
，解得
．
所以△ABC 的内切圆的面积为
．
故选：C．
5 借助数学文化考查正余弦定理
《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，
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亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1 的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形
是
由4 个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.
现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2 中，若
，
，G，F 两点
间的距离为
，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9
B．4
C．3
D．8
【答案】B
【解析】由条件可得
.
在
中，由余弦定理得
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为
，
∴面积为4.
故选：B
变式1.斯特瓦尔特（Stewart）定理是由
世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．
根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，点
在边
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上，且
，则
．已知
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，
，
，点
在
上，且
的面积与
的面积之比为
，
则
______．
【答案】
##
【解析】由
及正弦定理可得
，
，则
，所以，
，则
，
，故
，
，
，由余弦定理可得
，
，则
，故
，
由斯特瓦尔特定理可得
，
因此，
.
故答案为：
.
变式2.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，
直径
，需要剪去四边形
，可以经过对折、沿
裁剪、展开就可以得到．
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已知点
在圆上且
．要使得镂空的四边形
面积最小，
的长应为_____
．
【答案】
##
【解析】如图，连接
，作
于
，由题意，
，故
，所以
.
设
则由面积公式，
，即
.由余弦定理
，结合基本不等式
，即
，当且仅当
时取等号.
故
取最小值时
，此时
.
故
.
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故答案为：
1．在3 世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割
之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视
为将一个圆内接正
边形等分成
个等腰三角形（如图所示），当
越大，等腰三角形的面积之和越近似
等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为
，底边约为
，
由题意得
，
故选：C
2．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l 与太阳天顶距θ（
）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l
等于表高h 与太阳天顶距θ 正切值的乘积，即
.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳
天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3 倍，且
，则第二次的“晷影
长”是“表高”的（ ）
A．1 倍
B．
C．
倍
D．
倍
【答案】A
【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的3 倍得，
，
又
，
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所以
，
故第二次的“晷影长”是“表高”的1 倍.
故选：A.
3．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在农业生产中得到使用 (图 1)，
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图 2).现有一个半径为 3 米的筒车
按逆时针方向每分钟旋转 1 圈， 筒车的轴心距离水面的高度为 2 米， 设筒车上的某个盛水筒
到
水面的距离为
(单位: 米) (在水面下则
为负数)， 若以盛水筒
刚浮出水面为初始时刻， 经
过 秒后， 下列命题正确的是（ ）(参考数据:
)
①
， 其中
， 且
，
②
， 其中
， 且
，
③当
时， 盛水筒
再次进入水中，
④当
时， 盛水筒
到达最高点.
A．①③
B．②③
C．②④
D．①④
【答案】C
【解析】根据题意作出示意图，如图所示，其中
为筒车的轴心的位置，
为水面，过
作
于点
，
为筒车经过秒后的位置，连接
，过
作
于点
，筒车的角速度为
，
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由题意可知
，
，
所以
,
所以
，
因为
，
所以
，其中
， 且
，所以①错误，②正确，
对于③，当
时，
，
，
，所以
，故盛水筒
没有进入水中，所以③错误，
对于④，当
时，
，
，即
，所以
，所以盛水筒
到达最高点，所以④正确，
故选：C
4．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图
（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确
性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA 延长至D）得到图2．在图2 中，若
，
，D，E 两点间的距离为
，则弦图中小正方形的边长为（ ）
21
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A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】连接
，由条件可得
，在
中，由余弦定理得
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
所以弦图中小正方形的边长为
．
故选：C
5.破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为
边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角
形称为拿破仑三角形）的顶点”.在
中，已知
，且
，现以
，
，
为
边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为
，
，
，则
的面积最大值为（ ）
22
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A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】设
的三个内角
，
，
的对边分别为
，
，.
连接
，则由题设得，
，
因为以
，
，
为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为
，
，
，
所以
，
，
所以
在
中，由余弦定理可得
即
又
，∴
即
（等号当
时成立），
由题意可得
为等边三角形，
故
故选：B
6．（多选）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函
数：定义
为角
的正矢，记作
；定义
为角
的余矢，记作
.给出下列结论正
确为（ ）
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A.函数
在
上单调递增；
B.若
，则
；
C.若
，则
的最小值为0；
D.若
，则
的最小值为
.
【答案】BCD
【解析】因为
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故A 错误；
因为
，
所以
，故B 正确；
，
令
，则
，
所以
，所以
，故C 正确；
因为
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
7．（多选）几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（
）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五
角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形
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的边长为
，正五边形
的边长为
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．B．
C．
D．对任意的
，
【答案】ACD
【解析】依题意
，即
，
在
中，由正弦定理可得
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
即
，
，
，故A 正确；
又
，
，
，
、
，
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所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，故C 正确，B 错误；
因为
，所以
，则
，
所以
，故D 正确；
故选：ACD
8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图
画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运
动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120 秒，当
时，盛水
筒M 位于点
，经过t 秒后运动到点
，点P 的纵坐标满足
，则当筒车旋转100 秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为
____________．
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【答案】
【解析】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120 秒，
所以
，得
，
所以
，
因为当
时，盛水筒M 位于点
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，得
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以当筒车旋转100 秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为
，
故答案为：
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9.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，
它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其
中a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的
面积
．
【答案】
.
【解析】因为
，所以
．
故答案为：
10．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒
尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承
之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，
伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张
衡地动仪的结构图，现要在相距200km 的A，B 两地各放置一个地动仪，B 在A 的东偏北60°方向，若A
地动仪正东方向的铜丸落下，B 地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A 地正东________________km.
【答案】
【解析】如图，设震源在C 处，则
，则由题意可得
，根据正弦定理可
得
，又
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所以
，
所以震源在A 地正东
处.
故答案为：
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