文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
4.4 三角函数诱导公式（讲义）
目录
1
知识点01 大角化小角................................................................................2
2
知识点02 诱导公式....................................................................................2
3
知识点03 常用的诱导公式........................................................................3
4
题型一、利用诱导公式求值.....................................................................3
5
题型二、给值求值.....................................................................................6
6
题型三、化简求值.....................................................................................9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
1 知识点01 大角化小角
(1) 大角：大于π
2 的角为大角，例如π
6 ，π
4 ，π
3
小角：小于π
2 的角为小角，例如2π
3 ，3 π
4 ，5 π
6
(2) 将三角函数式中的角统一写作k ⋅π
2 ±α，当α未知时，将α视为锐角
(3) 例如：
2 知识点02 诱导公式
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
(1)
奇变偶不变
①奇变：在大角化小角的公式中，当k为奇数时，函数名需要改变，即：
若函数名原来为正弦，则需要变为余弦；若函数名原来为余弦，则需要变为正
弦
②偶不变：在大角化小角的公式中，当k为偶数时，函数名不能改变，
即：若函数名原来为正弦，则依旧为正弦；若函数名原来为余弦，则依旧为余
弦
(2)
符号看象限
通过判断角的终边在哪个象限，判断原三角函数值的正负，最终确定
方法二
k =2，α =−π
4
3 π
4 = π −π
4
k =1，α = π
4
3 π
4 = π
2 + π
4
在sin 3 π
4 中
方法一
方法二
k =2，α =−π
6
5 π
6 = π −π
6
k =1，α = π
3
5 π
6 = π
2 + π
3
在cos 5 π
6 中
方法一
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所求结果的正负
3 知识点03 常用的诱导公式
(1)
诱导公式一
sin (π +α )=−sin α
sin (π −α )=sin α
sin (2π +α )=sin α
sin (2π −α )=−sin α
(2)
诱导公式二
sin(
π
2 +α)=cosα
sin(
π
2 −α)=cosα
sin(
3 π
2 +α)=−cosα
sin(
3 π
2 −α)=−cosα
(3)
诱导公式三
cos(π +α )=−cosα
cos(π −α )=−cosα
cos(2π +α )=cosα
cos(2π −α )=cosα
(4)
诱导公式四
cos(
π
2 +α)=−sinα
cos(
π
2 −α)= sinα
cos(
3 π
2 +α)= sinα
cos(
3 π
2 −α)=−sinα
(5)
诱导公式五
tan (π +α )= tan α
tan (π −α )=−tan α
tan (2π +α )= tan α
tan (2π −α )=−tan α
4 题型一、利用诱导公式求值
1．sin300° =（ ）
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．1
2
B．−1
2
C．√3
2
D．−√3
2
【答案】D
【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】sin300° =sin (360°−60°)=−sin 60° =−√3
2 .
故选：D.
2．tan(−2π
3 )=（ ）
A．−√3
3
B．√3
3
C．−√3
D．√3
【答案】D
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】tan(−2π
3 )= tan(
π
3 −π)= tanπ
3 =√3.
故选：D
3．cos 26π
3
的值为（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．√3
2
D．−√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式可得出所求代数式的值.
【详解】cos 26π
3
=cos(9π−π
3 )=−cosπ
3 =−1
2．
故选：B.
4．cos(−π
3 )=（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−√3
2
D．√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案.
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】cos(−π
3 )=cosπ
3 = 1
2.
故选：B
5．cos855
∘的值是（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．√2
2
D．−√2
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式求值.
【详解】
cos855
∘=cos(720
∘+135
∘)=cos135
∘=cos(180
∘−45
∘)=−cos 45
∘=−√2
2 .
故选：D
6．sin2025
∘的值是（ ）
A．−√2
2
B．√2
2
C．√3
2
D．−√3
2
【答案】A
【分析】根据诱导公式求值.
【详解】sin 2025
∘ =sin(5×360
∘+225
∘) =sin 225
∘
=sin(180
∘+ 45
∘) =−sin 45
∘ =−√2
2 .
故选：A
7．tan(180°+60°)+sin(270°+30°)=（ ）
A．−√3
2
B．√3
2
C．−3√3
2
D．3√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】tan(180
∘+60
∘)+sin(270
∘+30
∘)= tan 60
∘−cos30
∘=√3−√3
2 = √3
2 .
故选：B.
8．sin3720° =（ ）
A．1
2
B．√3
2
C．−1
2
D．−√3
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】B
【分析】由诱导公式化简即可直接得答案．
【详解】sin3720° =sin (10×360°+120°)=sin120° = √3
2 ．
故选：B.
9．cos330
∘+tan600
∘=（ ）
A．1−√3
2
B．1+√3
2
C．√3
2
D．3√3
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简即可求出.
【详解】cos330
∘+tan600
∘=cos(360
∘−30
∘)+tan(360
∘+180
∘+60
∘)
=cos(−30
∘)+tan(180
∘+60
∘)
=cos30
∘+tan60
∘
= √3
2 +√3= 3√3
2 ,
故选：D
10．2cos(−840
∘)=（ ）
A．−√3
B．−1
C．1
D．√3
【答案】B
【分析】利用诱导公式求解即可
【详解】2cos(−840
∘)=2cos840
∘=2cos(360
∘×2+120
∘)=2cos120
∘=−1.
5 题型二、给值求值
1．已知sinα = 2
3，则cos(α +π
2 )=（ ）
A．2
3
B．−2
3
C．√5
3
D．−√5
3
【答案】B
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】因为sinα = 2
3，所以cos(α +π
2 )=−sinα =−2
3.
故选：B
2．若角α的终边过点P(1,−√2)，则sin(α + π
2)=（ ）
A．√3
3
B．√6
3
C．−√3
3
D．−√6
3
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角α的终边过点P(1,−√2)，
所以cosα =
1
√1
2+(−√2)
2 = √3
3
，
所以sin(α +π
2 )=cosα = √3
3 .
故选：A
3．已知角α ∈(
π
2 ,π)，且sinα = 2
3，则cos(α +π
2 )=（ ）
A．2
3
B．−2
3
C．√5
3
D．−√5
3
【答案】B
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为sinα = 2
3，所以cos(α +π
2 )=−sinα =−2
3.
故选：B
4．若cosα =m，则cos(−α )=（ ）
A．m
B．−m
C．|m|
D．m
2
【答案】A
【分析】运用诱导公式化简即可.
【详解】cos(−α )=cosα =m，
故选：A．
5．已知tan(π −x)= 1
3，x为第二象限角，则cos x =（ ）
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．√10
10
B．−√10
10
C．3√10
10
D．−3√10
10
【答案】D
【分析】根据诱导公式计算可得tan x =−1
3，结合同角的三角函数关系建立
方程组，解之即可求解.
【详解】由tan(π−x)=−tan x = 1
3，得tan x =−1
3，
∵ x是第二象限角，
∴¿，解得cos x =−3√10
10
.
故选：D
6．已知sin(π + x)=−1
2，则tan x =（ ）
A．± √3
3
B．√3
3
C．±√3
D．√3
【答案】A
【分析】首先利用诱导公式求得sin x，再利用sin
2 x +cos
2 x =1，求得cos x，
利用商数关系得答案.
【详解】解：sin(π + x)=−sin x =−1
2 ⇒sin x = 1
2，
则cos x =±√1−sin
2 x =± √3
2 ，
则tan x =sin x
cos x =± √3
3 .
故选：A.
7．已知sinα = 1
2，则sin(2π+α )=（ ）
A．√3
2
B．1
2
C．−1
2
D．−√3
2
【答案】B
【分析】根据诱导公式计算即可.
【详解】因为sinα = 1
2，则sin(2π+α )=sinα = 1
2.
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故选：B.
8．已知sin(
3π
2 +α)= 2
7
，则cosα =（ ）
A．−2
7
B．−5
7
C．2
7
D．5
7
【答案】A
【分析】根据诱导公式化简即可求解.
【详解】由诱导公式可得sin(
3
2 π+α)=−sin(
π
2 +α)=−cosα = 2
7
，则
cosα =−2
7.
故选：A.
9．若cos(π
6 +α )= 1
3，则cos( 5 π
6 −α )=（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．−2√2
3
D．2√2
3
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解.
【详解】由cos(π
6 +α )= 1
3，得
cos( 5 π
6 −α )=cos[ π −( π
6 +α )]=−cos( π
6 +α )=−1
3.
故选：A
10．若cos(α +π
6 )= 3
5，则sin(
π
3 −α)=（ ）
A．−4
5
B．4
5
C．−3
5
D．3
5
【答案】D
【分析】利用诱导公式以及整体带入思想即可求得结果.
【详解】因为(α +π
6 )+(
π
3 −α)=π
2 ，所以
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
sin(
π
3 −α)=sin[
π
2 −(α +π
6 )]=cos(α +π
6 )= 3
5
，
故选：D.
11．已知cos(53
∘−α )= 1
5，则cos(127
∘+α )=（ ）
A．± 1
5
B．2√6
5
C．1
5
D．−1
5
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简即得.
【详解】由cos(53
∘−α )= 1
5，得
cos(127
∘+α )=cos[180
∘−(53
∘−α )]=−cos(53
∘−α )=−1
5.
故选：D
12．若cos(
π
3 −θ)=−1
2，则sin(θ+π
6 )的值为（ ）
A．1
2
B．√3
2
C．−√3
2
D．−1
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】若cos(
π
3 −θ)=−1
2，则
sin(θ+π
6 )=sin[
π
2 −(
π
3 −θ)]=cos(
π
3 −θ)=−1
2
.
故选：D.
6 题型三、化简求值
1．已知tan a=−2，则
cos(
π
2 +a)
sin (π−a)−sin(
3π
2 −a)
＝（ ）
0
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．−2
3
B．2
3
C．−2
D．2
【答案】C
【分析】根据条件，利用诱导公式及齐次式，即可求解.
【详解】因为tan a=−2，所以
cos(
π
2 +a)
sin (π−a)−sin(
3π
2 −a)
=
−sinα
sinα +cosα = −tanα
1+tanα =
2
1−2 =−2，
故选：C.
2．已知cos(
3π
2 −α)
cos(π+α )
=−2
，则2sinα +cosα
sinα −cosα
=（ ）
A．1
B．−1
C．5
D．−5
【答案】A
【分析】先根据诱导公式求出tanα =−2，然后将所求式2sinα +cosα
sinα −cosα 化弦
为切代值计算即得.
【详解】cos( 3 π
2 −α )
cos(π +α ) = −sinα
−cosα =tanα =−2，
则2sinα +cosα
sinα −cosα
=
2sinα
cosα +1
sinα
cosα −1
= 2tanα +1
tanα −1 =1.
故选：A.
3．已知tan α =−2，则
cos(
π
2
+α)
sin(π−α )−sin(
3π
2
−α)
=（ ）
A．−2
3
B．2
3
C．−2
D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】
cos(
π
2
+α)
sin(π−α )−sin(
3π
2
−α)
=
−sin α
sin α +cosα
= −tan α
tan α +1 =
2
−2+1 =−2.
故选：C
4．若tanα =−4，则sin(π−α )
cosα
=（ ）
A．4
B．1
4
C．−4
D．−1
4
【答案】C
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的商数关系化简可得结果.
【详解】sin(π−α )
cosα
=sinα
cosα =tanα =−4.
故选：C.
5．若tan (α −π)= 1
2，则
cosα
2sin α −3cosα =（ ）
A．−1
4
B．1
C．−1
2
D．−1
4或−1
2
【答案】C
【分析】根据诱导公式可得tanα = 1
2，化弦为切即可求解.
【详解】由题意得，tan(α −π)=tanα = 1
2，
则
cosα
2sinα −3cosα =
1
2tanα −3 =
1
2× 1
2 −3
=−1
2.
故选: C.
6．设tan(5π+α )=m(α ≠k π+ π
2 ，k ∈Z)，则sin(α −3π)+cos(π−α )
sin(−α )−cos(π+α )
的
值为（ ）
A．m+1
m−1
B．m−1
m+1
C．−1
D．1
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】A
【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再利用弦化切，代入即可求解．
【详解】解：∵tan(5π+α )=m，
∴tanα =m，又sin (α −3π)=−sin (3π−α )=−sin (π−α )=−sin α
所以原式= −sin α −cosα
−sin α +cosα = −tan α −1
−tan α +1 = −m−1
−m+1 = m+1
m−1，
故选：A．
7．已知锐角α满足
1
cos
2(π+α )
+
3
sin(
3π
2 −α)
= 4
．则
1
cosα =（ ）
A．−1
B．4
C．1
2
D．2
【答案】B
【分析】利用诱导公式对给定条件化简，再结合换元法求解即可.
【详解】因为
1
cos
2(π+α )
+
3
sin(
3π
2 −α)
= 4
，
所以
1
cos
2α
−
3
cosα = 4，因为α是锐角，所以cosα >0，
令
1
cosα =t >0，则t
2−3t −4 =0，解得t = 4或t =−1，
当t =−1时，不符合题意，故舍去，当t = 4时，符合题意，故B 正确.
故选：B
8．已知tanα =2，则
−sin(−α )+2sin(
π
2 +α)
3sin(
3π
2 +α)+sin(π−α )
的值为（ ）
A．−4
B．0
C．4
5
D．4
【答案】A
【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】因为tanα =2，则
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
−sin(−α )+2sin(
π
2 +α)
3sin(
3π
2 +α)+sin(π−α )
= sin α +2cosα
sin α −3cosα =
sin α +2cosα
cosα
sin α −3cosα
cosα
= tan α +2
tan α −3 = 2+2
2−3 =−4.
故选：A.
9．已知
f ( x)=
sin(
π
2 −x)cos(
3π
2 + x)tan(π−x)
cos(3π−x)sin(π−x)
，若f (α )=−2，则
sin α cosα +1
cos
2α +sin α cosα
=（ ）
A．3
B．−3
C．2
D．−2
【答案】B
【分析】由诱导公式化简函数f (x)，由f (α )=−2，得到tan α的值，将所求
代数式转换为齐次式后分子分母同除cos
2α，然后代入tan α的值即可得到答案.
【详解】
f ( x)=
sin(
π
2 −x)cos(
3π
2 + x)tan(π−x)
cos(3π−x)sin(π−x)
= cos x⋅sin x⋅(−tan x)
(−cos x)sin x
= tan x
，
∴f (α )= tan α =−2，
sin α cosα +1
cos
2α +sin α cosα
= sin α cosα +sin
2α +cos
2α
cos
2α +sin α cosα
= tan α + tan
2α +1
1+ tan α
= −2+ 4 +1
1−2
=−3
.
故选：B
10．已知tan β =−4
3
，则
−4cos(3π−β)+3cos(
π
2 + β)
2sin(
3π
2 −β)−sin(π+ β)
=（ ）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．4
B．0
C．−12
5
D．−25
11
【答案】C
【分析】利用诱导公式先对所求式子化简，再利用弦化切即可求得结果.
【详解】
−4cos(3π−β)+3cos(
π
2 + β)
2sin(
3π
2 −β)−sin(π+ β)
=
−4 cos(π−β)−3sin β
−2cos β +sin β
= 4 cos β −3sin β
−2cos β +sin β = 4−3 tan β
−2+ tan β
=
4−3×(−4
3)
−2+(−4
3)
=−12
5
.
故选：C
11．已知角α的终边经过点P(√5,−2)，则
sin(6π−α )cos(5π+α )cos(
π
2 +α)
cos(3π−α )sin(−π−α )sin(
3π
2 +α)
的值为（ ）
A．−2√5
5
B．−√5
2
C．2√5
5
D．√5
2
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得sin α，cosα的值，再利用诱导公式进行
化简求值.
【详解】因为角α的终边经过点P(√5,−2)，
所以sin α =
−2
√(√5)
2+(−2)
2 =−2
3
，cosα =
√5
√(√5)
2+(−2)
2 = √5
3
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
sin(6π−α )cos(5π+α )cos(
π
2 +α)
cos(3π−α )sin(−π−α )sin(
3π
2 +α)
= −sin α(−cosα )(−sin α )
−cosα sin α(−cosα )
=−sin α
cosα =−
−2
3
√5
3
= 2√5
5 .
故选：C.
6
