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专题06 解三角形及应用
易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）
1．方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
．
技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦
定理能够解决两类问题
问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。
1
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问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间
内不严格格单调，
此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
题设三角形中，已知一个角A 和两个边a,b ，判断三角形个数，遵循以下步骤
第一步：先画一个角并标上字母A
第二步：标斜边（非对角边）⇒b
第三步：画角的高，然后观察（a,bsin A ）
易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解
的个数.
例 ．设
的内角
所对的边分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为钝角三角形
C．若
，则符合条件的
有两个
D．若
，则
为等腰三角形或直角三角形
变式1．在
中，内角
所对的边分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，且
，则
为等边三角形
C．若
，则
是等腰三角形
D．在
中，
，则使
有两解的
的范围是
变式2．在
中，内角
的对边分别为
．则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则角
为钝角
2
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C．若
均不为直角，则
D．若
，则
唯一确定
变式3．在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，，下列叙述正确的是（ ）
A．若
，
，
，则满足条件的三角形有且只有一个
B．若
，则
为钝角三角形
C．若
，则
为等腰三角形
D．若
不是直角三角形，则
1．在
中，已知
，
，若
有唯一值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，角
所对的边为
，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若
，则
为等腰直角三角形
B．若
，则
C．若
，则符合条件的
有两个
D．在锐角三角形
中，不等式
恒成立
3．在
中，角
所对的边分别为
，以下说法中正确的是（ ）
A．若
，则
3
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B．若
，则符合条件的三角形有一个
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
，则
直角三角形
4．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，
，则
有两解
C．若
为钝角三角形，则
D．若
，则此三角形为等腰三角形
5．对于△ABC，有以下判断，其中正确的是（ ）
A．若
，则△ABC 为等腰三角形
B．若
，则
C．若
，
，
，则符合条件的三角形有两个
D．若
，则△ABC 是锐角三角形
6．对于
，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若
，则
为等腰三角形
B．若
，则
C．若
，则符合条件的
有两个
D．若
，则
是钝角三角形
7．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
为等腰三角形
D．若
，
，
，则
只有一解
8．已知
的内角
的对边分别为
则下列说法正确的是（ ）
4
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A．若
，则
有一个解
B．若
，则
有两个解
C．若
，则
为等腰三角形
D．若
，则
为钝角三角形
9．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，
，则
有两解
C．若
为钝角三角形，则
D．若
，
，则
的面积是3
10．
的内角
的对边分别为
、，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
有两解
C．若
为钝角三角形，则
D．若三角形
为斜三角形，则
11．对于
中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若
，
，
，则符合条件的
有两个
B．若
，则
为等腰三角形或直角三角形
C．若
，则
的最小值为
D．若点
在
所在平面且
，
，则点
的轨迹
经过
的外心
易错点二：解三角形时，出现类似于sin2A=sin2B 易漏解（解三角形问
题）
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《正弦定理》
①正弦定理：
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R
②变形：
sin A
sin B =a
b ,sin B
sinC =b
c ,sinC
sin A =c
a
③变形：a:b:c=sin A :sin B:sinC
④变形：
a+b+c
sin A+sin B+sinC =
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC
⑤变形：asinB=bsin A ,asinC=csin A ,bsinC=csinB
《余弦定理》
①余弦定理：b2+c2−a2=2bc cos A ,a2+c2−b2=2ac cosB,a2+b2−c2=2ab cosC
②变形：cos A=b2+c2−a2
2bc
,cosB=a2+c2−b2
2ac
,cosC=a2+b2−c2
2ab
核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?
⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角
⑵当每一项都有角《sin》且次数一样时，采用角化边
⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题
⑷当每一项都有角《sin》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可
三角形面积公式
①SΔABC =1
2 ab sinC ,SΔABC =1
2 ac sin B,SΔABC =1
2 bc sin A
②SΔ ABC =1
2 r (a+b+c)=1
2 rl
其中r ,l 分别为Δ ABC 内切圆半径及Δ ABC 的周长
推导：将Δ ABC 分为三个分别以Δ ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积
法即可得到上述公式
6
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③SΔABC =2R2sin Asin BsinC=abc
4 R （R 为Δ ABC 外接圆的半径）
推导：将a=2 Rsin A 代入SΔABC =1
2 a2sin BsinC
sin A
可得SΔABC =2 R2sin A sin BsinC
将a=2Rsin A ,b=2RsinB，c=2RsinC 代入SΔABC =2 R2sin A sin BsinC
可得SΔABC =abc
4 R
④SΔABC =1
2 a2sin BsinC
sin A
,SΔABC =1
2 b2sin AsinC
sin B
,SΔABC =1
2 c2sin Asin B
sinC
⑤海伦公式SΔ ABC =√p( p−a)( p−b)( p−c)（其中p=1
2
(a+b+c)
）
推导：根据余弦定理的推论cosC=a2+b2−c2
2ab
∴SΔABC =1
2 ab sinC=1
2 ab √1−cos2C=1
2 ab√
1−(
a2+b2−c2
2ab )
2
⇒1
4 √(2ab )2−(a2+b2−c2)
2= 1
4 √(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
令p=1
2
(a+b+c)
，整理得SΔ ABC =√p( p−a)( p−b)( p−c)
正规方法：面积公式+基本不等式
①{
S=1
2 ab sinC
a2+b2−c2=2ab cosC
⇒a2+b2=2ab cosC+c2≥2ab ⇒ab ≤
c2
2(1−cosC )
②{
S=1
2 ac sin B
a2+c2−b2=2ac cos B
⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac ⇒ac≤
b2
2(1−cos B)
③{
S=1
2 bc sin A
b2+c2−a2=2bc cos A
⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc ⇒bc≤
a2
2(1−cos A)
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易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B 这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另
外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”
例 ．对于
，有如下命题：①若
，则
为等腰三角形；②若
，则
为直角三角形；③若
，则
为钝角三角形．其中正确命题的序号是
（ ）
A．①②
B．①③
C．③
D．②③
变式1．在ΔABC 中，已知
，那么ΔABC 一定是（ ）
A．等腰或直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
变式2．在
中，三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
是
（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
变式3．在
中，角
所对的边分别为
，则下列结论正确的个数（ ）
（1）若
，则
（2）若
，则
一定为等腰三角形
（3）若
，则
一定为直角三角形
（4）若
，且该三角形有两解，则边
的范围是
A．1
B．2
C．3
D．4
1．在
中，
，则（ ）
A．
为直角
B．
为钝角
C．
为直角
D．
为钝角
2．在
中，若
，则该三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
8
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C．等腰三角形或直角三角形
D．等边三角形
3．在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
4．在
中，三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，则
的形状为
（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
5．在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，
，则
是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
6．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，且
，则
一定
是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
7．在
中，已知
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
8．在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b 、c， 若
则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
9．在
中，角
的对边分别为
，且满足
，则
的形状是
（ ）.
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
10．在
中，若
，则这个三角形是（ ）
A．底角不等于
的等腰三角形
B．锐角不等于
的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
11．
的三内角
的对边分别为
且满足
，且
，则
9
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的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
易错点三：实际问题中题意不明致误（利用解三角形知识解决实际问题）
解三角形的实际应用问题的类型及解题策略
1、求距离、高度问题
（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，
则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得
出所要求的量．
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2、求角度问题
（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，
要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．
易错提醒：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方
位角、坡度的具体含义
例 ．如图所示，
，
两处各有一个垃圾中转站，
在
的正东方向18km 处，
的南面为居民生活区.
为了妥善处理生活垃圾，政府决定在
的北面
处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾
中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得
，
两处中转
站每天集中的生活垃圾量分别约为40 吨和50 吨.
(1)当
时，求
的值；
(2)发电厂尽量远离居民区，也即要求
的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站
的距离为多少?
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变式1．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种
仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D 三地位于同一水平面上，这种仪器在B 地进行弹射实验，
两地相距
，
，在C 地听到弹射声音的时间比D 地晚
秒，在C 地测得该仪器至最
高点A 处的仰角为
．（已知声音的传播速度为
），求：
(1)B，C 两地间的距离；
(2)这种仪器的垂直弹射高度AB．
变式2．南京市人民中学创建于1887 年，是南京市办学历史最长的中学之一，位于南京市的珠江路南侧，
中山路东侧，长江路北侧如图所示的位置.南京人民中学到长江路和中山路十字路口约330 米，长江路和中
山路夹角约为70.5°，现小王和小张正位于如图所示的位置分别距长江路和中山路十字路口200 米，300 米，
并分别按如图所示的方向散步，速度均为60 米/分钟
(1)起初两人直线距离多少米？（参考数据：
）；
(2)t 分钟后两人间直线的距离是多少？（从现位置开始计时到小张到南京市人民中学大门结束）；
(3)什么时候两人间的直线距离最短，最短距离时多少？（忽略路宽､等侯红绿灯时间）
变式3．如图，某城市有一条从正西方
通过市中心
后转向东偏北
方向
的公路，为了缓解
城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路
，并在
上分别设置两个出口
在
的东偏北
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的方向（
两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于
之间相距较远，计划在
之间设置
一个服务区
．
(1)若
在
的正北方向且
，求
到市中心
的距离和最小时
的值；
(2)若
在市中心
的距离为
，此时
在
的平分线与
的交点位置，且满足
，求
到市中心
的最大距离．
1．某景区有一人工湖，湖面有
两点，湖边架有直线型栈道
，长为
，如图所示．现要测是
两点之间的距离，工作人员分别在
两点进行测量，在
点测得
，
；在
点测
得
．（
在同一平面内）
(1)求
两点之间的距离；
(2)判断直线
与直线
是否垂直，并说明理由．
2．如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D 四个点，使得
，
测得
，
，
．
12
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(1)若B，D 选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且
，
，求A，C 两点间
距离；
(2)求
的值．
3．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如
图所示的几何模型，该模型中
，
均与水平面
垂直.在已测得可直接到达的两点间距离
，
的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，①
，
，
，②
，
，
，③
，
，
，④
，
，
.
(1)请同学们指出其中一定能唯一确定
，
之间的距离的组号；（指出所有满足条件的组号）
(2)若已知
，
，
，
，
，
，
，请你结合
自己在（1）中的选择，从中选出一组利用所给数据，求
的值.（若多做，按第一种方案给分）
4．如图，某观察站B 在城A 的南偏西20°的方向，由城A 出发的一条公路走向是南偏东40°，在B 处测得
公路上距B 处32km 的C 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20km 之后到达D 处，此时B，D 间的距离为
21km．这个人还要走多少路才能到达A 城？
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5．如图，某日中午12：00 甲船以24km/h 的速度沿北偏东40°的方向驶离码头
，下午3：00 到达
地．
下午1：00 乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头
，下午3：00 到达
地．若
在
的正南方向，则乙
船的航行速度是多少？（精确到1km/h）
6．如图，某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口
北偏西
方向且与该港口相距
的
处，并以
的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设
该小艇沿直线方向以
的航行速度匀速行驶，经过
与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到
，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），
使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
7．一颗人造地球卫星在地球上空1600km 处沿着圆形的轨道运行，每2h 沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫
星于中午12 点正通过卫星跟踪站A 点的正上空，地球半径约为6400km．
(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03 时相隔的距离是多少．
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(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：
，
）
8．如图，某海产养殖户承包一片靠岸水域，AB，AC 为直线海岸线，
，
，
.
(1)求B 与C 之间的直线距离.
(2)在海面上有一点D（A，B，C，D 在同一平面上），沿线段DB 和DC 修建养殖网箱，若DB 和DC 上的
网箱每米可获得30 元的经济收益，且
，求这两段网箱获得的最高经济总收益.
9．山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼
颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮.如图，小张为了测量黄河楼的实际高
度
，选取了与楼底
在同一水平面内的两个测量基点
，现测得
，在点
处测得黄河楼顶
的仰角为
，求黄河楼的实际高度（结
果精确到
，取
）.
10．在长江某渡口处，江水以5km/h 的速度向东流．一渡船从长江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到
达北岸的B 码头（如图）．设
为正北方向，已知B 码头在A 码头北偏东
的方向上，并与A 码头相距
1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到
，速度确到0.1km/h）？
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11．如图，为了测量河对岸
两点之间的距离，在河岸这边取点
，测得
，
，
，
，
．设
在同一平面内，试求
两点之间的距离（精确到
1m）．
16
