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人教版八年级数学上要点总结
第十三章
三角形
知识点1 三角形的概念
1. 定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫作三角形．
2. 基本元素：
组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边
的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内
角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;
点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角．
3. 表示：
顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，
△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如上图，顶点A所对的边BC用a
表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．
知识点2 三角形的分类
1. 等腰三角形
•三边都相等的三角形叫做等边三角形；
•有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角
叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
一
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2. 三角形的分类
（1）按边分类
三边都不相等的三角形
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形 等边三角形
（2）按角分类
直角三角形
三角形 锐角三角形
斜三角形 钝角三角形
知识点3 三角形的三边关系
1. 定义：
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
2. 判断三条线段能否组成三角形：
若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成
三角形；反之，则不能组成三角形．
3. 三角形具有稳定性．
知识点4 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，
•
三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的
重心．
三角形的重心在三角形内部．
•
i
i
__
知识点5 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点
和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分
线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部．
知识点6 三角形的高
1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线
段叫做三角形的高．
2. 三角形的三条高的特性
名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
知识点7 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．
图 (1)
图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D．
知识点8 直角三角形的性质及判定
1. 直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余．
在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．
2. 直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，
即△ABC是直角三角形.
知识点9 三角形的外角
1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3. 三角形的外角和等于360°．
在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，
∠ACD=∠CAB+∠ABC，∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°
二
本章常考题型
【题型1 三角形的概念及其分类】
【题型2 构成三角形的条件】
【题型3 三角形的稳定性】
【题型4 利用三角形的中线求周长】
【题型5 直角三角形的性质及判定】
【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】
【题型7 三角形三边关系的应用】
【题型8 利用三角形的中线求面积】
【题型9 与三角形的高有关的分类讨论】
【题型10 与角平分线有关的角度计算】
【题型11 与平行线有关的角度计算】
【题型12 与翻折有关的角度计算】
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第十四章
全等三角形
知识点1 全等三角形
1. 全等三角形的有关概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。
互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合
的角叫做对应角．
2. 全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．
表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这
样容易写出对应边、对应角．如图中的△ABC与△DEF全等，记作
“△ABC≌△DEF”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点．
知识点2 全等三角形的性质
1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2. 全等三角形的其他性质
（1）全等三角形的周长相等；
（2）全等三角形的面积相等；
（3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上
的高相等．
__
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知识点3 全等变换
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小
都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
如图（1），把△ABC沿BC所在直线向右平移一段距离，得到△DEF，
•
则△ABC≌△DEF．
如图（2），把△ABC沿BC所在直线翻折，得到△DBC，则
•
△ABC≌△DBC．
如图（3），把△ABC绕点A旋转，得到△AED，则△ABC≌△AED．
•
知识点4 基本事实“边角边”（SAS）
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或
“SAS”． AB=DE
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识点5 基本事实“角边角”（ASA）
1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或
“ASA”．
s
∠A=∠D
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， AB=DE
∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF（ASA）
知识点6 “角边角”的推论“角角边”（AAS）
1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成
“角角边”或“AAS”． ∠A=∠D
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， ∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
知识点7 基本事实“边边边”（SSS）
1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．
AB=DE
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， BC=EF
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
知识点8 斜边、直角边定理（HL）
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜
边、直角边”或“HL”）．
2. 数学语言表达: AB=A'B'
如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中(∠C与∠C'为直角），BC=B'C'
s
s
s
了
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）
知识点9 判定两个三角形全等的常用思路
已知两边
（1）找第三边——利用“SSS”；
（2）找夹角——利用“SAS”；
（3）找直角——利用“HL”
已知一边一角
已知一角与邻边
•
（1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”；
（2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”；
（3）找这边的对角——利用“AAS”；
（4）若是直角找对边——利用“HL”
已知一角与对边
•
（1）找一角——利用“AAS”；
（2）若是直角找一边——利用“HL”
已知两角
•
（1）找夹边——利用“ASA”；
（2）找夹边外任意一边——利用“AAS”
知识点10 角的平分线的性质
1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等
三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向
两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
知识点11 角的平分线的判定
1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离
相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
知识点12 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．
已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内
部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
一三
题型归纳
【题型1 添加条件使成为全等三角形】
【题型2 判定全等三角形的依据】
【题型3 利用全等三角形的判定与性质求解】
【题型4 利用全等三角形的判定与性质证明】
【题型5 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】
【题型6 网格中找全等三角形】
【题型7 利用全等三角形的判定与性质求最值】
【题型8 利用全等三角形的判定与性质求面积】
【题型9 尺规作图与全等三角形的交互应用】
【题型10 与全等三角形有关的多结论问题】
【题型11 全等三角形中的动点问题】
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第十五章
轴对称
知识点1 轴对称图形与对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于
这条直线对称．
知识点2 两个图形成轴对称
1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那
么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直
线对称．
2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系
关系
名称
两个图形成轴对称
两个图形之间的对称关系
轴对称图形
具有特殊形状的图形
区
两个图形
别
意义不同
对象不同
对称轴的位置不同
一个图形
在两个图形之间
过图形的某条直线
对称轴的数量不同
只有一条
至少有一条
联系
__
（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整
体，那么它就是一个轴对称图形。
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个
图形，那么这两个图形关于这条轴对称。
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3. 轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等．
（2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．
知识点3 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下：
步骤 理论依据
①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点
②连接这对对应点
③作对应点所连线段的垂直平分线
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．
知识点4 轴对称变换
1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换，轴对称变换的
实质就是图形的翻折，由翻折得到的图形是全等形．
2. 一个图形与其关于直线l对称的图形之间的关系
（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图
形与原图形的形状、大小完全相同．
（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
知识点5 作轴对称图形
1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一
些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到
一
对称轴是任意
一对对应点所
连线段的垂直
平分线
原图形的轴对称图形．
2. 作轴对称图形的方法
（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点；
（3）连——按原图形依次连接各对称点．
知识点6 关于坐标轴对称的点的坐标的特点
1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．
2. 在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法
（1）写出对称点的坐标；
（2）根据对称点的坐标描点；
（3）按原图形对应连接所描各点得到所求的图形．
知识点7 线段垂直平分线的定义及其性质
1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂
直平分线．
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
3. 尺规作线段的垂直平分线：
（1）以点A，B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作
弧，两弧交于C、D两点；
（2）作为直线 ，为所求直线．
知识点8 线段垂直平分线性质定理的逆定理
1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2.书写格式：
如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
知识点9 互逆命题和互逆定理
两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫
•
作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命
题．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这
•
两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．
知识点10 等腰三角形的性质
1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰．
2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互
重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，
它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
知识点11 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
•
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么
它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”
“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相
等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三
角形的判定．
知识点12 等边三角形及其性质
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都
等于60°．
拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
知识点13 等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
__
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
知识点14 含30°角的直角三角形的性质
1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边
等于斜边的一半．
2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或
非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
题型归纳
【题型1 图形的轴对称】
【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】
【题型3 证明是等腰（边）三角形】
【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】
【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】
【题型6 与等腰（边）三角形有关的动点问题】
【题型7 格点与等腰三角形】
【题型8 确定构成等腰三角形个数的点】
【题型9 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】
【题型10 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】
一
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第十六章
整式的乘法
(其中m，n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单
项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即
（m，n，p都是正整数）.
2.同底数幂的乘法的逆用公式：
把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来
的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即
知识点二幂的乘方
1.幂的乘方法则：
(其中m，n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：
知识点一同底数幂的乘法
1.同底数幂的乘法性质：am ¢ an = am+
公式的推广：
n
am ¢ an ¢ ap = am+n+p
m+
a
n = am
n
（m，n都是正整数）
¢ a
.
(am)n = amn
((am)n)p = amnp
(a≠0，m，n，p均为正整数)
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2.幂的乘方法则逆用公式：
，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将
某些幂变形，从而解决问题.
知识点三 积的乘方
1.积的乘方法则：
(其中n是正整数).
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：
公式的推广：
(n为正整数).
2.积的乘方法则逆用公式：
逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计
算更简便.如：
知识点四 整式的乘法
1.单项式乘法法则：
单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单
项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的
错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
amn = (am)n = (an)m
(ab)n = an ¢ bn
(abc)n = an ¢ bn ¢ cn
anbn = (ab)n
µ1
2
¶10
£ 210 =
µ1
2 £ 2
¶10
= 1
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
2.单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单
项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再
把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序.
3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之
前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系
数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项
的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab.
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.
知识点五 同底数幂的除法
1.
(其中m，n都是正整数).
即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
要点诠释：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单
项式、多项式.
（2）逆用公式：即
（m，n都是正整数）.
2.零指数幂：
（a≠0）
负指数幂：
（a≠0，p是正整数）
知识点六 乘法公式
1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=
（a²）²-（b²）²=a -b
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
4
4
am + an = am¡n
a¡p = 1
ap
am¡n = am + an
a0 = 1
2.完全平方公式:
两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.
即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；
完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍
（2）公式的变化：
①a²+b²=(a+b)²-2ab；
②a²+b²=(a-b)²+2ab；
③(a+b)²=(a-b)²+4ab；
④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；
⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。
本章常考题型
【题型一】 判断整式乘法是否正确
【题型二】 幂的混合运算
【题型三】 零指数幂、负整数指数幂综合计算
【题型四】 整式乘法混合运算——化简求值
【题型五】 整式乘法与几何图形面积
【题型六】 乘法公式中几何图形的应用
【题型七】 整式的运算中的新定义型问题
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第十七章
因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
17.2 用公式法分解因式
知识点1 因式分解
把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫
作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
知识点2 提公因式法
1. 多项式中各项都有的因式叫作这个多项式各项的公因式.
2.一般地，如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来，
将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式
叫作提公因式法.
3.提公因式法的式子变形
pa+pb+pc=p（a+b+c）
4.
，这种分解因式的方法
提公因式法分解因式的一般步骤
(1)确定公因式:先确定系数，再确定字母和字母的指数;
(2)提公因式并确定另一个因式;
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
一、因式分解的判断
von
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因式分解
一个多项式 几个整式的积
整式乘法
二、 因式分解的结果必须满足的条件:
(1) 是几个式子乘积的形式
(2) 每个因式都是整式
(3)结果分解要彻底.
三、(1)提公因式时，当首项为负时，把负号作为公因式的符号提到括号外;
(2)公因式可以是单项式，也可以是多项式.
四、提公因式法分解因式是否正确的方法
在因式分解完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，看结果是否与
原式相等，如果相等就说明是正确的，否则就是错误的.
知识点3 公式法
1.用平方差公式分解因式
由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方
差公式(a+b)(a-b)=a²-b²的等号两边互换位置，就得到a²-b²=(a+b)
(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2.用完全平方公式分解因式
把整式乘法的完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²和a²-2ab+b²的等号
两边互换位置，就得到 a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=（a-b）².
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍等于这两个数的
和(或差)的平方.
①当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再看能否运用
平方差公式分解.分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
②用完全平方公式分解因式的关键
如果多项式有公因式，先提取公因式，再运用完全平方公式分解.
当第一项的系数是负数时，一般要提"-"号,多项式的各项都要变号.
比如，-3x²+6xy-3y²=-3(x²-2xy+y²)=-3(x-y)²。
常考题型
题型1 分解因式
题型2 因式分解与三角形知识的综合应用
L
人教版八年级数学上要点总结
第十八章
分式
18.1分式及其基本性质
知识点1 分式的概念
1. 一般地，如果
B叫
作分式.在分式
中，A
B
叫作分子，
B叫作分母。
2. 一个式子是分式需要满足的三个条件
的
B
式子
;
(2)A，B为整式;
(3)分母B中含有字母
3.
.
式与数的关系
1.判断一个式子是不是分式，关键是看它的分母中是否含有字母，π除外.
2.判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，要看原式的本来
“面目”是否符合分式的定义. 比如，“ a
3.分母不为0 并不是分母中的字母不为0，而是表示分母的式子的值不能为0.
知识点2 分式有、无意义的条件
1.分式有意义的条件:分式的分母不等于0.
2.分式无意义的条件:分式的分母等于0.
A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A
wenn
A
hin.I.org
(1) 是形如A
za 就是分式.
2026秋季
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知识点3 分式的值为0的条件
1. 当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0.
2. 分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式 B 的值
为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可.
知识点4 分式的基本性质
1.分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变
2.用式子表示
(C≠0)，其中A，B，C是整式.
(1) 运用分式的基本性质时，要注意限制条件 C≠0和隐含条件 B≠0；
(2) 分子和分母是多项式时，要把分子和分母分别看成一个整体.
知识点5 约分、最简分式
1.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作
分式的约分。
2.分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。
知识点6 分式的通分
1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相
等的同分母的分式，叫作分式的通分.
2.几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分
母,它叫作最简公分母。
3.通分的步骤:
A
A
B = A ¢ C
B ¢ C
A
B = A ¥ C
B ¥ C
(1)求各分式的最简公分母;
(2)用这个最简公分母除以各分式的分母;
(3)用所得的商去乘原各分式的分子、分母.
母互为相反数时，每个分母都可以作为最简公分母.
18.2 分式的乘法与除法
18.3 分式的加法与减法
18.4 整数指数幂
知识点 1 分式的乘除
1. 乘法法则:分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的
分母.用式子表示为
2. 除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除
式相乘.用式子表示为
注意:当整式与分式相乘时，要把整式(看作是分母为1的式子)与分式的
分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母.当整式是多项式时，
同样要先分解因式，看能否约分，再相乘.
知识点2 分式的乘方
一般地，当n是正整数时，
即
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方。
知识点3 分式的加减
1.同分母分式的加减
-
n个
n个
n个
a
b ¢ c
d = a ¢ c
b ¢ d
a
b ¥ c
d = a
b ¢ d
c = a ¢ d
b ¢ c
³a
b
´n
= a
b ¢ a
b ¢ : : : ¢ a
b = a ¢ a ¢ : : : ¢ a
b ¢ b ¢ : : : ¢ b = an
bn
³a
b
´n
= an
bn
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示为
2.异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
用式子表示为
注意：异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解题的关键.同
分母分式相减时，减式的分子是多项式的要加括号，避免产生符号错误.
知识点4 分式的混合运算
式与数有相同的混合运算顺序:
•
先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的。
注意：分式的混合运算中要注意分式中分子、分母符号的处理，分子或
分母的系数是负数时，要把“-"移到分式的前面。
知识点5 整数指数幂
1.一般地，当n是正整数时，
(a≠0).
这就是说，a (a≠0)是 a 的倒数.
2.科学记数法
小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10 的形式，其中n为原数左起第一
个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤a<10.
注意：用科学记数法表示小于 1的正数
要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10 的指数就是
负几.
n
n
n
a
c § d
c = a § b
c
a
b § c
d = ad
bd § bc
bd = ad § bc
bd
a¡n = 1
an
18.5 分式方程
知识点1 分式方程
1. 分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2.分式方程的重要特征
(1)是方程; (2)分母中含未知数.
注意：
1.判断一个方程是不是分式
方程的关键看其分母中是否含有未知数，判断时不能对方程进行约
分、通分，更不能用等式的性质对方程进行变形.
2.分式方程可以转化为整式方程.
知识点2 解分式方程
1. 解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去
分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法。
2. 解分式方程的一般步骤
3. 增根与无解的区别:
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的.分式方程
有增根仅仅针对使最简公分母为0的由分式方程所化的整式方程的解，
分式方程无解包括两种情况:
(1) 由分式方程所化的整式方程的解使最简公分母为0;
(2) 分式方程化为整式方程后，整式方程无解.
注意:
1.如果分式的分子是多项式，去分母时，要给多项式加上括号.
2.用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项.
3.已知增根求相关字母的值的问题可按如下步骤进行:
①让最简公分母为0确定增根;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
知识点3 分式方程的应用
1.列分式方程常用的等量关系
(1)工程问题:
工作效率×工作时间=工作量
总工作量=各工作量之和.
(2)利润问题:
利润=售价-进价
利润率=利润/进价×100%
总利润=单件的利润×销售的数量
(3)行程问题:速度×时间=路程
(4)储蓄问题:本息和=本金+利息
2.列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:审清题意，弄清已知量和未知量;
(2)设:设未知数(可以直接设未知数，也可以间接设未知数);
(3)列:列出分式方程:
(4)解:解分式方程;
二
(5)验:既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义;
(6)答:写出答案.
常考题型
题型1 分式有、无意义及值为0的条件
题型2 分式的基本性质
题型 3 分式中的规律问题
题型 4 分式的混合运算
题型5分式的化简求值
题型 6整数指数幂的应用
题型7分式运算的实际应用
题型8解分式方程
题型9利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围
题型10利用分式方程解决实际问题
题型 11与分式方程有关的探究性问题
