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2022 届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(10)
（利用导数研究函数的零点）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知关于
的方程
有三个不等的实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】问题等价于
又三个不等的实数根，
令
，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，
所以
在
和
上为增函数，在
上为减函数，
又
，且极小值为
，
的图象如图所示：
因此
与
的图象有三个不同的交点时，
. 故选：B.
2.已知函数
，则方程
实根的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】由
可得
或
，当
时，
，当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
函数
在
处取得极小值，极小值为
，绘制函数
的图象如图所示，观察可得，方程
的实根个数为3，
故选：B
3.若函数
恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】显然，
不是函数
的零点，令
，得
，
构造函数
，
，则
，
令
得到
，令
得到
且
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增；
所以函数
有极小值
；
画出函数
的图象，如图所示，
由图像可知，当
时，直线
与
的图象不可能有两个交点，
当
，只需
，
的图象与直线
即有两个不同的交点，
即函数
恰有两个不同的零点，
∴
的取值范围为
. 故选：B.
4.
，
恰有三个零点，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在同一坐标系内画出
，
的图象（如图）．
过点
作
的切线，设切点为
，
切线的斜率
，
切线方程为
，
点
在切线上，
，
，
要使
恰有三个零点，则
， 故选：A．
5.已知函数
，若函数
恰有三个零点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的图象如图所示,
①当直线
与曲线
相切于点
时,
,
故当
或
时,直线
与函数
的图象恰有一个交点,
当
时,直线
与函数
的图象恰有两个交点,
②当直线
与曲线
相切时,
设切点为
,则
,
,解得
,
或
,
，
当
时,直线
与函数
的图象恰有一个交点,
当
或
时,直线
与函数
的图象恰有两个交点,
当
时,直线
与函数
的图象恰有三个交点,
综上
的取值范围是
. 故选：C.
6.已知函数
是定义域为R 的奇函数，且当x<0 时，函数
，若关于x 的函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
或
，
时，
，
，
时，
，
递减，
时，
，
递增，∴
的极小值为
，又
，因此
无解．此时
要有两解，则
，
又
是奇函数，∴
时，
仍然无解，
要有两解，则
．
综上有
．故选：C.
7.已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．存在
、
，函数
没有零点
B．任意
，存在
，函数
恰有个零点
C．任意
，存在
，函数
恰有
个零点
D．任意
，存在
，函数
恰有
个零点
【答案】B
【解析】对于A 选项，当
时，
，当
时，
时，
所以，对任意的
、
，函数
必有零点，A 选项错误；
对于B 选项，
，则
，函数
在
上单调递增，
，
，所以，存在
使得
.
当
时，
，此时函数
单调递减；
当
时，
，此时函数
单调递增.
所以，
.
当
时，对任意的
，
，此时函数
单调递增，
由A 选项可知，函数
有唯一的零点，B 选项正确；
对于C 选项，任意
，由B 选项可知，当
时，对任意的
，
，
此时函数
单调递增，函数
至多有个零点，C 选项错误；
对于D 选项，令
，则函数
的零点个数等价于直线
与函数
的
图象的交点个数，
若函数
有三个零点，则函数
必有两个极值点
、
，且满足
，
，由题意可得
，且
，
由于函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以，当
或
时，
，当
时，
.
所以，
，
，
令
，则
，
由B 选项可知，令
，可得
使得
，则
，可得
.
当
时，
，此时函数
单调递增；
当
时，
，此时函数
单调递减.
所以，
，
函数
在
上单调递减，
，
当
时，
，所以，
.
所以，
，
因此，当
时，不存在
使得函数
有
个零点，D 选项错误. 故选：B.
8.已知
，
，若函数
的图象与函数
的图象有两个交
点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
因为
当
时，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
在同一坐标系中作出函数
的图象，如图所示：
当两函数相切时，设切点为
,
则
解得
，
要使函数
的图象与函数
的图象有两个交点，
则
，所以
，
当
时，
，显然不成立，故选：C
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.函数
在
上有唯一零点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由
，可得
，即
，
令
，其中
，则
，
所以，函数
在区间
上单调递增，则
，
令
，其中
，
.
当
时，
，此时函数
单调递减；
当
时，
，此时函数
单调递增.
所以，
.
若函数
在
上有唯一零点
，则
.
所以，
，由于函数
在
上单调递增，
，
，即
，
，
所以，ABC 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC.
10.设函数
若函数
有三个零点，则实数b 可取的值可能是
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】BC
【解析】由题意，函数
有三个零点，则函数
，即
有三个根，
当
时，
，则
，由
得
，
即
，此时
为减函数，由
得
，即
，此时
为增函数，
即当
时，
取得极小值
，作出
的图象如图：
要使
有三个根，则
，则实数
可取的值可能是
,1 故选：BC.
11.已知
，
．若
有唯一的
零点，则
的值可能为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
，
．
只有一个零点，
只有一个实数根，即
只有一
个实数根．
令
，则
，
函数
在
上单调递减，且
时，
，
函数
的大致图象如图所示，所以只需关于的方程
有且只有一个正实根．
①当
时，方程
为
，解得
，符合题意；
②当
时，方程
为
，解得
或
，不符合题意；
③当
时，方程
为
，得
，只有
，符合题意．
④当
时，方程
为
，得
，只有
，符合题意．
故选：ACD.
12.关于函数
，
，下列结论正确的有（ ）
A．当
时，
在
处的切线方程为
B．当
时，
存在惟一极小值点
C．对任意
，
在
上均存在零点
D．存在
，
在
有且只有一个零点
【答案】ABD
【解析】对于A：当
时，
，
，
所以
，故切点为
，
，所以切线斜
，
故直线方程为
，
即切线方程为：
，故选项A 正确；
对于B：当
时，
，
，
，
恒成立，
所以
单调递增，又
，
，
所以存在
，使得
，
即
，则在
上，
，
单调递减，
在
上，
，
单调递增，
所以存在惟一极小值点
，故选项B 正确；
对于 C、D：
,
，
令
得：
，
则令
，
，
，令
，
得：
，
，
，
由函数
图象性质知：
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以当
，
，
时，
取得极小值，
即当
时，
取得极小值，
又
，即
,
又因为在
，
单调递减，
所以
，
所以
，
，
时，
取得极大值，
即当
时，
取得极大值.
又
，即
，
当
时，
，
所以当
，即
时，
在
上无零点，所以选项C 不正确；
当
时，即
时，
与
的图象只有一个交点，
即存在
，
在
有且只有一个零点，
故选项D 正确. 故选：ABD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.已知函数
,若
在
上有两个零点，则
的取值范围为
__________.
【答案】
.
【解析】当
时，
没有零点，则
不符合题意.
当
时，令
，得
.
设
，则
.
由
，得
；由
，得
.
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
.
因为
，所以
，
解得
. 故
的取值范围为
. 故答案为：
14.已知函数
在区间
上只有一个零点，则实数
的取值范围是_______
【答案】
【解析】由题意可知，
在区间
上只有一个根，等同于
在区间
上只有一个根，等价于
与
的图像在区间
上有唯一一个公共点，由
得
，则
得
，当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递减，∴在区间
内，当
时
取极
小值也是最小值，∴当
，又
，
，且
，∴作
的图像如图，
则满足条件的
的取值范围是
. 故答案为：
15.函数
有且只有一个零点，则
的值为__________
【答案】
【解析】
函数
有且只有一个零点，
有一个交点，
设
，
则
，
则
，所以
单调递增.
而
，
，
所以存在
使得
，
即
，且当
时，
；
当
时，
.
所以
在
单调递减，在
单调递增.
又因为
且
时，
，
时，
，
且
有且只有1 个零点，所以
.
由
（
）可得
，即
，
两边同时取自然对数得
，整理得
；
又
，所以
，
所以
，
故答案为：
16.已知函数f (x)＝x3－ax＋1，g (x)＝3x－2，若函数F(x)＝
有三个零点，则实
数a 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】易得f'(x)＝3x2－a．
当a≤0 时，
，函数f(x)在R 上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意．
当a＞0 时，令f'(x)＝3x2－a＝0，解得x＝±
，
由
，得
或
，由
，得
，
所以函数f(x)在(－∞，－
)，(
，＋∞)上单调递增，在(－
，
)上单调递减，
在同一坐标系中，分别作出函数f (x)，g (x)的图像，根据图像可知：
当f(
)
0 时，所以F(x) 至多两个零点；
当f(
)＜0，即
，又
，
所以
，即
，所以
时，
要使得F(x)有三个不同的零点，则f(
)＜0 或者
，
即
或
，即
或
，解得a＞
．
又
且
，所以
. 故答案为：
.
