北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§2.3 二次函数与幂函数
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021新疆重点高中3月联考,6)已知函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(3+x)=f(3-x),且f(4)<f(5),则不等式
f(1-x)<f(1)的解集为 ( )
A.(0,+∞) B.(-2,+∞)
C.(-4,0) D.(2,4)
答案 C 依题意有二次函数图象的开口向上,且关于直线x=3对称,
则有f(x)=a(x-3)2+m,a>0, f(1-x)=a(x+2)2+m,a>0, f(1-x)<f(1)即a(x+2)2+m<4a+m,a>0,(x+2)2<4,解
得-4<x<0,故选C.
2.(2021四川南充模拟,10)已知函数f(x)=ax2-2x-2,若对于一切x∈[1,2], f(x)>0都成立,则实数a的取
值范围为( )
A.(4,+∞) B.(3 )
,+∞
2
C.[3 ) D.(12,+∞)
,+∞
2
1 1
答案 A 由选项可知a>0,故二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x= ,当0< ≤1,即a≥1
a a
时, f(x)在[1,2]上单调递增,∴f(x) =f(1)=a-4>0,解得a>4;
min
当1<1<2,即1<a<1时, f(x)在[
1,
1)上单调递减,在(1
,2
]上单调递增,∴f(x)
min
=f(1)=-1-2>0,
a 2 a a a a
1 1
解得- <a<0,与 <a<1相矛盾,舍去;
2 2
1 1
当 ≥2,即0<a≤ 时, f(x)在[1,2]上单调递减,
a 2
∴f(x)
min
=f(2)=4a-6>0,解得a>3∉(
0,
1],舍去.
2 2
综上所述,实数a的取值范围为(4,+∞).
1 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
故选A.
一题多解 ax2-2x-2>0在[1,2]恒成立可等价转化为a> 2 +2=2[ (1) 2 1] 在[1,2]上恒成立,
+
x2 x x x
令t=1,t∈[1
,1
],则y=t2+t=(
t+
1) 2 -1 ∈[3
,2
],故y=2[ (1) 2
+
1] 的最大值为4,
x 2 2 4 4 x x
故a的取值范围为(4,+∞),故选A.
3.(2021四川顶级名校联考,5)设命题p:∃m∈R,使f(x)=(m-1) 是幂函数,且在(0,+∞)上单调
xm2-4m+3
递减;命题q:∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是 ( )
A.p∧(¬q) B.(¬p)∧q
C.p∧q D.(¬p)∨q
1
答案 A 由m-1=1,解得m=2,故f(x)= ,在(0,+∞)上单调递减,故命题p是真命题;令x=4,则x2=2x,故
x
命题q是假命题,故p∧(¬q)是真命题,故选A.
4.(2021山西怀仁期末,5)有四个幂函数:①f(x)=x-1;②f(x)=x-2;③f(x)=x3;④f(x)= 1.某同学研究了其中的
x3
一个函数,他给出这个函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上是增函数.
如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
答案 B f(x)=x-1只满足性质(2), f(x)=x3只满足性质(3), f(x)= 1 只满足性质(3). f(x)=x-2是偶函数,
x3
在(-∞,0)上是增函数,但是其值域是{y|y>0}.故选B.
5.(2021宁夏银川重点高中一模,11)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时,函数
f(x)=xex+2,若关于x的函数F(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a恰有2个零点,则实数a的取值范围为 ( )
A.( 1 ) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
-∞, -2
e
C.( 1 )∪( 1 ) D.(1 1)
-2, -2 2- ,2 -2,2-
e e e e
答案 C 令F(x)=[f(x)-2][f(x)+a]=0,得f(x)=2或f(x)=-a,x<0时, f(x)=xex+2<2,因此f(x)=2无解.
则f(x)=-a要有两解,对f(x)求导得f '(x)=(x+1)ex,
2 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
x<-1时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
-1<x<0时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
1
∴f(x)的极小值为f(-1)=2- ,
e
1
又f(x)<2,则2- <-a<2,
e
又f(x)是奇函数,
∴x>0时, f(x)=2仍然无解,
1
f(x)=-a要有两解,则-2<-a< -2.
e
综上,有a∈( 1 )∪( 1 ).
-2, -2 2- ,2
e e
b
6.(2021浙江之江教育高三下开学考,10)已知函数f(x)=ax+ ,若存在两相异实数m,n,使f(m)=f(n)=c,
x
且a+4b+c=0,则|m-n|的最小值为 ( )
√2 √3
A. B. C.√2 D.√3
2 2
答案 B 因为f(m)=f(n)=c,所以m,n是方程ax2-cx+b=0的两相异实根,
从而Δ=c2-4ab=(a+4b)2-4ab=a2+4ab+16b2>0,
故|m-n|=√c2-4ab=√(a+4b)2-4ab=√ (b) 2 b ≥√64-16=√3,故选B.
16 +4· +1
|a| |a| a a 4×16 2
7.(2021北京顺义二模,4)已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式恒成立的是 ( )
1 1
A.2a<2b B. >
a2+1 b2+1
C.a3>b3 D.lg(a2+1)>lg(b2+1)
3 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
答案 C ∵y=2x在R上单调递增,∴a>b时,2a>2b,∴选项A错误;∵a,b∈R,且a>b,∴a2与b2的大小无
法比较,∴选项B错误;∵y=x3在R上单调递增,∴a>b时,a3>b3恒成立,选项C正确;∵a,b∈R,且
a>b,∴a2与b2的大小无法比较,∴选项D错误.综上,选C.
8.(2021北京延庆一模,7)已知定义在R上的幂函数f(x)=xm(m为实数)的图象过点A(2,8),记
a=f(log 3),b=f(log5),c=f(m),则a,b,c的大小关系为( )
0.5 2
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<a<b D.c<b<a
答案 A 本题考查幂函数,通过幂函数的单调性考查学生分析问题与解决问题的能力,渗透逻辑
推理与数学运算的核心素养,试题体现综合性.
∵f(x)=xm的图象过点A(2,8),
∴f(2)=2m=8,∴m=3.
从而f(x)=x3,
g 1
log
0.5
3=lo 13=-log
2
3=log
2
,
2 3
1
∵log <log5<log23=3,
2 2 2
3
∴log 3<log5<m,又f(x)=x3在R上单调递增,
0.5 2
∴f(log 3)<f(log5)<f(m).
0.5 2
故a<b<c,故选A.
9.(2021天津一中月考,9)已知函数f(x)=|x2+px+q|,∀p,q∈R,∃x∈[1,5],使f(x)≥m成立,则m的范围
0 0
是 ( )
A.( 5] B.(-∞,2] C.(-∞,3] D.(-∞,4]
-∞,
2
答案 B 由题意可知∃x∈[1,5], f(x)≥m成立,即m≤f(x) ,
0 0 max
又∀p,q∈R,m≤f(x) ,所以m≤[f(x) ] ,
max maxmin
∵f(x)=|x2+px+q|的每个函数值可看作g(x)=x2与h(x)=-px-q在横坐标相等时,纵坐标的“竖直距离”,
由g(x)=x2,x∈[1,5],可取A(1,1),B(5,25),所以AB的直线方程为l:y=6x-5,
1
设l 与AB平行且与g(x)=x2的图象相切于C(x,y),
2 0 0
∴g'(x)=2x=6,x=3,∴l:y=6x-9,
0 0 0 2
当直线h(x)=-px-q与l、l 平行且与两条直线的距离相等,即恰好在l、l 的中间时,g(x)=x2与h(x)=-
1 2 1 2
px-q在纵坐标的“竖直距离”中取得最大值中的最小值,
4 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
此时h(x)=6x-7,则f(x)=|x2-(6x-7)|=|x2-6x+7|=|(x-3)2-2|,又∵x∈[1,5],∴(x-3)2∈[0,4],所以f(x) =2,此时
max
x=1或3或5,∴m的范围是(-∞,2],故选B.
10.(2021天津一中月考,9)已知函数f(x)={x2+4x+5-a,-5<x<0,
若关于x的方程f(x)=ax+1
ex+a+1,x≥0,
恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是 ( )
A.( 9 1)∪(e2,+∞) B.[ 9 1]∪(e2,+∞)
- ,- - ,-
4 2 4 2
C.( 9 ]∪(e2,+∞) D.( 9 )∪[e2,+∞)
- ,-1 - ,-1
4 4
答案 C 经检验x=±1不是方程的根,
当-5<x<0且x≠-1时,∵x2+4x+5-a=ax+1,
x2+4x+4 1
∴x2+4x+4=a(x+1),∴a= =x+1+ +2.
x+1 x+1
ex
当x≥0且x≠1时,ex+a+1=ax+1,a= ,
x-1
设g(x)= ex ,g'(x)=ex(x-2),x∈(0,1),(1,2)时, f(x)单调递减,x∈(2,+∞)时, f(x)单调递增,如图,
x-1 (x-1)2
故a∈( 9 ]∪(e2,+∞).
- ,-1
4
二、多项选择题
11.(2021届湖南郴州一中模拟)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能
为 ( )
5 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 ABC 函数y=x2-4x-4的图象的对称轴方程为x=2,当0≤m≤2时,函数在[0,m]上单调递减,
x=0时取最大值-4,x=m时取最小值,由m2-4m-4=-8,解得m=2.当m>2时,函数的最小值为-8,而
f(0)=-4,所以由对称性可知,2<m≤4.
∴由选项知,实数m的值可能为2,3,4.故选ABC.
12.(2021届山东菏泽东明实验中学月考,10)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,
f(x)=x2-3x,下列等式成立的是 ( )
A.f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)
B.f(2 019)+f(2 021)=f(2 020)
C.2f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)
D.f(2 019)=f(2 020)+f(2 021)
答案 ABC 由f(x-3)=-f(x)知f(x)的周期为6,f(2 019)=f(336×6+3)=f(3)=0,f(2 020)=f(337×6-
2)=f(-2)=-f(2)=2,f(2 021)=f(337×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.故选ABC.
三、填空题
13.(2021吉林松原高考模拟,13)已知幂函数f(x)=xa的图象经过点P(1 1),则实数a= .
,
2 4
答案 2
解析 将点P(1 1)代入f(x)=xa得f(1)=(1) a =1,解得a=2.
,
2 4 2 2 4
14.(2021浙江百校3月联考,15)已知函数f(x)=2|x2-x+a|+|x2-4x+a|,若对任意的x∈(1,a),不等式
f(x)≥(a-1)x恒成立,则实数a的最大值为 .
答案 25
解析 由对任意x∈(1,a), f(x)≥(a-1)x恒成立,得a-1≤f (x)=2| a |+| a |恒成立.
x+ -1 x+ -4
x x x
因为x∈(1,a),所以2| a |+| a |≥2|2 -1|+|2 -4|≥4 -2+|2 -4|,
x+ -1 x+ -4 √a √a √a √a
x x
当a>1且2√a-4<0,即1<a<4时,有4√a-2+4-2√a≥a-1,即a-2√a-3≤0,解得0≤a<9,所以1<a<4;
6 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
当2√a-4≥0,即a≥4时,有4√a-2+2√a-4≥a-1,即有a-6√a+5≤0,所以4≤a≤25.因此实数a的最大值
为25.
15.(2021浙江新高考研究卷(二),17)若x>0,不等式0≤x3+ax2-3x+b≤(x-1)2(x+3)恒成立,则b=
.
答案 2
解析 令x=1,得0≤1+a-3+b≤0,则a+b-2=0,即a+b=2,则x3+ax2-3x+b=x3+(2-b)x2-3x+b≤(x-1)2(x+3)恒
b-1
成立,即(b-1)x2-2x+3-b≥0对任意x>0恒成立,也即(x-1)[(b-1)x+b-3]≥0对任意x>0恒成立,当 =
1
b-3
,即b=2时,(x-1)2≥0恒成立;
-1
当b≠2时,方程(b-1)x2-2x+3-b=0的根的判别式Δ=4-4(b-1)(3-b)=4(b-2)2>0,故该方程有两个不等实
根,且其中一根为x=1,x=1为变号零点,不满足题意.当b=2时,x3+(2-b)x2-3x+b=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)≥0
对任意x>0恒成立,所以b的值为2.
16.(2021北京怀柔高三适应性练习,15)如图,在直角梯形ABCD中,
AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P为线段AD上一个动点,设⃗AP=x⃗AD,⃗PB·⃗PC=y,对于
函数y=f(x),给出下列四个结论:
①当a=2时,函数f(x)的值域为[1,4];
②∀a∈(0,+∞),都有f(1)=1成立;
③∀a∈(0,+∞),函数f(x)的最大值都等于4;
④∃a∈(0,+∞),函数f(x)的最小值为负数.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ②③④
解析 建立如图所示坐标系,
7 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
根据题意,A(-2,0),B(0,0),C(0,a),D(-1,a),⃗AD=(1,a),
故⃗AP=x⃗AD=(x,ax),0≤x≤1,
故P(x-2,ax),
则⃗BP=(x-2,ax),⃗CP=(x-2,ax-a),
则y=f(x)=⃗PB·⃗PC=⃗BP·⃗CP=(x-2)2+ax(ax-a)=(1+a2)x2-(4+a2)x+4,
当a=2时, f(x)=5x2-8x+4=5( 4) 2 +4,0≤x≤1,
x-
5 5
4 4
故当x= 时, f(x)取得最小值 ,
5 5
当x=0时, f(x)取得最大值4,
即值域为[4 ],①错误.
,4
5
∀a∈(0,+∞), f(1)=(1+a2)-(4+a2)+4=1,②正确.
f(x)=(1+a2)x2-(4+a2)x+4图象的对称轴为x= 4+a2 =1+ 3 ∈(1 ),
,2
2(1+a2) 2 2(1+a2) 2
1 3
当 + ≥1,即0<a≤√2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,故当x=0时, f(x)取得最大值4,当
2 2(1+a2)
x=1时, f(x)取得最小值1;
1 1 3
当 < + <1,即a>√2时,根据抛物线的对称性可知,当x=0时,函数f(x)取得最大值4,当
2 2 2(1+a2)
x=
4+a2
时,
f(x)取得最小值4-(4+a2)2
.
2(1+a2) 4(1+a2)
综上可知,∀a∈(0,+∞),函数f(x)的最大值都等于4,故③正确.
取a=3> 时, f(x)取得最小值4-(4+a2)2 =4- 132 =- 9 <0,故④正确.
√2
4(1+a2) 4×10 40
8 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
故答案为②③④.
思路分析 先建立坐标系写出各点的坐标,得到函数f(x)=(1+a2)x2-(4+a2)x+4,利用二次函数的性质
依次判断四个结论的正误即可得结果.
四、解答题
17.(2021江西贵溪实验中学一模,18)已知二次函数f(x)的最小值为3,且f(1)=f(3)=5.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方,求实数m的取值范围.
解析 (1)因为二次函数f(x)中f(1)=f(3),所以图象的对称轴方程为x=2,又二次函数f(x)的最小值为
3,故可设f(x)=a(x-2)2+3(a>0),
所以f(1)=a(1-2)2+3=a+3=5,所以a=2,
所以f(x)=2(x-2)2+3=2x2-8x+11.
(2)y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方等价于2x2-8x+11>2x+2m+1,即m<x2-5x+5恒成立,
因为y=x2-5x+5=( 5) 2 -5≥-5,
x-
2 4 4
所以m<-5,即实数m的取值范围为( 5).
-∞,-
4 4
方法总结 已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法:
(1)函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图
象,利用数形结合的方法求解.
18.(2020山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f(x)满足f(x)=f(-4-x), f(0)=3,若x,x 是f(x)的两
1 2
个零点,且|x-x|=2.
1 2
(1)求f(x)的解析式;
x
(2)若x>0,求g(x)= 的最大值.
f (x)
解析 (1)∵二次函数满足f(x)=f(-4-x),
∴f(x)的图象的对称轴为直线x=-2,
∵x,x 是f(x)的两个零点,且|x-x|=2,
1 2 1 2
9 / 10北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
∴{x
1
=-3, 或{x
1
=-1,
x =-1 x =-3.
2 2
设f(x)=a(x+3)(x+1)(a≠0).
由f(0)=3a=3得a=1,∴f(x)=x2+4x+3.
1
x x
(2)由(1)得g(x)= = = 3 (x>0),
f (x) x2+4x+3 x+ +4
x
1
1 √3 3 √3
∵x>0,∴ 3 ≤ =1- ,当且仅当x= ,即x=√3时等号成立.∴g(x)的最大值是1- .
x+ +4 4+2√3 2 x 2
x
10 / 10
