北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§6.2 等比数列
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京西城二模,8)记S 为等比数列{a}的前n项和.已知a=8,a=-1,则数列{S} ( )
n n 1 4 n
A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项
答案 A ∵{a}为等比数列,a=8,a=-1,∴a=aq3=8·q3=-1,∴q=-1,∴S=a (1-qn)=
n 1 4 4 1 n 1
2 1-q
[ ( 1) n]
8× 1- - 2 = 16 [ 1- ( - 1 2 ) n] ,∴若1-( - 1) n 有最大值或最小值,则S n 就有最大值或最小值,
2
( 1)
1- - 3
2
当n为偶数时,1-(
-
1) n <1,且随着n增大,1-(
-
1) n 增大,此时4≤S
n
<16.当n为奇数时,1-(
-
1) n
2 2 3 2
>1,且随着n增大,1-(
-
1) n 减小,此时16<S
n
≤8.∴当n=1时,S
n
取最大值8,当n=2时,S
n
取最小值4.
2 3
2.(2021天津南开期末,4)已知等比数列{a}满足a=2,a·a=4 ,则a 的值为( )
n 1 3 5 a2 3
6
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
1
答案 C aa=a2=4a2,所以a2q6=4a2q10,所以q2= ,所以a=aq2=1,故选C.
3 5 4 6 1 1 2 3 1
3.(2021安徽蚌埠质检,7)在各项均为正数的等比数列{a}中,a=2-√2,a=√2+1,则aa+2aa+aa=
n 3 5 1 5 2 6 3 7
( )
A.1 B.9 C.5√2+7 D.3√2+9
答案 B 由等比数列的性质得aa+2aa+aa= +2aa+ =(a+a)2=(2- + +1)2=9,故选B.
1 5 2 6 3 7 a2 3 5 a2 3 5 √2 √2
3 5
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4.(2021山西太原期末,7)已知数列{a}中,a=2,a =a·a (n,m∈N*),若a +a +a +a =480,则k=
n 1 n+m n m k+1 k+2 k+3 k+4
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B ∵a =a ·a,令m=1,则a =a·a,
m+n m n n+1 n 1
∵a=2,∴a =a·a=2a,
1 n+1 n 1 n
∴{a}是以2为首项,2为公比的等比数列,则a=2n.
n n
∴a +a +a +a =2k+1+2k+2+2k+3+2k+4=15×2k+1=480,∴k=4,故选B.
k+1 k+2 k+3 k+4
5.(2021河南顶级名校联考,6)已知等比数列{a}的前n项和S=2λ+(λ-3)·2n(λ为常数),则λ= ( )
n n
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 C 当n=1时,a=S=2λ+(λ-3)×2=4λ-6,
1 1
当n=2时,a=S-S=(6λ-12)-(4λ-6)=2λ-6,
2 2 1
当n=3时,a=S-S=(10λ-24)-(6λ-12)=4λ-12,
3 3 2
∵ =aa,∴(2λ-6)2=(4λ-6)(4λ-12),解得λ=3或λ=1,
a2 1 3
2
当λ=3时,a=0,但0不能为等比数列中的任意一项,故应舍去,故λ=1,选C.
2
2
6.(2021安徽黄山重点高中月考,10)已知函数f(x)= (x∈R),若等比数列{a}满足aa =1,则
1+x2 n 1 2 019
f(a)+f(a)+f(a)+…+f(a )= ( )
1 2 3 2 019
2 019 1
A.2 019 B. C.2 D.
2 2
2
答案 A ∵f(x)= (x∈R),
1+x2
2
∴f(x)+f
(1)
=
2
+ (1) 2=
2
+
2x2
=2,
x 1+x2 1+ 1+x2 x2+1
x
∵数列{a}为等比数列,且a·a =1,
n 1 2 019
∴aa =aa =aa =…=a a=1,
1 2 019 2 2 018 3 2 017 2 019 1
∴f(a)+f(a )=f(a)+f(a )
1 2 019 2 2 018
=f(a)+f(a )=…=f(a )+f(a)=2,
3 2 017 2 019 1
∴f(a)+f(a)+f(a)+…+f(a )=2 019.故选A.
1 2 3 2 019
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7.(2021陕西渭南一模,10)已知等比数列{a n }的前n项和为S n ,若 S 2m =33, a m+3 = m-4 ,则数列{a n }
S 32 a 5m+7
m 3
的公比q= ( )
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
答案 C 当数列{a}的公比q=1时, S =2,与 S =33矛盾,故q=1不符合题意,当q≠1时, S =
n 2m 2m 2m
S S 32 S
m m m
a (1-q2m)
1
1-q =1-q2m =1+qm=33,所以qm= 1 .因为 a m+3=qm= m-4 = 1 ,所以m=5,即q5= 1 ,
a (1-qm) 1-qm 32 32 a 5m+7 32 32
1 3
1-q
1
则q= .
2
8.(2021浙江金华十校高三上期末,6)已知等比数列{a}的公比为q,首项为a,前n项和为S,( )
n n
A.若a>0,则aS>0
n n
B.若q>0,则aS>0
n n
C.若a<0,则aS<0
n n
D.若q<0,则aS<0
n n
答案 B 易知a≠0.
当q=1时,a=a,S=na,则aS=na2>0恒成立.
n n n n
a(1-qn) a2qn-1(1-qn)
当q≠1时,a=aqn-1,S= ,则aS= .
n n 1-q n n 1-q
若0<q<1,则aS>0恒成立;
n n
若q>1,则aS>0恒成立;
n n
若q<0,则aS 的符号不确定.
n n
综上,若q>0,则aS>0.故选B.
n n
9.(2021浙江新高考研究卷(一),7)已知{a}是公比不为1的等比数列,S 为其前n项和,满足a -a
n n 2 021 2
=a -a ,则下列等式成立的是 ( )
019 2 019 2 020
A.S S = B.S +S =2S
2 020 2 021 S2 2 020 2 021 2 019
2 019
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C.S S = D.S +S =2S
2 019 2 021 S2 2 019 2 021 2 020
2 020
答案 B 设等比数列{a}的公比为q(q≠1).
n
因为a -a =a -a ,所以a +a -2a =0,即q2+q-2=0.
2 021 2 019 2 019 2 020 2 021 2 020 2 019
因为q≠1,所以q=-2,所以S +S -2S =a +a +a =2a +a =0,即S +S =2S .
2 020 2 021 2 019 2 020 2 020 2 021 2 020 2 021 2 020 2 021 2 019
故选B.
二、多项选择题
10.(2021届湖南长沙第一中学月考(三),12)将n2个数排成n行n列的一个数阵,如:
a a a …… a
11 12 13 1n
a a a …… a
21 22 23 2n
a a a …… a
31 32 33 3n
……
a a a …… a
n1 n2 n3 nn
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m
为公比的等比数列(其中m>0).已知a =2,a =a +1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有 (
11 13 61
)
A.m=3 B.a =17×37
67
1
C.a =(3i-1)×3j-1 D.S= n(3n+1)(3n-1)
ij
4
答案 ACD 由该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从
左到右构成以m为公比的等比数列,且a =2,a =a +1,
11 13 61
可得a =a m2=2m2,a =2+5m,
13 11 61
所以2m2=2+5m+1,
1
解得m=3或m=- (舍去),所以选项A正确;
2
a =a m6=(2+5×3)×36=17×36,所以选项B不正确;
67 61
因为a =a mj-1=[(a +(i-1)×m]×mj-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以选项C正确;
ij i1 11
S=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )+…+(a +a +…+a )
11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn
=a (1-3n)+a (1-3n)+…+a (1-3n)
11 21 n1
1-3 1-3 1-3
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1 (2+3n-1)n
= (3n-1)·
2 2
1
= n(3n+1)(3n-1),所以选项D正确,故选ACD.
4
11.(2021届湖南长沙长郡中学月考(一))已知数列{a}的前n项和为S,且a=p,2S-S =2p(n≥2)(p为
n n 1 n n-1
非零常数),则下列结论中正确的是( )
A.数列{a}为等比数列
n
15
B.当p=1时,S=
4
16
1
C.当p= 时,a a=a (m,n∈N*)
m n m+n
2
D.|a|+|a|=|a|+|a|
3 8 5 6
p
答案 AC 由a=p,2S-S =2p(n≥2),得a= ,
1 n n-1 2
2
1
n≥3时,2S -S =2p,相减可得2a-a =0,即a= a ,
n-1 n-2 n n-1 n n-1
2
1
1-
a 1 1 24 15
又 2= ,所以数列{a}是首项为p,公比为 的等比数列,故A正确;当p=1时,S= = ,故B不
n 4
a 2 2 1 8
1 1-
2
正确;
{a
n
}的通项公式为a
n
=p·(1) n-1 ,a
m
·a
n
=a
m+n
等价于p2· 1 =p· 1 ,可得p=1,故C正确;
2 2m+n-2 2m+n-1 2
|a 3 |+|a 8 |=|p|( 1 + 1 )=|p|· 33 ,
22 27 128
|a 5 |+|a 6 |=|p|( 1 + 1 )=|p|· 12 ,
24 25 128
则|a|+|a|>|a|+|a|,故D不正确.故选AC.
3 8 5 6
12.(2020山东青岛三模,10)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.
《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书
中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”其大意为:
“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第
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一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”已知1匹=4丈,
1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为a
n
,b
n
=2a n,对于数列
{a},{b},下列选项中正确的为( )
n n
A.b =8b B.{b}是等比数列
10 5 n
C.a
1
b
30
=105 D. a
3
+a
5
+a
7
=209
a +a +a 193
2 4 6
30×29 16
答案 BD 由题意知{a}为等差数列,a=5,S =390,设公差为d,则S =30×5+ d,∴d= .对
n 1 30 30
2 29
于B,{b n }中, b
b
n+1 =2
2
a
a
n
n
+1= 2a
n+1
-a
n
=2d,故{b n }为等比数列,故B正确.对于A, b
b
10 =25d=
2
8
2
0
9
≠8,故A错误.
n 5
对于C,a 1 b 30 =5×32× 16 ×29 =5×32×216≠105,故C错误.对于D, a 3 +a 5 +a 7 = a 5 =209,故D正确.
229
a +a +a a 193
2 4 6 4
三、填空题
13.(2021北京海淀二模,11)已知数列{a}满足a=2,a -2a=0(n=1,2,…),则{a}的前6项和为 .
n 1 n+1 n n
答案 126
解析 ∵数列{a}满足a=2,a -2a=0,∴{a}为首项为2,公比为2的等比数列,∴a=2n,n∈N*,∴S=a·
n 1 n+1 n n n 6 1
1-q6 1-26
=2× =126.
1-q 1-2
14.(2021北京东城一模,13)已知{a}为等比数列,a=1,a=1,那么{a}的公比为 ,则数列{1 }
n 1 4 n
8 a
n
的前5项和为 .
1
答案 ;31
2
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解析 根据题意,设{a
n
}的公比为q.∵a
1
=1,a
4
=1,则q3= a 4=1,∴q=1,则数列{1 }是首项为 1 =1,公
8 a 8 2 a a
1 n 1
比为1=2的等比数列,则数列{1 }的前5项和为1×(1-25)=31.
q a 1-2
n
8 8
15.(2021河南、湖南两省顶级名校联考,15)已知等比数列{a}满足a-a=- ,a-a=- ,则使得
n 1 3 2 4
27 9
aa…a 取得最小值的n为 .
1 2 n
答案 3或4
解析 设公比为q,则q= a -a =3,∴a-a=-8a=- 8 ,
2 4 1 3 1
a -a 27
1 3
1 1 1
∴a= ,a= ,a= ,a=1,…,
1 2 3 4
27 9 3
∴n=3或4时,aa…a 取得最小值.
1 2 n
f (t )
16.(2021江西吉安五校协作体联考,16)定义:若数列{t}满足t =t- ,则称该数列为函数
n n+1 n n
f '(t )
n
f(x)的“切线—零点数列”.已知函数f(x)=x2+px+q有两个零点-1,2,数列{x}为函数f(x)的“切线—
n
x -2
零点数列”,设数列{a}满足a=3,a=ln ,数列{a}的前n项和为S,则S = .
n 1 n n n n 2 020
x +1
n
答案 3·22 020-3
解析 ∵f(x)=x2+px+q有两个零点-1,2,∴f(x)=(x+1)(x-2)=x2-x-2, f '(x)=2x-1.由题意得x =x-
n+1 n
x2+2
n -2
x2
n
-x
n
-2
=
x2
n
+2
,∴
x
n+1
-2
=
2x
n
-1
=
x2
n
-4x
n
+4
=(
x
n
-2
)
2
,
2x -1 2x -1 x +1 x2+2 x2+2x +1 x +1
n n n+1 n +1 n n n
2x -1
n
∵a
n
=lnx
n
-2 ,∴a
n+1
=lnx
n+1
-2=2lnx
n
-2=2a
n
.又a
1
=3,∴数列{a
n
}是首项为3,公比为2的等比数列,
x +1 x +1 x +1
n n+1 n
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3×(1-22 020)
∴a=3·2n-1,∴S = =3·22 020-3.
n 2 020 1-2
四、解答题
17.(2020北京高考适应性测试,17)已知{a}是公比为q的无穷等比数列,其前n项和为S,满足
n n
a=12, ,是否存在正整数k,使得S>2 020?若存在,求k的最小值;若不存在,说明理由.
3 k
1
从①q=2,②q= ,③q=-2这三个条件中任选一个,补充在填空线上并作答.
2
解析 选择①.存在正整数k,使得S>2 020.
k
3(1-2n)
因为a=12,q=2,所以a=3,所以S= =3(2n-1),
3 1 n 1-2
2 023
令S>2 020,得2k> .
k
3
所以使得S>2 020的正整数k的最小值为10.
k
选择②.不存在正整数k,使得S>2 020.理由如下:
k
1
因为a=12,q= ,所以a=48,
3 1
2
( 1 )
48× 1-
所以S
n
= 2n =96(
1-
1 ).
1
2n
1-
2
因为S<96<2 020,所以不存在正整数k,使得S>2 020.
n k
选择③.存在正整数k,使得S>2 020.
k
因为a=12,q=-2,所以a=3,
3 1
3×[1-(-2)n]
所以S= =1-(-2)n.
n 1-(-2)
令S>2 020,得1-(-2)k>2 020,整理得(-2)k<-2 019.
k
当k为偶数时,原不等式无解;
当k为奇数时,原不等式等价于2k>2 019,
所以使得S>2 020的正整数k的最小值为11.
k
18.(2021天津部分区二模,17)设{a}是公差不为0的等差数列,a=1,a 是a 和a 的等比中项,数列
n 1 4 2 8
{b}的前n项和为S,且满足3b-2S=2(n∈N*).
n n n n
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
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(2)对任意的正整数n,设c n
={a
n+2
,n为奇数,
求数列{c n }的前2n+1项和.
b ,n为偶数.
n
解析 (1)设等差数列{a}的公差为d,
n
因为a=1,a 是a 和a 的等比中项,所以 =a·a,
1 4 2 8 a2 2 8
4
即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),解得d=1或d=0.
又因为d≠0,所以d=1.所以a=1+(n-1)×1=n.
n
因为3b-2S=2(n∈N*),所以,当n≥2时,3b -2S =2,所以3(b-b )-2(S-S )=0,
n n n-1 n-1 n n-1 n n-1
b
所以3(b-b )-2b=0,即 =3(n≥2).
n n-1 n n
b
n-1
当n=1时,3b-2S=2,又因为S=b,所以b=2.
1 1 1 1 1
所以数列{b}是以2为首项、3为公比的等比数列.
n
所以b=2×3n-1.
n
(2)因为c={ n+2,n为奇数,
n
2×3n-1,n为偶数,
所以,数列{c}的前2n+1项和为(3+5+7+…+2n+3)+2(31+33+35+…+32n-1)
n
(n+1)(3+2n+3) 6(1-9n) 9 32n+1
= + =n2+4n+ + .
2 1-9 4 4
19.(2021天津河东二模,18)设数列{a}的前n项和为S=2n2,{b}为等比数列,且a=b,b(a-a)=b.
n n n 1 1 2 2 1 1
(1)求数列{a}和{b}的通项公式;
n n
a
(2)设c= ,求数列{c}的前n项和T.
n n n n
b
n
解析 (1)当n=1时,a=S=2;
1 1
当n≥2时,a=S-S =2n2-2(n-1)2=4n-2.
n n n-1
因为当n=1时,a=2也满足上式,
1
所以{a}的通项公式为a=4n-2.
n n
1
设{b}的公比为q,则b(a-a)=4bq=b,∴q= .
n 2 2 1 1 1
4
1 2
故b=bqn-1=2× ,即{b}的通项公式为b= ,
n 1 4n-1 n n 4n-1
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4n-2
a
(2)∵c= n= 2 =(2n-1)4n-1,
n
b
n 4n-1
∴T=c+c+…+c=1+3×41+5×42+…+(2n-1)4n-1,
n 1 2 n
4T=1×4+3×42+5×43+…+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n.
n
两式相减得-3T=1+2(41+42+…+4n-1)-(2n-1)4n,
n
1
∴T= [(6n-5)·4n+5].
n
9
20.(2021宁夏顶级名校测试,17)已知数列{a}的前n项和为S,且n,a,S 成等差数列,
n n n n
b=2log(1+a)-1.
n 2 n
(1)证明数列{a+1}是等比数列,并求数列{a}的通项公式;
n n
(2)若数列{b}中去掉数列{a}的项后余下的项按原顺序组成数列{c},求c+c+…+c 的值.
n n n 1 2 100
解析 (1)因为n,a,S 成等差数列,
n n
所以S+n=2a,①
n n
所以S +(n-1)=2a (n≥2).②
n-1 n-1
①-②,得a+1=2a-2a ,所以a+1=2(a +1)(n≥2).又当n=1时,S+1=2a,所以a=1,所以a+1=2,故数
n n n-1 n n-1 1 1 1 1
列{a+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以a+1=2·2n-1=2n,即a=2n-1.
n n n
(2)根据(1)知,b=2log(1+2n-1)-1=2n-1,b=1,所以b -b=2,所以数列{b}是以1为首项,2为公差的等
n 2 1 n+1 n n
差数列.
又因为a=1,a=3,a=7,a=15,a=31,a=63,a=127,a=255,b =127,b =211,b =213,
1 2 3 4 5 6 7 8 64 106 107
所以c+c+…+c =(b+b+…+b )-(a+a+…+a)
1 2 100 1 2 107 1 2 7
107×(1+213) 107×214 2(1-27)
= -[(21+22+…+27)-7]= - +7=1072-28+9=11 202.
2 2 1-2
21.(2021安徽芜湖期末,17)设数列{a}的前n项和为S,已知S=3,a =S+1(n∈N*).
n n 2 n+1 n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)设b= a ,记数列{b}的前n项和为T,求证:T<1.
n n n n n
(a +1)(a +1) 2
n n+1
解析 (1)∵a =S+1,∴a=S +1(n≥2),
n+1 n n n-1
∴a -a=a,∴a =2a(n≥2).
n+1 n n n+1 n
又a=S+1=a+1,S=a+a=3,
2 1 1 2 1 2
∴a=1,a=2,∴a=2a 也满足a =2a(n≥2).
1 2 2 1 n+1 n
∴{a}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴a=2n-1.
n n
10 / 11北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
(2)证明:由(1)知b= a = 2n-1 = 1 - 1 .
n n
(a +1)(a +1) (2n-1+1)(2n+1) 2n-1+1 2n+1
n n+1
∴T n =b 1 +b 2 +…+b n =( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+…+( 1 - 1 )= 1 - 1 =1-
20+1 21+1 21+1 22+1 2n-1+1 2n+1 20+1 2n+1 2
1 1
< .
2n+1 2
1
22.(2021浙江名校协作体高三下联考,20)已知数列{a}满足:a= ,2a a-3a +a=0.
n 1 n+1 n n+1 n
4
(1)证明:数列{1 -1 }为等比数列,并求数列{a n }的通项公式;
a
n
n2
(2)记b= (a+2),求使[b]+[b]+[b]+…+[b]≤2 020成立的最大正整数n的值(其中,符号[x]表示
n n+1 n 1 2 3 n
不超过x的最大整数).
解析 (1)∵2a n+1 a n -3a n+1 +a n =0,∴ 1 = 3 -2,即 1 -1=3( 1 -1 ),∴{1 -1 }为等比数列,又a 1 =1
a a a a a 4
n+1 n n+1 n n
1 1
,∴ -1=3·3n-1=3n,∴a= .
a n 3n+1
n
(2)b= n2 ( 1 )=2(n-1)+ 2 + n2 .
n +2
n+1 3n+1 n+1 (n+1)(3n+1)
∵ 2 + n2 <1(n≥2)⇔n2<(3n+1)(n-1)⇔(3n+1)(n-1)-n2>0,
n+1 (n+1)(3n+1)
又3n=(1+2)n≥1+2n,∴(3n+1)(n-1)-n2≥n2-2>0,n≥2,
∴[b]=2(n-1),n≥2,
n
1-√8 077 1+√8 077
∴[b]+[b]+[b]+…+[b]=1+2×1+2×2+…+2(n-1)=n2-n+1≤2 020,解得 ≤n≤
1 2 3 n
2 2
,
又n∈N*,从而1≤n≤45.故n的最大值为45.
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