曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
7.2 等比数列
五年高考
考点一 等比数列及其前n项和
1.(2022全国乙,理8,文10,5分,基础性)已知等比数列{a }的前3项和为168,a -a =42,则
n 2 5
a =( )
6
A.14 B.12 C.6 D.3
答案 D
2.(2015课标Ⅱ,4,5分,基础性)已知等比数列{a }满足a =3,a +a +a =21,则a +a +a =( )
n 1 1 3 5 3 5 7
A.21 B.42 C.63 D.84
答案 B
3.(2020课标Ⅱ文,6,5分,基础性)记S 为等比数列{a }的前n项和.若a -a =12,a -a =24,则
n n 5 3 6 4
S =( )
n
a
n
A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1
答案 B
4.(2020课标Ⅱ理,6,5分,基础性)数列{a }中,a =2,a =a a .若a +a +…+a =215-25,则
n 1 m+n m n k+1 k+2 k+10
k=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
5.(2019课标Ⅲ,文6,理5,5分,基础性)已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项和为15,
n
且a =3a +4a ,则a =( )
5 3 1 3
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C
6.(2018北京,文5,理4,5分,应用性)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用
数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度
音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个
单音的频率的比都等于 1√22.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )
A. f
√32f B.√3 22f C. 1√2 25f D. 1√2 27
答案 D
1
7.(2019课标Ⅰ理,14,5分,基础性)记S 为等比数列{a }的前n项和.若a = ,a2=a ,则S =
n n 1 3 4 6 5
.
121
答案
3
8.(2022新高考Ⅱ,17,10分,创新性)已知{a }是等差数列,{b }是公比为2的等比数列,且a -
n n 2
b =a -b =b -a .
2 3 3 4 4曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(1)证明:a =b ;
1 1
(2)求集合{k|b =a +a ,1≤m≤500}中元素的个数.
k m 1
解析 (1)证明:设等差数列{a }的公差为d.
n
由a -b =a -b 得a +d-2b =a +2d-4b ,故d=2b ,①
2 2 3 3 1 1 1 1 1
由a -b =b -a 得a +2d-4b =8b -a -3d,故2a +5d=12b ,② 由①②得2a +10b =12b ,即a =b .
3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(2)由(1)知d=2b =2a ,由b =a +a ,1≤m≤500得b ×2k-1=2a +(m-1)d,即a ×2k-1=2a +2(m-1)a ,
1 1 k m 1 1 1 1 1 1
其中a ≠0,
1
∴2k-1=2m,即2k-2=m,∴1≤2k-2≤500,∴0≤k-2≤8,∴2≤k≤10.故集合{k|b =a +a ,1≤m≤500}中元素
k m 1
个数为9个.
9.(2020新高考Ⅰ,Ⅱ,18,12分,综合性)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)(新高考Ⅰ)记b
m
为{a
n
}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b
m
}的前100项和
S .
100
(新高考Ⅱ)求a a -a a +…+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1
1
解析 (1)设{a }的公比为q.由题设得a q+a q3=20,a q2=8.解得q = (舍去),q =2.由题设得
n 1 1 1 1 2
2
a =2.
1
所以{a }的通项公式为a =2n.
n n
(2)(新高考Ⅰ)由题设及(1)知b =0,且当2n≤m<2n+1时,b =n.所以S =b +(b +b )+
1 m 100 1 2 3
(b +b +b +b )+…+(b +b +…+b )+(b +b +…+b )
4 5 6 7 32 33 63 64 65 100
=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
(新高考Ⅱ)a a -a a +…+(-1)n-1a a
1 2 2 3 n n+1
=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1=23[1-(-22)n] 8 22n+3.
= −(−1)n
1-(-22) 5 5
10.(2020课标Ⅲ文,17,12分,综合性)设等比数列{a }满足a +a =4,a -a =8.
n 1 2 3 1
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)记S 为数列{log a }的前n项和.若S +S =S ,求m.
n 3 n m m+1 m+3
解析 (1)设{a }的公比为q,则a =a qn-1.
n n 1
{a +a q=4,
由已知得 1 1 解得a =1,q=3.
1
a q2-a =8.
1 1
所以{a }的通项公式为a =3n-1.
n n
n(n-1)
(2)由(1)知log a =n-1.故S = .
3 n n
2
由S +S =S 得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去)或m=6.
m m+1 m+3
解析 (1)设{a }的公比为q,则a =a qn-1.
n n 1
{a +a q=4,
由已知得 1 1 解得a =1,q=3.
1
a q2-a =8.
1 1
所以{a }的通项公式为a =3n-1.
n n
n(n-1)
(2)由(1)知log a =n-1.故S = .
3 n n
2
由S +S =S 得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去)或m=6.
m m+1 m+3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
考点二 等比数列的性质及应用
1.(2014大纲全国,10,5分,基础性)等比数列{a }中,a =2,a =5,则数列{lg a }的前8项和等
n 4 5 n
于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
2.(2020课标Ⅰ文,10,5分,基础性)设{a }是等比数列,且a +a +a =1,a +a +a =2,则
n 1 2 3 2 3 4
a +a +a =( )
6 7 8
A.12 B.24 C.30 D.32
答案 D
3.(2021全国甲理,7,5分,综合性)等比数列{a }的公比为q,前n项和为S .设甲:q>0,乙:{S }
n n n
是递增数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
4.(2014广东,13,5分,综合性)若等比数列{a }的各项均为正数,且a a +a a =2e5,则ln
n 10 11 9 12
a +ln a +…+ln a = .
1 2 20
答案 50
三年模拟
A组 考点基础题组
考点一 等比数列及其前n项和
1.(2022湖南常德一模,3)设S 为等比数列{a }的前n项和,若a =4,S =S +2,则a =( )
n n 4 3 2 1
1
A. B.1C.√2 D.2
2
答案 A
2.(2022石家庄行唐期末,3)等比数列{a }的前n项和为S ,S =3,S =9,则公比q=( )
n n 3 6
A.√3B.√2C.√33D.√32
答案 D
3.(2022广东汕头一模,4)已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项和为15,4a ,2a ,a 成
n 1 3 5
等差数列,则a =( )
1
A.5√2−5B.5√2+5C.5√2 D.5
答案 A
4.(2022重庆高考模拟调研(三),5)已知等比数列{a }的前n项和为S ,且a ,3a ,9a 成等差
n n 2 5 8
数列,则 S =( )
6
S
3
1 4
A. B. C.3 D.4
3 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 B
5.(2022河北廊坊省级示范性高中联合体第一次联考,4)已知S 为等比数列{a }的前n项
n n
和,且公比q>1,则“a >a ”是“S >0”的( )
5 1 4
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
6.(2022辽宁沈阳二模,5)已知数列{a }是递增的等比数列,且a +a =18,a a =32,若{a }的前
n 1 4 2 3 n
n项和S 满足S -S =216-26,则正整数k等于( )
n k+10 k
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 A
7.(2022江苏决胜新高考4月联考,13)已知正项等比数列{a }满足a =2a +3a ,则其公比
n n+2 n+1 n
为 .
答案 3
8.(2022重庆第十一中学校3月月考,14)记S 为数列{a }的前n项和,若S =2a -1,则a =
n n n n 5
.
答案 16
考点二 等比数列的性质及应用
1.(2022长沙一中月考(八),12)一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项
和为( )
A.180 B.108 C.75 D.63
答案 D
2.(2022上海民办南模中学3月月考,7)正项等比数列{a }满足:a +a -a -a =6,则a +a 的最
n 3 6 1 4 5 8
小值为 .
答案 24
3.(2022广东佛山二模,16)公比为q的等比数列{a }满足:a =ln a >0,记T =a a a …a ,则当
n 9 10 n 1 2 3 n
q最小时,使T ≥1成立的最小n的值是 .
n
答案 17
4.(2022河北九师联盟3月质检联考(一模),17)已知数列{a }满足a =1,2a =4a -1.
n 1 n+1 n
(1)证明:数列{2a -1}是等比数列;
n
(2)求数列{n(2a -1)}的前n项和S .
n n
解析 (1)证明:由2a =4a -1,得2a -1=4a -2=2(2a -1).又2a -1=1≠0,所以2a -1≠0.
n+1 n n+1 n n 1 n
于是 2a n+1 -1=2,所以{2a n -1}是首项为1,公比为2的等比数列.
2a -1
n
(2)由(1)得2a -1=2n-1,则n(2a -1)=n·2n-1.
n n
S =1×1+2×2+3×22+4×23+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,①
n
2S =1×2+2×22+3×23+4×24+…+(n-1)×2n-1+n×2n.②
n
①-②,得-S =1+2+22+23+…+2n-1-n×2n
n
2(1-2n-1)
=1+ -n×2n
1-2
=(1-n)×2n-1.所以S =(n-1)×2n+1.
n
B组 综合应用题组曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
时间:50分钟 分值65分
一、单项选择题(每小题5分,共25分)
a4
1.(2022河北深州中学期末,7)已知正项等比数列{a n }的前n项和为S n ,b n = n ,且数列{b n }
a3
n+1
的前n项和为T ,若对于一切正整数n都有S <T ,则数列{a }的公比q的取值范围为(
n n n n
)
A.(1,+∞) B.(0,1) C.(2,+∞) D.(0,4)
答案 B
2.(2022湘赣皖长郡十五校联盟第二次联考,10)已知等比数列{a }的公比为q,且a =1,则下
n 5
列选项不正确的是( )
A.a +a ≥2 B.a +a ≥2
3 7 4 6
1 1
+
C.a -2a +1≥0 D. =a +a
7 6 a a 1 9
1 9
答案 B
3.(2022山东德州夏津一中4月联测,8)已知等比数列{a }的首项a >1,公比为q,前n项和
n 1
为S ,前n项积为T ,函数f(x)=x(x+a )(x+a )…(x+a ),若f '(0)=1,则下列结论不正确的是(
n n 1 2 7
)
A.{lg a }为单调递增的等差数列
n
B.0<q<1
C.{ a }为单调递增的等比数列
S - 1
n 1-q
D.使得T >1成立的n的最大值为6
n
答案 A
4.(2022山东潍坊素养测评,8)如图,在边长为a的等边三角形ABC中,圆D
1
与△ABC相切,
圆D 与圆D 相切且与AB,AC相切,……,圆D 与圆D 相切且与AB,AC相切,依次得到
2 1 n+1 n
圆D
3
,D
4
,…,D
n
.设圆D
1
,D
2
,…,D
n
的面积之和为X
n
(n∈N*),则X
n
=( )
A. 1 πa2(1) n-1
12 9
B. 3 πa2 [ 1- (1) n]
32 9曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
C.1
πa2
[
1-
(1) n]
8 3
D. 1 πa2 [ (1) n-1 - (1) n-1 +1 ]
12 9 3
答案 B
5.(2020山东济宁一中质检,6)已知正项等比数列{a }满足:a a =16a ,a +a =20,若存在两项
n 2 8 5 3 5
1 4
a ,a 使得√a a =32,则 + 的最小值为( )
m n m n m n
3 9 3 9
A. B. C. D.
4 10 2 5
答案 A
二、多项选择题(共5分)
1
6.(2022江苏泰州兴化4月质检,10)数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
a
n
=
2n
,n∈N*,S
n
为数列{a
n
}的前n
项和,则( )
1
A.a = B.a ≤a
4 n+1 n
8
3
C.S <3 D.S < S
n n n-1
2
答案 BC
三、填空题(每小题5分,共15分)
7.(2022辽宁抚顺一模,16)设数列{a }的前n项和为S ,且S =2a +n-7,若30<a <50,则k的
n n n n k
值为 .
答案 4
5 1 1
8.(2022湖南益阳一模,16)已知数列{a }中,a =1,a = − ,若bn= ,则数列{b }的
n 1 n+1 2 a a -2 n
n n
前n项和S = .
n
4n+6n-1
答案 -
9
9.(2022广东梅州二模,16)分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全
新的思路.图1是长度为1的线段,将图1中的线段三等分,以中间部分的线段为边,向外作
等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到图2,称为“一次分形”;用同样的方法把图2
中的每条线段重复上述操作,得到图3,称为“二次分形”;……,依次进行“n次分
形”(n∈N*).规定:一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度,要得到一个长度
不小于30的分形图,则n的最小整数值是 .(取lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0)
答案 12
四、解答题(共20分)曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.(2022重庆第七次质检,17)已知数列{a n }满足a 1 =2,a n+1
={a
n
-1,n为奇数,
2a +2,n为偶数.
n
(1)记b =a ,写出b ,b ,并求数列{b }的通项公式;
n 2n-1 1 2 n
(2)求数列{a }的前30项和.
n
解析 (1)由题意得b =a =2,b =a =2a +2=2(a -1)+2=4.
1 1 2 3 2 1
当n≥2时,b =a =2a +2=2(a -1)+2=2a =2b .故{b }是首项为2,公比为2的等比数
n 2n-1 2n-2 2n-3 2n-3 n-1 n
列,b =2n.
n
(2)由(1)知a =b =2n,
2n-1 n
∴a +a +…+a +a =a +(a -1)+a +(a -1)+…+a +(a -1)=2(b +b +…+b )-15
1 2 29 30 1 1 3 3 29 29 1 2 15
=2×(216-2)-15=217-19.
11.(2022广东汕头一模,18)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,3a
n
=2S
n
+2n(n∈N*).
(1)证明:数列{a +1}为等比数列,并求数列{a }的前n项和S ;
n n n
(2)设b
n
=log
3
(a
n+1
+1),证明: 1
+
1
+…+
1 <1.
b2 b2 b2
1 2 n
解析 (1)当n=1时,3a =2S +2,即a =2,由3a =2S +2n,得3a =2S +2(n-1),n≥2,两式相减可
1 1 1 n n n-1 n-1
得3a -3a =2a +2,即a =3a +2,
n n-1 n n n-1
所以a +1=3(a +1),即 a +1 =3,又a +1=3,所以数列{a +1}为等比数列,则a +1=3×3n-1=3n,
n n-1 n 1 n n
a +1
n-1
所以a =3n-1,
n
3(1-3n) 3n+1-3
则S =(3+32+…+3n)-n= −n= -n.
n 1-3 2
(2)证明:由(1)及题意得b
n
=log
3
(a
n+1
+1)=log
3
3n+1=n+1, 1
=
1
<
1
=
1
−
1 ,
b2 (n+1)2 n(n+1) n n+1
n
所以 1 + 1 +…+ 1 < ( 1- 1) + (1 - 1) +…+ (1 - 1 ) =1− 1 <1.
b2 b2 b2 2 2 3 n n+1 n+1
1 2 n
一年创新
1.(2022 5·3原创题)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(1-x)=f(x-5), f(1)=1,各项均
为正数的数列{a
n
}满足a
1
=1,
a2−(√3−1)anan−1−√3a2
=0(n≥2),则f(a
3
)+f(a
5
)=( )
n n-1
A.2 B.1 C.0 D.-1
答案 A
2.(2022 5·3原创题)“0,1数列”在通信技术中有着重要应用,它是指各项的值都等于0或
1的数列.设A是一个有限“0,1数列”, f(A)表示把A中每个0都变为1,0,1,每个1都变
为0,1,0,所得到的新的“0,1数列”,例如A={1,0},则f(A)={0,1,0,1,0,1}.设A 是一个有限
1
“0,1数列”,定义A =f(A ),k=1,2,3,….若有限“0,1数列”A ={0,1,0},则数列A 的所
k+1 k 1 2 022
有项之和为 .
