文档文本内容
1
平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C10】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图①，已知正方形
的对角线
、
相交于点
，
是
上一点，连结
，过点
作
，垂足为
，
交
于点
．
试说明
．
如图②，若点
在
的延长线上，
于点
，交
的延长线于点
，其它条件不
变，则结论“
”还成立吗?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理
由．
如图③，当
时，过点
作
交
边于
．若该正方形的边长为，求
的长．
【答案】（1 ）证明见解析．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
成立．
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
成立．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
3
【标注】
∵
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
2.
1
2
（1 ）
【解析】
如图，四边形
是正方形，点
，
分别在
，
上，点
在
的延点长线上，且
．
求证：
．
．
尺规作图：以线段
，
为边作出正方形
．(要求：只保留作图痕迹，不写作法和
证明)
连接( )中的
，猜想并写出四边形
是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
当
时，请直接写出
的值．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
证明见解析．
证明见解析．
画图见解析．
四边形
是平行四边形．
．
四边形
是正方形，
∴
，
．
又∵
，∴
≌
．
∴
，
．
∵
≌
．
∴
，
．
又∵
，
正方形
正方形
4
（2 ）
（3 ）
∴
，∴
．
如图（注：图或其他画法正确的相应给分）
图
图
由（）知
且
；所以要作正方形
，
只需要作出
，所以可分别以
、
为圆心，
长为半径作弧，两弧交于
点
，即可作出正方形．（本题也可通过作一组邻边相等的矩形得到）
四边形
是平行四边形．
证明：设
，
相交于
点．
∵四边形
和四边形
都是正方形，
∴
，
，
，
，
∵
，∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形．（注：由
，
得
也可）
5
方法一：
方法二：
（4 ）
【标注】
．
两个正方形的面积比等于边长的平方比，
，由
得
，
所以
．
∵
，
∴设
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
正方形
正方形
正方形
正方形
正方形
正方形
正方形
正方形
图
（1 ）
（2 ）
3. 已知正方形
和等腰
，
，
，按照①放置，使点
在
上，
取
的中点
，连接
、
．
探索
、
的数量关系和位置关系并证明．
将图中
绕点
转动任意角度（旋转角在
到
之间），再连接
，取
的中点
（如图②），问（）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．
图
6
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
结论仍然成立．
，
．
连接
，
∵
为等腰三角形，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
、
、
三点共线，
，
∴
，
．
∵
为
中点，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
、
的数量关系为
，位置关系为
．
（）中的结论仍然成立，理由如下：
延长
至点
，使
，连接
、
、
，延长
交
于
，交
于
，
7
方法二：
方法三：
∵
为
的中点，
∴
．
又
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
又
，
，
∴
（即
）．
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
．
∵
，
∴
，即
，
∴
为等腰直角三角形．
∵
，即
为
中点，
∴
，
．
如图延长
到使
，连结
、
、
得
≌
，可得
，
，可证明
，得
≌
，有
，
为直角，所以
，
．
如图，连接
，取
中点
，
中点可得
，
，因为
，所以
得
≌
，故
，进一步可证明
．
8
方法四：
【标注】
仍然成立．
延长
至
，令
，延长
至
，令
．
连接
、
、
、
，
此时：
为
的中位线，
，
，
为
的中位线，
，
若可证
，
，则可证
，
，
由
为等腰直角三角形可知，
也为等腰直角三角形，
；
由
为等腰直角三角形可知，
也为等腰直角三角形，
；
则可知等腰
和等腰
构成手拉手模型，则
≌
，
∴
，
，
延长
、
交于点
，则有
，即
，
则可证
，
．
【知识点】正方形与全等综合
