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1
平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C11】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，正方形
中，
是对角线，等腰
中，
，
，点
在
边上，连接
，点
是
的中点，连接
．
若
，
，求
的值．
在（）的条件下，连接
，求
的长．
如图，当等腰
的点
落在正方形
的
边上，连接
，点
是
的中
点，连接
，延长
交
于点
，请探究线段
、
、
的数量关系，并证明你的
结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
，证明见解析．
过点
作
交
的延长线于点
，
2
（2 ）
（3 ）
可得四边形
为矩形，
∵四边形
是正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
在
中，
，
∵点
是
的中点，
∴
．
延长
交
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
，理由如下：
3
【标注】
延长
、
相交于点，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴点
是
的中点，
∵点
是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，在等腰
中，已知
，
，点
、
、
分别是边
、
、
的中点，以
、
为边长分别作正方形
和
，连接
、
、
．
用含的代数式表示
的面积．
试探究
是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明．
当
时，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
是等腰直角三角形．
．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
连接
，
∵
，
是边
的中点，
∴
，
在
中，
，
由勾股定理得，
，
∴
．
是等腰直角三角形．
连接
，
，
∵
，点
、
、
分别是边
、
、
的中点，
∴
，
∴四边形
是边长为的菱形，
∴
，
∴
，即
，
∴
≌
，
∴
且
（设大小为）
又设
，则
,
．
在
中，
，
∴
，
由三角形内角和定理可知：
，
得：
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形．
5
（3 ）
【标注】
在等腰
中，
，
又当
时，
，
从而有：
，
又
，
得
，
．
如图，作
的边
上的高
，
则由勾股定理有：
，
，
，
，
∴
的面积为：
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
3. 如图，边长为的正方形
被两条与边平行的线段
、
分割成四个小矩形，
与
交
于点
，连接
、
．
若
，求证
．
若
，求
的周长（用含的代数式表示）．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
若
的周长为，求矩形
的面积（用含的代数式表示）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵
是正方形，
∴
，
．
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
将
绕点
顺时针旋转
到
的位置
在
与
中，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
7
（3 ）
【标注】
∴
的周长
，
∵正方形
的边长为，
∴
，
∴
的周长
．
设
，
，
则
，
（
，
）
在
中，
，
∵
的周长为，
∴
，
即
，
即
整理得
，
∴
，
∴矩形
的面积：
．
∴矩形
的面积是
．
【知识点】正方形与全等综合
