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平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C12】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形
中，
，将三角板放
在正方形
上，使三角板的直角顶点与
点重合．三角板的一边交
于点
，另一边交
的
延长线于点
．
求证：
．
如图，小明在图的基础上作
的平分线
交
于点
，连接
，他发现
和
存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明．
如图，固定三角板直角顶点在
点不动，转动三角板，使三角板的一边交
的延长线于点
，另一边交
的延长线于点
，仍作
的平分线
交
延长线于点
，连接
，
若
，请帮小明算出
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵
，
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
猜测：
．
证明：由（）可知，
．
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
∵
，
，
∴
，
．
与（）同理，可以证明
≌
，
∴
．
与（）同理，可以证明
≌
，
∴
．
设
，则
．
在
中，由勾股定理得：
，
即：
，
解得：
，即
．
∴
．
∵
≌
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
2. 如图所示，正方形
的边长为，点
、
分别为边
、
上两点，且
．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
连接
，若
，求
的度数．
设
的周长为
，点
在
上运动的过程中，
的值是否发生变化？若不变，求
的
值，若变化，求
的取值范围．
当
时，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
会发生变化，
的取值范围为
．
．
在正方形
中，
，
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
）
4
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
∵
，
∴
．
的值会发生变化，
∵当
从
向
运动时，
和
均会增大，
∴
的值会发生变化，
的取值范围为
．
将
绕点
逆时针旋转
得
，
∵
，
∴
与
重合，
、
、
三点共线，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
3. 如图，在正方形
中，点
，
分别是边
，
上的点，且
．连接
，过点
作
，使
，连接
，
．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
请判断：
与
的数量关系是 ，位置关系是 ．
如图，若点
，
分别是边
，
延长线上的点，其它条件不变，（）中结论是否仍然
成立？请作出判断并给予证明．
图
如图，若点
，
分别是边
，
延长线上的点，其它条件不变，（）中结论是否仍然
成立？请直接写出你的判断．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
，
．
，
．
在正方形
中，
，
．
在
和
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
6
（2 ）
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
所以
且
．
过点
作
的延长线于点
，
图
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
7
（3 ）
【标注】
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴四边形
平行四边形，
∴
，
．
【知识点】正方形与全等综合
