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1
平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C13】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 解答下列问题：
如图，在正方形
中，
的顶点
、
分别在
、
边上，高
与正方形的边
长相等，求
的度数．
如图，在
中，
，
，点
、
是
边上的任意两点，且
，将
绕点
逆时针旋转
至
位置，连接
，试判断
、
、
之间的数量关系，并说明理由．
如图，在第（）问的条件下，连接
分别交
、
于点
、
，若
，
，
，求
、
的长．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
，
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
同理，
，
∴
．
．
理由：由旋转可知，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
又∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
．
∵
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
．
由（）知，
，
．
设
，则
，
．
在
中，
∵
，
∴
，
解得
，
（舍去），
∴
．
在
中，
．
3
【标注】
在（）中，
，
，
∴
．
设
，则
，
即
，
∴
，
即
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，四边形
是正方形，
，点
在
边上，
，
于点
，
于点
．
求
和
的长．
如图，连接
、
，探究并证明线段
与
的数量关系与位置关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
，
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
在
中，
，
4
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
．
，
．理由如下：
作
于
，如图，
∵
≌
，
∴
，
∴
，
同理可证：
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
已知，正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交
、
（或它们的延长线）于点
、
，
于点
．
如图①，当
绕点
旋转到
时，请你直接写出
与
的数量关
系： ．
A
B
C
D
M
N
H
图
如图②，当
绕点
旋转到
时，（）中发现的
与
的数量关系还成
立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明．
B
C
D
M
H
图
如图③，已知
，
于点
，且
，
，求
的长．
（可利用（）得到的结论）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
成立，证明见解析．
的长为．
成立，理由如下：
如图，将
绕点
旋转
，由于
,
∴旋转后
点与
点对应，
点与
点对应．
由旋转可知
≌
，
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方法二：
（3 ）
∴
，
，
又
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
延长
至点
，使
，连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
≌
．
∴
，
，
又
，
∴
．
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
作
关于直线
的对称
，
作
关于直线
的对称
，
∵
是
的高，
∴
，
∴
．
又∵
，
7
【标注】
∴
．
延长
、
交于点
，
则四边形
是矩形，
又∵
，
∴四边形
是正方形，
由（）、（）知：
，
，
设
，则
，
∴
，
，
，
在
中，
，
解得
，
，
故
的长为．
【知识点】正方形与全等综合
