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1
平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C14】
（1 ）
图2
1
2
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
已知：四边形
是正方形，点
在
边上，点
在
边上，且
．
如图，判断
与
有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明．
图1
如图，对角线
与
交于点
．
，
分别与
，
交于点
，点
．
求证：
．
连接
，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
，证明见解析．
证明见解析．
．
．
理由如下：
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
2
1
图2
2
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∵
（已证），
∴
，
即
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
如图，过点
作
于
，作
于
，
∵
≌
（已证），
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴四边形
是正方形，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴正方形
的边长
，
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
2. 把一个含
角的直角三角板
和一个正方形
摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形
的顶点
重合，连接
，点
，
分别为
，
的中点，连接
，
．
如图，点
，
分别在正方形的边
，
上，请判断
，
的数量关系和位置关系，
直接写出结论．
3
（2 ）
（1 ）
【解析】
图
如图，点
，
分别在正方形的边
，
的延长线上，其它条件不变，那么你在（）中
得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，证明见解析．
成立，证明见解析．
连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵点
是
的中点，
∴
．
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
4
（2 ）
∵点
，
分别为
，
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∴
；
∵
是
的中位线，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
是
的外角，
∴
．
∵
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
，
．
连接
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
在
中，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴
．
∵点
是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
．
5
【标注】
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
．
∵点
、
分别在正方形
、
的延长线上，
∴
，即
．
在
与
中，
∵
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
1
2
（2 ）
1
2
（3 ）
3. 四边形
是边长为的正方形，点
是边
上一动点（包含端点
、不包含
），点
是正方
形外角
的平分线上一点，且满足
．
当点
与点
重合时，直接写出线段
与线段
的数量关系．
如图，当点
是边
的中点时．
补全图形．
请证明①中的结论仍然成立．
取线段
的中点
，连接
、
、
．
求证：
．
直接写出线段
长度的取值范围．
6
（1 ）
1
2
（2 ）
1
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
1
2
（3 ）
．
画图见解析．
证明见解析．
证明见解析．
．
．
补图如下
取
中点
，连
，
∵
是正方形，
∴
，
，
∵
为
中点，
为
中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
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2
【标注】
作
于
，连
，
∵
为
中点，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
同
可证
，
则
≌
，
则
，
在
和
中，
∴
≌
，
∴
．
当
时，
，
此时
在
延长线上，
与
重合，
当
与
重合时，
，
此时
与
重合，
又∵
在边
上（包含点
，不含点
），
∴
，
又
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
