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平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C15】
（1 ）
1
2
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
已知：如图，正方形
中，
是
边上的一点，连接
，作
于
，交正方形
的外角
的平分线于
，易证：
．
图
图
图
当点
在
的延长线上时，其他条件不变，请在图中补全图形，猜想
与
的数量关
系，并证明你的结论．
当点
在
边上时，其他条件不变，连接
，交
边于点
．
用等式表示线段
、
和
之间的数量关系，并证明．
若正方形的边长为，
，求
的长．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
，证明见解析．
证明见解析．
．
，证明如下，
作
交
于
，连
，设
、
交于
．
∵
为正方形，
∴
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
，
．
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
2
1
（2 ）
，
∴
≌
，
∴
．
，证明如下：
如图在
上取
，连
．
∵
为正方形，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
延
至
，使
，连
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
3
2
【标注】
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵正方形边长为，
∴
，
∵
,
∴
，
设
，则
，
，
在
中，由勾股定理知，
，
即
，
得
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
2. 已知，
中，
，
，点
是线段
的中点，连接
，将
绕点
逆时针旋转度得到
，连接
，点
是线段
的中点，连接
、
．
如图，当
时，直接写出线段
和
之间的位置关系和数量关系．
4
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
如图，当
时，探究线段
和
之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过
程．
图
如图，直接写出当
在绕点
逆时针旋转的过程中，线段
的最大值和最小值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
，
最小值
，最大值
．
连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
≌
，
∴
，
，
∴
，
，
又∵
，
5
（3 ）
【标注】
∴四边形
为正方形，
∵
为
中点，
为
中点，
∴
且
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
连接
，
∵
、
为
，
中点，
∴
，
在
中，
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在
中，
，以
为斜边作等腰直角
．
如图，请直接写出
的度数．
图
如图，若
，以
、
为边作矩形
，连结
、
，证明
．
（备注：（）中结论可直接使用）
6
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
如图，若
，则四边形
是正方形，点
、
分别为四边形
的边
、
延长线上两点，且
，求证：
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
证明见解析．
．
如图，过点
作
于点
，
于点
，
图
在四边形
中，
∵
，
，
，
∴四边形
为矩形．
∴
，
．
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
．
在
和
中，
7
（2 ）
（3 ）
，
∴
≌
（
）．
∴
．
∴
．
∴
为等腰直角三角形．
∴
．
证明：∵
，
又∵
为矩形，
∴
，
．
∴
为等腰直角三角形．
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
为等腰直角三角形，
∴
．
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
．
∴
，
∴
．
如图，截取
，连接
．
图
8
【标注】
∵四边形
为正方形，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
，
．
∵
，
∴
．
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
．
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
