文档文本内容
1
平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C20】
（1 ）
1
2
（2 ）
1. 如图，四边形
是正方形，
是
垂直平分线上的点，点
关于
的对称点是
，直线
与直线
交于点
．
若点
是
边的中点，连接
，则
．
小明从老师那里了解到，只要点
不在正方形的中心，则直线
与
所夹锐角不变．他尝
试改变点
的位置，计算相应角度，验证老师的说法．
请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.
我选择 小明的想法；（填“用”或“不用”）并简述求直线
与
所夹锐角
度数的思路．
如图，将点
选在正方形内，且
为等边三角形，求出直线
与
所夹锐角的
度数．
2
（1 ）
方法一：
1
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
．
．
如果沿用小明的想法：
如图，我将点
选在
边的中点．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
．
∵点
是点
关于
的对称点，
∴
.
∴
.
∴
在
上.
∴
在直线
上.
∴
.
∴
，
.
∵
是
的中点，
3
方法二：
∴
，
∴
≌
．
∴
.
∴
.
∵
，
∴
是等腰直角三角形.
∴
.
∴
.
∴直线
与
所夹锐角为
．
如图，
我将点
选在正方形外，使
的位置，
连接
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∵
在
的垂直平分线上，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
，
．
∴
．
∵点
是点
关于
的对称点，
∴
．
∴
，
，
三点共线.
∴点
与点
重合．
∴
，
．
∴
．
∴
≌
．
4
2
【标注】
∴
．
如果不沿用小明的想法：
如：用解析法或几何方法证明一般结论等．
∵
是等边三角形，
∴
，
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
．
∴
，
．
∴
．
∵点
是点
关于
的对称点，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
≌
．
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
1
2
3
（1 ）
（2 ）
2. 分
、卷
（
）
如图，点
为
的边
上一动点，过点
的直线
，设
分别交
的
内外角平分线于点
、
．
求证：
．
动点
在何处时，四边形
为矩形？并说明理由．
请在
中添加条件，使（）中的四边形变为正方形，并说明理由．
（）
5
1
2
1
2
3
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
如图，四边形
是正方形，
、
分别是
、
的中点，连接
和
，两线相交
于点
．
求证：
．
连接
，求证：
．
【答案】
1
2
3
（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
当
运动到
中点时，四边形
为矩形．
是直角三角形，理由见解析．
证明见解析．
证明见解析．
∵
，
是
的角平分线，
是
的角平分线，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
当
运动到
中点时，四边形
为矩形．
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∵
，
∴
，
∴四边形
为矩形．
当四边形
变为正方形，
，
∵
，
∴
，
∴
是直角三角形．
∵点
、
分别是正方形
的边
和
的中点，
∴
．
在
和
中，
6
2
【标注】
，
∴
≌
．
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
延长
、
交于点
，
∵
．
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是直角
斜边
上的中线，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
3. 如图，在正方形
中，
的顶点
、
分别在
、
边上，高
与正方形的边长相
等．
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
的度数为 ．
若
，
，求
的长．
连接
分别交
、
于点
、
，试判断
、
、
之间的数量关系，并说明理
由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
（
），
同理：
≌
，
∴
，
，
∵
，
8
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
．
设正方形的边长为，
由（）得，
，
，
∴
，
，
，
在
中，
，即
，
解得：
或
（舍），
∴
．
连接
、
，
由（）知，
，
，
又∵
，
，
，
∴
≌
，
≌
，
∴
，
，
，
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
