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1
平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C7】
（1 ）
（2 ）
1.
方法一：
方法二：
（1 ）
【解析】
四边形
是正方形，
是等腰直角三角形，
，
．
为
的中
点，连接
、
、
．
如图，若点
在
边的延长线上，试判断
与
的位置与数量关系，并证明．
将图中的
绕点
顺时针方向旋转至如图所示位置，在（）中所得的结论是否仍然成
立？若成立，请写出证明过程．若不成立，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
结论仍然成立，证明见解析．
过点
作
于
．
∵
，
∴
．
∵
为
的中点，
∴
为
的中点，
∴
，
，
即
，
∴
．
∴
，
．
且
；
如图，延长
，
交于
点，可证
≌
，
2
方法一：
方法二：
（2 ）
可得
，
，因此
为等腰
直角三角形，
利用等腰三线合一性质，可证得
且
．
倍长
至
，连接
、
、
、
．
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
．
∴
，
∴
．
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
（
）
∴
，
，
∴
，
∴
为等腰
．
又∵
为
的中点，
∴
，
，故（）中的结论仍然成立．
结论仍然成立，理由如下：
延长
至点，使得
，连接
，
，连接
并延长交
延长线于点，
在
和
中，
，
≌
，
，
，
，
，
，
3
【标注】
，
，
可证
≌
，
为等腰直角三角
形，
利用等腰三线合一性质，可证得
且
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形
的点
、
分别在轴和轴的正半轴上，点
在第一象限，
平分
交
于
．
A
O
C
B
P
图
求
的度数和
的长．
将正方形
绕点
逆时针旋转图的位置，
为（）中线段
上一点，
轴于
，
为
中点，试探究
与
的关系并证明．
图
绕点
旋转正方形
至图处，此时
， 轴上有一点
，
、
分
别为轴负半轴和线段
上的动点，试求
的最小值，并在图中画出取最
小值时
，
的位置．（简要说明作图过程）．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
O
C
B
A
M
N
E
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
；
．
，且
；证明见解析．
；画图见解析．
∵
平分
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
．
，且
，
理由如下：
取
中点
，连接
、
，
取
中点
，连
，
，
拉脚模型：
O
C
B
A
K
M
G
Q
P
，
，
5
（3 ）
【标注】
∴
，
同理
，
又∵
，
（中位线），
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
，
，
，
解
可知
，
作
关于轴对称点
、
关于
的对称点
，
O
C
B
A
M
N
E
B'
E'
则
，
，
∴
，
取最小值时
，
点分别为
与轴和
的交点，
最小值
．
【知识点】旋转性质综合应用
3.
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，已知正方形
和等边
，点
为
的中点，
与
相交于点
，
．
图
直接写出
．
求出
的长．
如图，若将题中“等边
”改为“
的等腰
”，其他条件不变，求出
的值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
易得
、
，
∴
，
∴
，
∴
为直角三角形，
∵
、
，
∴
．
由（）可得
，则
，
∴在等边
中
，
在等腰直角
中，由斜边上中线等于斜边的一半得
，
∴
．
7
【标注】
作
于
，作
交
的延长线于
，
∵
、
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
易证
≌
，
∴
，
．
【知识点】正方形与全等综合
