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第 04 讲 双曲线（含直线与双曲线的位置关
系）
目录
题型一：双曲线定义..................................................1
题型二：双曲线中的焦点三角形问题....................................2
题型三：双曲线的离心率..............................................4
题型四：双曲线中的渐近线问题........................................5
题型五：直线与双曲线的位置关系判断..................................6
题型六：双曲线中点弦问题............................................7
题型七：双曲线弦长（面积）问题......................................8
题型八：双曲线中定点、定值问题.....................................10
题型九：双曲线中定直线问题.........................................13
题型十：双曲线中向量问题...........................................14
题型一：双曲线定义
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下、上焦点分别为 ， ， 是双曲线上
一点且 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．例题2．（2023秋·高二课时练习）已知动点 满足 ，则动点P的轨
迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
例题3．（2023·全国·高二随堂练习）在相距2000m的两个观察站A，B先后听到远处传来的爆炸声，已知
A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s．建立适当的平面直角坐标系，判断爆炸点可能分布在什么样
的轨迹上，并求该轨迹的方程．
精练核心考点
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且
长轴长为26，若曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 的标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 上一点P到焦点 的距离为9，则它到另一个焦点
的距离为（ ）
A．15 B．5 C．3或5 D．3或15
3．（2023·全国·高二课堂例题）已知 ，动点P满足 ，求动点P的轨迹方
程．题型二：双曲线中的焦点三角形问题
典型例题
例题1．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左焦点为 ，过原点 的直线
与 的右支交于点 ，若 为等腰三角形，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： 的左､右焦点分别是 ， ，
是双曲线 上的一点，且 ， ， ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线 的焦点为 ， ，点M在双曲线上，且
轴，求 到直线 的距离.
精练核心考点
1．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ，
，直线 与 交于 ， 两点， ，且 的面积为 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）设 、 分别是双曲线 ： 的左、右两
个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
3．（2023秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为， ，离心率为 ， 为双曲线右支上一点，且满足 ，则 的周长为
.
题型三：双曲线的离心率
典型例题
例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知 ， 是双曲线 的左、右焦
点，若双曲线上存在点P满足 ，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过
的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上， ， 平分 ，则C的离
心率为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（多选）（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线 的上焦点为 ，
过焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，并与另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离
心率可能为（ ）
A． B． C． D．例题4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C： ，过其右焦点F作直线
交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.设 为坐标原点，若 的
面积为 面积的2倍，且 ，则双曲线C的离心率为 .
精练核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 （ ， ），直线 的斜率为 ，且过点
，直线 与 轴交于点 ，点 在 的右支上，且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
2．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知双曲线 ： ，
是直线 上任意一点，若圆 与双曲线 的右支没有公共点，
则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别
为 ，过双曲线 上一点 向 轴作垂线，垂足为 ，若 且 与 垂直，则双曲线 的
离心率为 .
4．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，坐标原点为
，若在双曲线右支上存在一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为 .题型四：双曲线中的渐近线问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 的离心率为 ，若点 与点
都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）双曲线 的离心率为2，
则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知 ， 为双曲线 的焦点，过 作
垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且 ，则双曲线的渐近线方程为 .
精练核心考点
1．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）过原点的直线l与双曲线E：
交于A，B两点（点A在第一象限）， 交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且 ，则
双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线 的左焦点F作C的其中一条渐近线的
垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且 ，则C的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·江苏·高二假期作业）设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右
支上存在一点P满足 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：直线与双曲线的位置关系判断
典型例题
例题1．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线
只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 ，直线 ，若直线与双曲线的交点
分别在两支上，求 的范围 ．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，直线 ，试确定实数k的取值范
围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
精练核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线 与曲线 仅有三个交点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知双曲线 的方程为 ，点 、 分别在 的左支和右
支上，则直线 斜率的取值范围是 ．
题型六：双曲线中点弦问题
典型例题
例题1．（2023秋·高二课时练习）设A，B为双曲线 右支上的两点，若线段AB的中点为
，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为 ，
过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为 ，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线相交于A，B两
点，P能否是线段AB的中点？为什么？
精练核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）过点 作斜率为1的直线，交双曲线 于A，B
两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知倾斜角为 的直线l与双曲线C： 交于A，B两点，且线段
的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线 ，过点 作直线 交双曲线于 ， ，若线
段 的中点在直线 上，求直线 的斜率．
题型七：双曲线弦长（面积）问题
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线 ，
焦点到渐近线的距离为 ，且离心率为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线交于 两点，若 ，求 的值．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知 ， 分别为双曲线 ： 的左、右焦点， 是 上一
点，线段 与 交于 点.
(1)证明： ；
(2)若 的面积为8，求直线 的斜率.
例题3．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）已知双曲线C：
的左右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，点 ， ， ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 经过点 ，且与双曲线 相交于 ， 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程．精练核心考点
1．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 的斜率
之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，求 的
面积.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知双曲线 与 有相同的渐近线， 为 上一点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 且倾斜角为 的直线与 相交于 、 两点，求
的面积.
3．（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知双曲线 ： 与双曲线
的渐近线相同，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；(2)已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，倾斜角为 ， 与双曲线 交于 两点，
求 的面积.
题型八：双曲线中定点、定值问题
典型例题
例题1．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点 在双曲线
上．
(1)点 ， 为 的左右顶点， 为双曲线 上异于 ， 的点，求 的值；
(2)点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足，证明：存在定点 ，使得 为定值．
例题2．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点 和点 在双曲线
上，双曲线 的左顶点为 ，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线
交于 ， 两点，直线 ， 与圆 分别交于 ， 两点.(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点.
例题3．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右
顶点分别为 、 ， 为双曲线上异于 、 的任意一点，直线 、 的斜率乘积为 ．双曲线 的焦
点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设不同于顶点的两点 、 在双曲线 的右支上，直线 、 在 轴上的截距之比为 ．试问直
线 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
精练核心考点
1．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知双曲线 的焦距
为 ，点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)点 是双曲线 上异于点 的两点，直线 与 轴分别相交于 两点，且 ，求
证：直线 过定点，并求出该定点坐标.2．（2023·全国·高二专题练习）双曲线C： 的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂
直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且 是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k，k，若 ，试问：直线MN是否经过
1 2
定点？证明你的结论．
3．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知直线 与双曲线 的右支交于不同的两
点 和 ，与 轴交于点 ，且直线 上存在一点 满足 （ 不与 重合）．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明：当 变化时，点 的纵坐标为定值．
题型九：双曲线中定直线问题
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ： ， ， 为Γ的
左、右顶点， 为Γ上一点， 的斜率与 的斜率之积为 ．过点 且不垂直于x轴的
直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线 上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 过点 ，离心率为 ，直
线 交 轴于点 ，过点 作直线交双曲线 于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)设 是直线 上关于 轴对称的两点，直线 与 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
精练核心考点
1．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）设双曲线 ，其虚轴长为 ，且
离心率为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点 、 ，在线段 上取点 使得
，证明：点 落在某一定直线上．2．（2023秋·全国·高二期中）已知点A为圆 上任意一点，点 的坐标为
，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设轨迹E与 轴分别交于 两点（ 在 的左侧），过 的直线 与轨迹 交于 两点，直
线 与直线 的交于 ，证明： 在定直线上．
题型十：双曲线中向量问题
典型例题
例题1．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知双曲线 的
两条渐近线分别为 ， .
(1)求双曲线 的离心率；
(2) 为坐标原点，过双曲线上一点 作直线 分别交直线 ， 于 ， 两点（ ， 分别在第
一、第四象限），且 ，求 的面积.
例题2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为
，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 的离心率为2，焦点到一条渐近线的
距离为 ．
(1)求双曲线 的方程．
(2)若过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线于 ， 两点，交 轴于 ，设 ．试判断
是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线： ，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C
的左、右顶点，直线 与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点 ， ，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求 的面积；
(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同
的组合分别解答，则按第一个解答计分.
