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第 04 讲 对数与对数函数
目录
第一部分：题型篇....................................................1
题型一：重点考查对数运算.........................................1
题型二：重点考查对数函数的定义...................................3
题型三：重点考查对数换底公式.....................................4
题型四：重点考查对数函数的定义域.................................6
题型五：重点考查对数函数的图象过定点.............................7
题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数）...................9
题型七：重点考查求对数函数的单调区间............................12
题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用........................15
题型九：重点考查对数函数的综合性问题............................19
题型十：重点考查对数函数模型的应用..............................23
题型十一：重点考查反函数的应用..................................27
第二部分：方法篇...................................................33
方法一：可化为一元二次函数型....................................33
方法二：分类讨论................................................36
方法三：数形结合................................................40
第三部分：易错篇...................................................44
易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域................44
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：题型篇
题型一：重点考查对数运算
典型例题
例题1．（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）求值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)0
(2)12
【详解】（1）原式
（2）原式 ．
例题2．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
精练核心考点
1．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）（1）计算： ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）【详解】（1） ；
（2） ，
，
，
2．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）求下列各式的值：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
题型二：重点考查对数函数的定义
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）若函数 是对数函数，则 .
【答案】5【详解】解：根据对数函数的定义有 ，解得 ，
故答案为：5．
例题2．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知对数函数
，
(1)求 的值；
(2)解不等式 ．
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1） 函数 是对数函数，
，解得 ， ，
（2） 在定义域 上单调递增，
可得到 ，解得 ，
不等式 的解集为 ．
精练核心考点
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数 ，则
______．
【答案】2
【详解】由对数函数的定义，可得 ，
解得 ．
故答案为 ．
2．（2023·高一课时练习）已知 为对数函数， ，则 ______．
【答案】1
【详解】设 （ ，且 ），则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1.
题型三：重点考查对数换底公式
典型例题
例题1．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若 ，且 ，则 __________．
【答案】
【详解】 ，且 ，
且 ，
，
，
，
.
故答案为： .
例题2．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知 （ 为常数，且 ， ），则
________．（用 表示）
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
故答案为：
精练核心考点
1．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）已知 ,则 ＝（ ）
A．a+b B．2a-b C． D．
【答案】C
【详解】解:因为 ,而 .
故选:C
2．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ，用a，b表示 ____________
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
.
故答案为： .
题型四：重点考查对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 有意义，则有 ，即
解得 ，所以函数 的定义域是 .故选：D
例题2．（2023·全国·高三专题练习） 的定义域为_______________
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ， ，
解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为：
例题3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考开学考试）已知函数 的
定义域为_______．
【答案】
【详解】函数 有意义，则有 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
精练核心考点
1．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知函数 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】已知函数 ，则 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
故选：C.2．（2023春·上海虹口·高三统考期中）函数 的定义域为________.
【答案】
【详解】函数 的定义域满足 ，解得 ，即
故答案为：
3．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）函数 的定义域是______．
【答案】 ；
【详解】函数 的定义域满足： .
故答案为： .
题型五：重点考查对数函数的图象过定点
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数
的图象恒过定点 ，若点 在角 的终边上，则满足条件的 值可以为
_________.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】对于函数 ，
令 ，可得 ，此时 ，即 ，则 ，
因为点 在第二象限，故 为第二象限角，故 .
故答案为： （答案不唯一）.
例题2．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）函数 的图像恒过定点 ，
点 的坐标是______．
【答案】
【详解】对于函数 ，令 ，即 ，则 ，
即函数 的图像恒过定点 ，即P的坐标是 ，故答案为：
例题3．（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知函数 且 的图象恒过定
点 ，若点 在一次函数 的图象上，其中 ，则 的最小值为____________．
【答案】2
【详解】∵函数 且 的图象恒过定点A，
∴当 时， ，∴ ，又点A在一次函数 的图象上，
∴ ，又 ，
∴ ，（当且仅当 时取“ ”），
故答案为：2.
精练核心考点
1．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数 的图象过定点 ，且点 在
指数函数 图象上，则 __________.
【答案】
【详解】在 中，令 ,可得 ,
故 .
设 ,由题意可得 ,解得 .
所以 ， .
故答案为: .
2．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数 且 的图像恒过定点 ，又点
的坐标满足方程 ，则 的最大值为__________.
【答案】 /0.5
【详解】 过定点 ，
所以 ，
又点 的坐标满足方程 ，
所以 ，
故 ，当且仅当 即 时取等号.
故答案为： .
3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）函数 且 的图象恒过的定点是
_____________.
【答案】
【详解】因为 ，
所以该函数的图象恒过的定点是 ，
故答案为：
题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数）
典型例题
例题1．（2023春·云南保山·高一校联考阶段练习）函数 的值域为 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 的值域为 ，
所以， 为函数 的值域的子集，所以， ，解得 .
故选：C.
例题2．（2023·高一课时练习）已知函数 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
故选：D
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，且 的最大值为 ，则函
数 的最小值为______
【答案】
【详解】因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，则 ，
故 的最大值为 ，
即 ，故 ．
则 ，
注意到 在定义域内单调递减，
可得 ， ，
故当 时， 取得最大值32，则 的取到最小值为 ．
故答案为： .
例题4．（2023春·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）函数 的值域是实
数集 ，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】函数 的值域是实数集R，则 能取遍 内
所有的数.
，
当 时， ，即 在R上单调递减．
当 时， ；
当 时， ．
这表明， 的值域为R，当然可取遍 的所有值．
当 时，令 ，则 ，
由 解得 ；由 解得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，所以 成立，令 ，
在 上单调递增且 ，故 .
综上： .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值为________．
【答案】 /
【详解】显然 ，∴
，
令 ，∵x∈ ，∴t∈[－1，2]，则 ，
当且仅当t＝－ 即x＝ 时，有 .
故答案为：
2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数
的值域为_______________.
【答案】
【详解】因为 ，对于函数 ，则有 ，
所以， .
故答案为： .
3．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）若函数 的值域为 ，则 的取值范围是
______ ．
【答案】
【详解】解： 的值域为 ，∴ ， 解得 或 ，
故答案为： ．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求该函数的值域；
【答案】
【详解】解： ，
令 ，由 ，则 ，
所以有 ， ，
所以当 时， ，当 时，
所以函数 的值域为 .
题型七：重点考查求对数函数的单调区间
典型例题
例题1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）函数 的单调递减区间为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于 有 ，
解得函数 的定义域为 ，
又 ，
对于 ，其在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 上单调递增，
由复合函数单调性的规则：同增异减得
函数 的单调递减区间为 .
故选：A.例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为_________
【答案】 /
【详解】函数分为内外层函数，设 ， ，
令 ，得 ，
内层函数 ，在区间 单调递增，在区间 单调递减，
外层函数 单调递增，根据复合函数“同增异减”的判断方法可知，
函数在区间 单调递减.
故答案为：
例题3．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数 ，若 在区
间 内单调递减，则 的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为函数 在区间 内单调递减，
设 ，
所以 在区间 上为减函数，且 在区间 上恒成立，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，开口向下，在区间 上不为减函数，不满足题意；
当 时， ，
所以 ，解得 ；
所以综上可得 .
故答案为：
例题4．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）若函数 在 上单调
递减，则实数 的取值范围是__________.
【答案】【详解】 ，
令 ，为增函数，
所以 ，所以 在 单调递减，
所以 ，即 ，解得 ，
故答案为: .
精练核心考点
1．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知函数 在 上为减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，对称轴为 ，
因为函数 是正实数集上的减函数，
所以要想函数 在 上为减函数，
只需函数 在 上为增函数，且 在 上恒成立，
所以 ，且 ，
解得 .
故选：C
2．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）函数 的单调增区间是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 或 ，则函数的定义域为 ，
令 （ ），则 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 的单调增区间是 ，
故选：D
3．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知函数 的定义域是 ，则函数 的单调增区间为__________.
【答案】
【详解】因为函数 的定义域是 ，
所以 是方程 的两个根，
所以 ，解得 ，即 .
令 ， ，则 为减函数，
函数 是开口向下，对称轴为 的二次函数，且 时，为减函数；
所以函数 的单调增区间为 .
故答案为： .
4．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知函数 ，
若 ，求 的单调区间.
【答案】增区间为 ，减区间为
【详解】 ， ，
函数定义域满足 ，解得 或 ，
函数 在 上单调递减，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 的单调增区间为 ，减区间为
题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用
典型例题
例题1．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】当 时， ，即 ，即 ，
又 ，即 ，故 ，即 ，
当 时，由 ，无解，
综上，实数a的取值范围是 ．
故选:A．
例题2．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数 在 上单调递增，则 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知：
函数 在 上单调递增且 在 上恒成立，
则有 ，解得 ，则a的取值范围为 .
故选：D
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：结合指数函数，对数函数单调性可知：
， ， ，且 ，
所以 ，所以 .
故选：B．
例题4．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式 的解集为
__________．
【答案】
【详解】由 ，在同一直角坐标系内画出函数 的图象如下图所示：
因为 ，
所以由函数的图象可知：当 时，有 ，
故答案为：
精练核心考点
1．（2023·江西南昌·统考二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
，
，
所以 .
故选：C.
2．（2023·天津·校联考一模）已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 在 上单调递增，故 ，
而 单调递增，故 ，
，
所以 .
故选：D
3．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知 且 ，函数 ，满足时，恒有 成立，那么实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可知函数 在区间R上为增函数，
则 ，解可得 .
故选：D.
4．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数 ，若 在区间
内单调递减，则 的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为函数 在区间 内单调递减，
设 ，
所以 在区间 上为减函数，且 在区间 上恒成立，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，开口向下，在区间 上不为减函数，不满足题意；
当 时， ，
所以 ，解得 ；
所以综上可得 .
故答案为：
5．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）若函数 在 上单调递增，则 的取
值范围是______．
【答案】【详解】令 ， ，则 ，
∵ 在 上单增， 在 上单减，
∴ ，
∵ 在 上恒成立，
∴ .
故答案为： .
题型九：重点考查对数函数的综合性问题
典型例题
例题1．（2023秋·江西吉安·高一江西省新干中学校考期末）已知函数 其
中 且 ．
(1)求函数 的定义域；
(2)判断函数 的奇偶性，并证明；
(3)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)偶函数，证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）由题意得 ，即 ，故 ，
所以函数 的定义域为 .
（2）设 ， 的定义域为 .
因为 ，
所以 为偶函数.
（3）当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ，所以 .
综上，当 时， ；当 时， .
例题2．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数 .(1)求函数 的值域；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【详解】（1）因为 定义域为 ，
则
设 ，则 ，
所以 值域为 .
（2）不等式可化为 ，即 解得 或
即 或 ，解得 或
所以不等式的解集为 或
（3）因为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
原问题化为对任意 ，
即 ，
因为 （当且仅当 即 时，取等号），
即 的最小值为0，
所以 .
例题3．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知函数
(1)求证： 的图象关于原点对称；
(2)设 ，若 的图象恒在函数 图象的上方，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .【详解】（1）因为 ，定义域为R，
所以
是奇函数，所以 的图象关于原点对称；
（2）若 的图象恒在函数 图象的上方，则有 ，
即 ，
当 时， ，即 ，
所以 ；
当 时， ，即 ，所以 ，
所以 ；
故实数 的取值范围为 .
精练核心考点
1．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 在 上单调递减，求a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2) ．
【详解】（1）根据题意，当 时， ，
由 ，解得 或 ，
故 的定义域为 ,
令 ，则该函数在 上单调递减，在 上单调递增，
因为函数 为减函数，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）令函数 ，该函数在 上单调递减，在 上单
调递增．
①当 时，要使 在 上单调递减，
则 在 上单调递减，且 恒成立，
故 ，又 ，
所以 ；
②当 时，要使 在 上单调递减，
则 在 上单调递增，且 恒成立，
因为 在 上单调递减，故函数 在 上不能单调递增，此种情况不可能；
综上， 的取值范围为 ．
2．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知 ，函数 .
(1)若函数 的图象经过点 ，求不等式 的解集；
(2)设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范
围.
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【详解】（1）由题可得 ，解得 ，
即
由 ，可得 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ；
（2）因为 是复合函数，设 ， ，
因为 ， 在区间 单调递增， 单调递增，
故函数 在区间 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，
由题意， ，即 ，对任意 恒成立，
故 ，对任意 恒成立，
整理得： ，
令 ， ，只需 即可，
因为 的对称轴为 ，图象是开口向下的抛物线，
故 在 上单调递减，
故 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
3．（2023秋·山东枣庄·高一统考期末）已知函数 ．
(1)若函数 是奇函数，求实数 的值；
(2)当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方，求实数 的取值范围．
【答案】(1)a＝1
(2)
【详解】（1）因为 为奇函数，所以对于定义域内任意x，都有 ，
即 ．即 ，
即 ，化简得 ．
上式对定义域内任意x恒成立，所以必有 ，解得a＝1．
（2）要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，
必须使 在 上恒成立．
令 ，则 ，上式整理得 ， ．
由基本不等式可知 ．（当且仅当 时，等号成立）
即 ，所以 ，所以a的取值范围是 ．
题型十：重点考查对数函数模型的应用
典型例题
例题1．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常
发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有
了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量 （单位： ）与地震里氏震级 之间的关系为
， 年 月 日，我州会理市发生里氏 级地震，它所释放出来的能量是 年年初云
南省丽江市宁蒗县发生的里氏 级地震所释放能量的约多少倍（ ）
A． 倍 B．0.56倍 C． 倍 D．0.83倍
【答案】A
【详解】设里氏 级、 级地震所释放的能量分别为 、 ，则 ，
上述两个等式作差可得 ，则 ，故 .
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）中国的5G技术领先世界， 技术极大地提高了数据传输速率，
最大数据传输速率 取决于信道带宽 ，经科学研究表明： 与 满足 ，其中 是信
道内信号的平均功率， 是信道内部的高斯噪声功率， 为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的
1可以忽略不计.若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至4000，则 大约增加了（ ）
(附： )
A．10% B．20% C．30% D．40%
【答案】B
【详解】当 时， ；
当 时， .
所以增大的百分比为：.
故选：B.
例题3．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）我国的 通信技术领先世界， 技术的数学
原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算
最大信息传送速率 的公式 ，其中 是信道带宽（赫兹）， 是信道内所传信号的平均
功率（瓦）， 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中 叫做信噪比．根据此公式，在不改变 的前
提下，将信噪比从99提升至 ，使得 大约增加了60%，则 的值大约为（ ）（参考数据：
）
A．1559 B．3943 C．1579 D．2512
【答案】C
【详解】由题意得： ，
则 ， ，
故选：C
例题4．（2023·高一单元测试）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称
为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级” （单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已
知它与“某声音的声压 与基准声压 的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，
即 （k是比例系数）.当声压级 提高60dB时，声压 会变为原来的1000倍.
(1)求声压级 关于声压 的函数解析式；
(2)已知两个不同的声源产生的声压 ， 叠加后得到的总声压 ，而一般当声压级
时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况
下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3）
【答案】(1)
(2)不会，理由见解析
【详解】（1）由题意得： ， ，所以
，所以声压级S关于声压P的函数解析式为
（2）不会干扰我们正常的学习，理由如下：将 代入 得： ，所以 ，解得： ，即
所以 ，代入 得：
，所以不会干扰我们正常的学习.
精练核心考点
1．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经
对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为：
． 年 月 日，我国汶川发生了里氏 级大地震，它所释放出来的能量约是 年
月 日我国泸定发生的里氏 级地震释放能量的（ ）倍．（参考数据： ， ，
）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设里氏 级、里氏 级地震释放的能量分别为 、 ，
则 ，即 ，
所以， .
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）声音的等级 （单位： ）与声音强度 （单位： ）满足
. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 ；一般说话时，声音的等级约为 ，
那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍
【答案】B
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 ，
， ，
， ，所以 ，
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 倍.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是
五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来
看，这12个半音的频率成公比为 的等比数列.已知两个音高 ， 的频率分别为 ， ，且满足函数
关系： ，已知两个纯五度音高的频率比 ，则它们相差的半音个数 ________.
(其中 ， ，结果四舍五入保留整数部分).
【答案】7
【详解】由题意可知 ，
所以 ，
即 ，
故 ，
故答案为：7
4．（2023·上海奉贤·高三校考阶段练习）某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活
动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10
天内均没有售完，_____天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.
【答案】7
【详解】设 天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，
则有 ，
所以7天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，
故答案为：7
题型十一：重点考查反函数的应用
典型例题
例题1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知点 与点 分别在函数
与 图象上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】根据反函数的性质，函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，结合图象可知，当直线 与直线 垂直，且 处两函数图象的切线均与直线 平行时，
最小.设 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，则有 ，所以 ，即点 ，
，所以 ，即点 ，此时 ，即 的最小值为 .
故选：A.
例题2．（多选）（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知 ，若
分别是方程 和 的根，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为 ，则 ，
所以 的图像是由 的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得，则 在 上单调
递减，
不妨设点 是 上的一点，则 ，即 ，
故 ，则 ，所以 也是 上的点，
故 的图像关于直线 对称，
联立 ，解得 ，
又 与 互为反函数，
所以 与 的图像也关于直线 对称，
因为 分别是方程 和 的根，所以画出函数 ， 与 的图像，如图，
.
对于A，当 且趋近于 时，由 的性质可知 趋于无穷大， ，则 ；
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
所以 ，则 ，即 ，则 ；
由图像可知， 与 的图像的交点的横坐标落在区间 中，
因为 是方程 的根，即 为 与 的图像的交点的横坐标，
所以 ，故 ，故A正确；
对于B，因为 分别是方程 和 的根，
所以 与 的图像的交点为 ， 与 的图像的交点为 ，
又 的图像关于直线 对称，
所以 与 关于直线 对称，则 或 ，
所以 ，故 ，故B错误；
对于C，当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，
由选项A知 ，则 ；
所以 与 的图像的交点的横坐标落在区间 中，即 ，又 ，所以 ，故C正确；
对于D，因为 是方程 的根，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
而由选项C可知 ，即等号不成立，所以 ，故D错误.
故选：AC.
例题3．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线 与 的两条公切线的夹角余弦值为 ，则
_________．
【答案】
【详解】曲线 与 互为反函数，图象关于 对称，如图所示，
由题意可知， ，
所以 ，
解得 或 ，
因为 为锐角，
所以
由对称性，不妨取直线 进行研究，则直线 的倾斜角为 ，
，设切点 的横坐标为 ，切点 的横坐标为 ，则 ， ，
，
所以 ，
所以直线 的方程为 即
，
所以 ，
所以直线 的方程为 即
所以 即
所以 即 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
所以 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点为 ，函数 的
零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】令 、 ，则 、 ，
在同一坐标系中分别绘出函数 、 、 的图像，因为函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，
所以 ， ，解方程组 ，
因为函数 与 互为反函数，
所以由反函数性质知 、 关于 对称，
则 ， ，所以 ，
当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.
故选：BC
2．（多选）（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知直线 与直线 相互垂直，若函数
， ， 的零点分别为 ， ， ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】A：∵ 单调递增，
， ，∴ ，
∵ 单调递增，
， ，∴ ，则 ，故A错误；
B：由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
函数 与 互为反函数，图象关于 对称，
作出函数 ， 及 的图象，如图，
又 与 垂直，由 ，可得 ，
则 ， 与直线 的交点的横坐标分别为 ， ，且 ，故B正确；
C：∵ 单调递增， ， ，∴ ，又 ，∴ ，故C正确；
D：∵ ， ，∴ ， ，故D错误.
故选：BC.
3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）设方程 的解为 ，方程 的解为 ，
则 ___________．
【答案】6
【详解】由方程 得 ，由方程 得 .
由于 与 互为反函数，图像关于 对称.
如图示， 的根为点A的横坐标， 的根为点B的横坐标，
因为 与 图像关于 对称，且 与 垂直，所以
两点为 与 的交点，且关于 对称.
由 解得： ，则 ．故答案为：6．
第二部分：方法篇
方法一：可化为一元二次函数型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的值域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，
所以 的定义域为 ，
解得 ，所以该函数的定义域为 ；
所以 ，
所以
，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ；
所以函数 的值域是 ．
故选：B．
例题2．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）已知函数 ， ，
(1)求 的取值范围；
(2)求 的值域.
【答案】(1)
(2)【详解】（1）因为 在 上是增函数，所以 ；
（2）
令 ，则 ，
因为 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，
所以 ，即 的值域为 .
例题3．（2023秋·河北保定·高一统考期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)若函数 的最小值为-6，求实数 的值.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）当a=0时， ，x∈[ ，9].
∴ ， ，
∴ ，
∴函数f(x)的值域为 ；
（2）令 ，
即函数 的最小值为 ，
函数 图象的对称轴为 ，
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 （舍）；综上，实数a的值为 或 .
精练核心考点
1．（2023春·福建莆田·高一校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的零点；
【答案】(1) 和
【详解】（1）解：由 ， 得 ，
化简为 ， 解得 或 ，
所以， 或 ．
所以， 的零点为 和 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求该函数的值域；
【答案】
【详解】解： ，
令 ，由 ，则 ，
所以有 ， ，
所以当 时， ，当 时，
所以函数 的值域为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值为________．
【答案】 /
【详解】显然 ，∴
，
令 ，∵x∈ ，∴t∈[－1，2]，则 ，
当且仅当t＝－ 即x＝ 时，有 .故答案为：
方法二：分类讨论
典型例题
例题1．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若函数 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）原方程等价于 ，即 ，
可化为 .
令 ，则 是减函数，
又 ，所以 .
（2）令 得 ，
所以 ，且 ，
整理得 ，
令 ，则 有且仅有一个零点，且 ， ，
①当 时， ，此时， 且 开口向上，
所以 在 上有且仅有一个零点；
②当 时， ，此时， 且 开口向下且对称轴方程为 ，因为 ，
，故要使 在 上有且仅有一个零点，
只要 且 ，可得 符合条件； 综上：
.
例题2．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知 （
且 ）.(1)证明：函数 是偶函数；
(2)当 时，若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）函数 的定义域为 .
故函数 是偶函数.
（2）
由题意可知方程 只有一个根.
即 ，故 只有一个根.
令 ，则 有且只有一个根.
当 时， ，不合题意；
当 时， ，解得 ，或 ；
若 时， ，解得 ，不合题意；
若 时， ，解得 ，符合题意.
当 时，方程 有两个不等的实根，显然方程没有零根
所以该方程有一个正根和一个负根，即 ，解得 .
综上所述，实数m的取值范围为
精练核心考点
1．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）已知函数 （ 且 ）.(1)若函数 的图象经过点 ，求 的值；
(2)比较 与 大小，并写出比较过程；
(3)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3) 或
【详解】（1）解：因为函数 的图象经过 ，则 ，
因为 且 ，解得 .
（2）解：因为 ，
当 时，函数 在 上为增函数，则 ；
当 时，函数 在 上为减函数，则 .
综上，当 时， ；当 时， .
（3）解：由 可得 ，所以， ，
即 ，可得 或 ，所以， 或 .
2．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 在 上单调递减，求a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2) ．
【详解】（1）根据题意，当 时， ，
由 ，解得 或 ，
故 的定义域为 ,令 ，则该函数在 上单调递减，在 上单调递增，
因为函数 为减函数，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）令函数 ，该函数在 上单调递减，在 上单
调递增．
①当 时，要使 在 上单调递减，
则 在 上单调递减，且 恒成立，
故 ，又 ，
所以 ；
②当 时，要使 在 上单调递减，
则 在 上单调递增，且 恒成立，
因为 在 上单调递减，故函数 在 上不能单调递增，此种情况不可能；
综上， 的取值范围为 ．
3．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）已知函数 是偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)设 ，若函数 与 的图像有且只有一个公共点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）函数 ，
因为 是偶函数，
所以 ，
即 ，
即 对一切 恒成立，所以 ；
（2）因为函数 与 的图像有且只有一个公共点，
所以方程 有且只有一个根，
即方程 有且只有一个根，
令 ，则方程 有且只有一个正根，
当 时，解得 ，不合题意；
当 时， 开口向上，且过定点 ，有且只有一个正根符合题意.
当 时， ，解得 .
综上：实数 的取值范围是 .
方法三：数形结合
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）将 的图象向右平移2个单位长度后得到函数
的图象，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题设可知 ，
在平面直角坐标系中，分别作出函数 ， 的图象，如图，
由图可知，当 时， .
故原不等式的解集为 .
故选：C.例题2．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知函数 ，
（ 且 ）， 为奇函数．
(1)求 的值；
(2)当 时，求不等式 的解集；
(3)若关于 的方程 有两个不同的解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【详解】（1） 为奇函数， ，
即 恒成立， ，解得 或 ,
若 时， ，定义域 不关于原点对称，不符合题意，
当 时， ，定义域为 ，关于原点对称，符合题意,
故 .
（2） ， ，即 ，即 ，解得 .
故不等式 的解集为 .
（3） ， 的定义域为 ，为增函数，
∵ ，∴ ，∴ .
经检验 不符合方程 ，故可化为 ，
又 ，可化为 ，
令 ，则 .
∵关于x的方程 有两个不同的解，即等价于 在 有
两个不同的解，即等价于 与 的图象在 有两个交点.
∵ ，当且仅当 时等号成立，且 在 单调递减，在
和 上单调递增， ，
如图，
故当 与 的图象在 有两个交点时， ，即
.
故实数m的取值范围为 .
精练核心考点
1．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）已知函数 定义在R上，且 ，满足
，且当 时， ，则函数 的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】定义在R上函数 满足 ，可得 为奇函数，
又由 ，可得 有对称轴 ，
由 ，可得 ，
则 最小正周期为4，函数 的零点即函数 与函数 图像交点的横坐标.
又当 时， ，
在同一坐标系内作出函数 与函数 图像如下：
两函数图像有3个公共点 ，
则函数 的零点个数是3
故选：C
2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（ⅰ）求 的解析式；
（ⅱ）求方程 的所有根.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） ， ，
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ， ，
由基本不等式，当 时， ，
即 ，
即 ；
（2）（ⅰ）依题意得，当 时， ，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，代入上式成立，
即当 时， ，
设 ，则 ，所以 ，所以 ；
（ⅱ）方程 转化成曲线 与直线 的交点情况，
当 时， 与 交于点 和点 ，
由（1）知 的图象总是向上凸的，所以除 外不会有其它交点，
同理，当 时，根据对称性，两个图象还有一个交点 ，
所以方程 有三个根 ， ， .
第三部分：易错篇
易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域
1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于 有 ，
解得函数 的定义域为 ，
又 ，
对于 ，其在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 上单调递增，
由复合函数单调性的规则：同增异减得
函数 的单调递减区间为 .故选：A.
2．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）函数 的单调增区间是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 或 ，则函数的定义域为 ，
令 （ ），则 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 的单调增区间是 ，
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为_________
【答案】 /
【详解】函数分为内外层函数，设 ， ，
令 ，得 ，
内层函数 ，在区间 单调递增，在区间 单调递减，
外层函数 单调递增，根据复合函数“同增异减”的判断方法可知，
函数在区间 单调递减.
故答案为：
4．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知函数 的定义域是 ，
则函数 的单调增区间为__________.
【答案】
【详解】因为函数 的定义域是 ，
所以 是方程 的两个根，
所以 ，解得 ，即 .
令 ， ，则 为减函数，
函数 是开口向下，对称轴为 的二次函数，且 时，为减函数；
所以函数 的单调增区间为 .故答案为： .
