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核心2 复数概念与运算
一．单选题.
【求复数的模 山西省2025 学年高三模拟测试】
1．已知
，
，且
，其中i 是虚数单位，则
（ ）
A．10
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】应用复数的乘法运算，再根据复数相等列方程计算求参，最后应用模长公式计算
即可.
【详解】由
得：
，
所以
解得
，
所以
.
故选:D.
【复数的相等 25 高三·江西九江期末】
2．记是虚数单位，复数
满足
，则
（ ）
A．－2 或
B．
或
C．
或2
D．
或2
【答案】D
【分析】设
，根据复数的运算得出
.
【详解】设
且a、b R
∈，则
，
因为
，所以
即
，解得
或
.
即
或2.
故选：D
【复数的分类 2025 年上陕西西安期末测试】
3．如图所示是复数分类的框图，下列空白处应填的是（ ）
A．虚数
B．非纯虚数
C．非实数
D．非纯虚数的虚数（
，
）
【答案】D
【分析】由复数的分类求解.
【详解】解：由复数的分类知：虚数包括纯虚数和非纯虚数，
故选：D
【复数代数形式的乘法运算 2025·广东茂名·一模】
4．已知
，
则，
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数乘法运算法则运算即可.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：B
【复数的除法运算 2025·广东佛山·一模】
5．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法可求
.
【详解】因为
，故
，
故选：B.
【虚数单位i 及其性质 2025 高三上·福建福州模拟测试】
6．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】由虚数单位定义及复数相等可得答案.
【详解】
，故
，所以
.
故选：C.
【棣莫佛定理 2025 高三上·云南昭通检测】
7．棣莫佛定理：若复数
，则
，计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】变形得出
，再由棣莫佛定理可求得
的值.
【详解】因为
，
所以，
.
故选：A.
【复数的向量表示 2024 年山东菏泽市联考】
8．设复数
对应的向量为
，复数
对应的复数为
，则（ ）
A．
按逆时针旋转
，再拉伸2 倍得到
B．
按顺时针旋转
，再拉伸2 倍得到
C．
按逆时针旋转
，再压缩
倍得到
D．
按顺时针旋转
，再压缩
倍得到
【答案】A
【分析】根据复数的向量表示得出对应的复平面的点的坐标，结合变换前后的复数特征判
断各选项.
【详解】因为
，即
，
所以复数
对应的向量为
，复平面内对应的点为
，按逆时针旋转
，得到
对应的点为
，对应复数为
，再拉伸2 倍得到点
，即得到
.
故选：A.
【复数范围内方程的根 2024 吉林长春二模】
9．若
（为虚数单位）是关于
方程
的一个根，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】将
代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可.
【详解】因为
是关于
方程
的一个根，
所以
，整理得
，
所以
，解得
，
故选：D
【欧拉公式 2025 年上江苏苏州阶段测试】
10．欧拉公式
是由18 世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈
德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出
，进而求解.
【详解】
，
，
，
，
，
即
，
，
.
故选：A.
二．多选题.
【由复数的类型求参数 2025 高三上·山东菏泽·期末】
11．已知
则（ ）
A．z 有可能为实数
B．z 不可能为纯虚数
C．
的最小值为1
D．若z 在复平面内所对应的点在第三象限，则
【答案】ABD
【分析】化简得
，
，结合每个选项的条件逐项计算判断即可.
【详解】由题意知
，
，其
中
，
若z 为实数，则
符合题意，故A 正确；
由于z 实部为-2，故不可能纯虚数，故B 正确；
当
时
取得最小值，且最小值为2，故C 错误；
若z 在复平面内所对应的点在第三象限，则
，解得
，故D 正确.
故选：ABD.
【复数的“大小” 2024 河北沧州中学、盐山中学联考】
12．在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域
内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于
是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x
轴上方的复数为正，在x 轴下方的复数为负，在x 轴上的复数即为实数大小．“大小”用
符号+“长度”表示，我们用
来表示复数的“大小”，例如：
，
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在复平面内表示一个圆
B．若
，则方程
无解
C．若
为虚数，且
，则
D．复平面内，复数
对应的点在直线
上，则
最小值为
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，理解
的意义，结合复数的几何意义，点到直线距离公式对选项
逐一判断即可.
【详解】根据已知条件
表示模长为，在复平面位于
轴上方的复数，
所以并不是一个圆，A 错误；
若
，则方程
为一个实数，所以
无解，B 正确；
若
为虚数，且
，设
，则
，
，
，
所以
，C 正确；
复数
对应的点在直线
上，则
最小值为：
点
到直线
的距离，所以
最小值为：
，D 正确.
故选：BCD
【四元数 2024 山西长治市·模拟预测】
13．数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843 年，数学家哈密顿发现了四元数．四元
数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位，和
，而且它们有如下关系：
．四元数一般可表示为
，其中
为实数．定义两个四元数：
，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：
关于四元数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，且
，则
【答案】AD
【分析】由四元数的定义，四元数的乘法定义逐一判断即可．
【详解】对于A：因为
，所以
，故A 正确；
对于B：设
，由两个四元数之间的乘法定义得，
，故B 错误；
对于C：设
，
则
当
，有
，
所以
与
不一定相等，故C 错误；
对于D：设
，
因为
，
所以
，解得
，
所以
，故D 正确，
故选：AD．
【复向量 2024 安徽宣城三模】
14．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对
看作一个向量，记
，则称
为复向量.类比平面向量的相关运算
法则，对于
，
，
，规定如下运算法则：①
；②
；③
；④
.则下
列结论正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．
D．
【答案】BD
【分析】对于A，用定义
求解即可；对于B，用
，结合
求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用
和
定义求出，右边也求出，看是否相等即可；
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，若
，则
，
，
，故B 正确；
对于C，
，而
，不相等．故C 错误；
对于D，设
，则将
，
代入可得：
，故D 正确.
故选：BD.
【收敛点 2024 年浙江宁波阶段检测】
15．已知复变函数
是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数
，由
可以得到
，
，
，…，
，….如果存在一个正实数
，使得
对任意
都成立，那么称
为函数
的收敛点.若
是复变函数
的
收敛点，则复变函数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】A 选项，计算出
，故不存在一个正实数
，使得
对
都成立，
A 错误；BC 选项，可找到
，
，
，…，
，…的周期，故满足要求；D 选项，计算
发现
的实部和虚部的绝对值均趋向于
，故D 错误.
【详解】A 选项，
，
，……，
，
其中
，不存在一个正实数
，使得
对
都成立，A 错误；
B 选项，
，
，
，
故此时
，
，
，…，
，…的周期为3，且
，
不妨取
，满足要求，B 正确；
C 选项，
，
，
故此时
，
，
，…，
，…的周期为2，且
，
不妨取
，满足要求，C 正确；
D 选项，
，
，
，
，
，
……，
依次计算，可以发现
的实部和虚部的绝对值均趋向于
，
故不存在一个正实数
，使得
对
都成立，D 错误；
故选：BC
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理
解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解
的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么
情况下可以使用书上的概念.
【新定义--复数比较大小 2025 年上重庆沙坪坝期末】
16．定义复数的大小关系：已知复数
，
，
，
，
，
．若
或（
且
）,称
．若
且
,称
．共余情形均为
．复数u，v，w 分别满足：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据复数的乘法、乘方以及复数的模的概念结合复数大小关系的定义求解.
【详解】设复数
，若
，因为
，则
无解，
所以
，将
代入
，可得，
，即
，
所以
，解得
，所以
，
又因为
，
设
，所以
，
所以
，
所以复数
对应的点在以
为圆心，为半径的圆上，
所以
，从而最大，故B 错误；
若
，
，则
，
所以当
，
或
，
时
，则
，C 正确；
若
，此时
，则
，A 正确；
若
，此时
，则
，D 正确；
故选：ACD.
【复数加减法几何意义 2025 上河南洛阳期末测试】
17．（多选）在复平面内有一个平行四边形
，点
为坐标原点，点
对应的复数为
，点
对应的复数为
，点
对应的复数为
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．点
位于第二象限
C．
D．
【答案】ACD
【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可.
【详解】
A
√
B
×
由题意得
，
，
，因为四边形
为平行四边
形，则
，所以
，所以
，点
位于虚轴
上
C
√
如图，
，
，
对应的向量分别为
，
，
，则
，
，即
，
D
√
故选：ACD.
三．填空题.
【复数对应的点所在的象限 2025 高三上·天津和平·期末】
18．若复数
满足
，则
在复平面内对应的点位于第 象限
【答案】一
【分析】利用复数的除法与乘法运算，化简复数为标准式，结合复数的几何意义，可得答
案.
【详解】由
，则
，
所以复数
在复平面上对应点为
，该点位于第一象限.
故答案为：一.
【纯虚数 2025 上四川南充阶段测试】
19．复数
是纯虚数，则
.
【答案】
【分析】利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数
的等式和不等式，
解之即可。
【详解】因为
为纯虚数，则
，
解得
.
故答案为：
.
【共轭复数 2025 上浙江杭州阶段测试】
20．复数
（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的意义求解即得.
【详解】依题意，
，
所以所求共轭复数是
.
故选：B
【等部复数 2024 四川攀枝花·三模】
21．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数
（i
为虚数单位）为“等部复数”，则实数a 的值为
【答案】
【分析】由复数除法化简复数为代数形式，然后根据定义列方程求解．
【详解】
，
复数
为“等部复数”，
，
故答案为：
．
【复数的模 2024·黑龙江哈尔滨·三模】
22．在复平面
内，复数
、
所对应的点分别为
、
，对于下列四个等式：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
.其中恒
成立的等式的个数是
【答案】2
【分析】通过举反例排除（1）；利用复数的四则运算和复数的模的定义推理计算即得
（2）；利用平面向量数量积的定义易得（3）成立；利用向量数量积的定义式分析即可排
除（4）.
【详解】对于（1），取
，则
，
，显然
，（1）错；
对于（2），设
，
，
则
，
所以，
，（2）对；
对于（3），由平面向量数量积的定义可得
，（3）对；
对于（4），因为
，则
，
所以，
，（4）错.
故恒成立的等式有（2）、（3）共2 个.
故答案为：2
【与复数模相关的轨迹（图形）问题 2025 高三上·安徽阜阳·期末】
23．已知复数
满足
，则
取最小值时，
．
【答案】
【分析】设出复数的坐标，利用给定条件结合复数的运算性质得到
是圆上的点到定
点的距离，再结合给定条件确定复数对应点的坐标，最后用模长公式求解即可.
【详解】设
，因为
，所以
，
化简得
，故
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
而
，故
表示圆上的点到
的距离，
如图，设圆心为
，点
为
，
所在直线为，
与圆交于
，
设
，
对应的坐标为
，
由题意得点
一定在圆上，
当
取得最值时，点
一定在直线
上，
由两点间距离公式得
，
当
取最小值时，
也取最小值，此时点
与点
重合，
由斜率公式得的斜率为
，故的方程为
，
联立方程组
，
，
解得
，
(其它根与题意不符，舍去)，
故
，得到
，
由模长公式得
.
故答案为：
【新交汇・复数与圆锥曲线交汇 2024 湖南长沙长郡中学模考】
24．已知复数
满足
，
（其中
是虚
数单位），则
的最小值为
【答案】6
【分析】设
，根据复数的几何意义可得点
的轨迹是以
为焦点的椭
圆；设
，则点
的轨迹为射线
，如图，结合图形可
知
取得最小值满足题意，结合两点坐标求距离即可求解.
【详解】设
，（其中
是虚数单位），
在复平面的对应点
，
则
，
即点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
且该椭圆的长轴在直线
上，短轴在直线
上．
长半轴长为
，半焦距
，短半轴长为
．
因为
，所以
（当且仅当
即
时等号成立）．
设
在复平面的对应点为
．
即点
的轨迹为射线
．如图，
若使得
最小，则需
取得最小值，
即点
为椭圆在第一象限内的短轴端点，点
为射线
的端点时，
最小．
．
故答案为：6
【新定义运算 2025 高三上贵州·贵阳期末检测】
25．若定义一种运算：
.已知
为复数，且
，则复数
【答案】
##
【分析】根据新定义可得
，结合共轭复数的概念与相等复数计算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
设
，
则
，
，
，所以
.
故答案为：
1.试题特点分析：复数几乎是每年一题，主要以考查复数的四则运算为主，偶
尔会与其他知识交汇，整体难度较小.在近几年高考中，复数的考查大都集中在
第1 题或第2 题，分值为5 分，属于基础题型.
2.解题方法阐述：复数解题方法包括以下几种：
（1）化虚为实：即将复数问题转化为实数问题，把较陌生问题转化为我们最熟悉的问题，
求解更方便.
（2）直接利用代数方法：当式子所表达的几何意义不明显时，我们常常直接利用代数方法，
常设复数z=a+bi.
（3）利用几何意义，数形结合：由于复数表示复平面上的一点，且可以用三角形式来表示，
因此它具有鲜明的几何意义，比如复数所描述的轨迹是一个圆、一条曲线等，在做题时如
果充分利用其几何意义，有时会使问题得到快速的解决.
3.解题经验分享：在做选择题或填空题时，可以采用特殊值法或估算的方法.例如，对于
一些关于复数范围或性质的判断，可以取一些特殊的复数进行验证.对于模、实部、虚部等，
可以通过估算“部分”来推断“整体”，或者通过特殊情况来估算一般情况，以位置估算
复数等.
