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微专题16 利用导数研究双变量问题讲义
微专题教学内容
破解双参数不等式的方法:
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含
单参数的不等式:
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
典例精讲
【典例1】
设函数
．
(1)求
图象上点
处的切线方程；
(2)若
在
时恒成立，求的值；
(3)若
，证明
．
会一题通一类
1.已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
2.已知
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设
，求
的单调区间；
(3)求证：当
时，
.
【典例2】
已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)设m，n 是两个不相等的正数，且
，证明：
.
会一题通一类
1．已知函数
(1)求
的单调区间；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，其中
，证明：
．
2．已知函数
．
(1)若对任意的
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)设
、
是两个不相等的实数，且
．求证：
．
学后测评
1．已知函数
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
存在两个极值点
，
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
2．已知
，
，其中是自然对数的底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
．存在
，
，使得
成立，试求实数
的取值范围．
3．已知
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
，
是两个不相等的正数，证明：
4．已知
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设
，求
的单调区间；
(3)求证：当
时，
.
5．已知函数
．
(1)若函数
在
处有极值，且关于
的方程
有3 个不同的实根，求实数的取值范
围；
(2)记
.若对任意
且
时，均有
成立，求实数
的
取值范围．
6．已知函数
．
(1)若
，求函数
的最大值；
(2)若函数
有两个不同的零点m，n
．
（ⅰ）求实数k 的取值范围；
（ⅱ）若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
7．已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
，
，求
的取值范围；
(3)若
、
，讨论
与
的大小关系，并说明理由．
8．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，对于任意
，
，都有
恒成立，求m 的取值范围.
9．已知函数
(1)求
在区间
的最大值和最小值；
(2)讨论函数
的单调区间与极值；
(3)若
，对任意
，总存在
，使得不等式
成立，试求实数m 的取值
范围．
10．设函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围；
(3)当
时，若
，且
，证明：
．
11．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)已知
存在两个极值点
，若
，且
，求
的最小值．
12．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
，
时，证明：
.
13．设函数
．
(1)
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个极值点
且
，证明：
．
