微专题30 圆锥曲线中的最值、范围问题
近几年高考：解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典
型问题,是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅
要善于利用几何手段对平面图形进行研究,而且要从代数角度
进行函数等相关运算.
一、高考真题
[高考真题] (2025·新高考Ⅰ卷改编)已知椭圆C: x
2
9
+y2=1 的下顶
点为A,动点P 不在y 轴上,点R 在射线AP 上,且满足|AP|·|AR|
=3.
(1)设P(m,n),求R 的坐标(用m,n 表示);
(2)设O 为坐标原点,Q 是C 上的动点,直线OR 的斜率是直线
OP 的斜率的3 倍,求|PQ|的最大值.
二．典型例题
1 (2025·池州二模改编)已知椭圆C: x
2
18
+ y
2
9
=1,O 为坐标原点,
F2为其右焦点,点P 在C 上,点Q 满足⃗Q F2=2⃗PQ,求|⃗OQ|的
最小值,并指出此时点Q 的坐标.
2 (2025·温州调研改编)已知椭圆E: x
2
4
+y2=1,O 为坐标原点,
A,B 为曲线E 上不同两点,经过A,B 两点的直线与圆x2+y2=1 相
切,求△OAB 面积的最大值.
3 已知抛物线E:x2=4y 的焦点为F,抛物线上的点A(x0,y0)处的切
线为l.
(1)求l 的方程(用x0,y0表示);
(2)若直线l 与y 轴交于点B,直线AF 与抛物线交于点C,若
∠ACB 为钝角,求y0的取值范围.
规律方法 求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系.
(2)利用已知参数的范围,在两个参数之间建立函数关系.
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.
(4)利用基本不等式.
训练 1(2025·宜春模拟)已知点A,B 在曲线T:y=1
x
上.
(1)若直线AB 的斜率为4,求|AB|的最小值;
(2)若|AB|=❑√17,求直线AB 的斜率的最大值;
(3)若点C 在曲线T 上,等腰Rt△ABC 的顶点按逆时针排列,
∠BAC=π
2
,求直线AB 的斜率的取值范围.
【精准强化练】
1.(2025·青岛调研改编)已知椭圆C: x
2
4
+ y
2
3
=1,M 为C 的右顶点,
过椭圆C 上P(−1, 3
2)的直线l 与C 交于点Q(异于点M),求
△PQM 面积的最大值.
2.(2025·上海卷)已知椭圆Γ: x
2
a
2 + y
2
5
=1(a>❑√5)的右顶点为A,动
点M 的坐标为(0,m)(m>0).
(1)若Γ 的一个焦点是(2,0),求Γ 的离心率;
(2)若a=4,点P 在椭圆Γ 上,且⃗PA=2⃗MP,求m 的值;
(3)已知线段AM 的垂直平分线的斜率为2,且交椭圆Γ 于C,D
两点,若∠CMD 为钝角,求a 的取值范围.
3.已知椭圆C1: x
2
2
+y2=1 的左、右顶点是双曲线C2: x
2
a
2 - y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的顶点,C1的右焦点到C2的渐近线的距离为
❑√3
3
.
直线l:y=kx+t 与C2相交于A,B 两点,⃗OA·⃗OB=-3.
(1)求证:8k2+t2=1;
(2)若直线l 与C1相交于P,Q 两点,求|PQ|的取值范围.
4.(2025·重庆诊断)已知F 是椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点,
O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,|MF|的最大值为2+❑√3,
当|OM|=|OF|时,△MOF 的面积为1
2
.
(1)求b
a
的值;
(2)A,B 为椭圆的左、右顶点,点P 满足⃗AP=3⃗PB,当M 与A,B
不重合时,射线MP 交椭圆C 于点N,直线AM,BN 交于点T,求
∠ATB 的最大值.
