专题02数列通项的求法（原卷版）_11.4-1_2026-11-03

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专题2 数列通项的求法
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现
的概率变大,求数列的通项是数列中的最基本的题型,也是高考中的热点,本专题总结求数列通项的18 种类
型,供大家参考.
(一) 等差数列求通项
若给出
是等差数列,求
,通常是利用方程思想整理出关于
与
的方程,解方程（组）,求出
与
,再
利用通项公式求
．
【例1】（2024 届贵州省六盘水市高三下学期三诊）已知
为等差数列,且
,
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
恒成立,求实数λ 的取值范围．
【解析】（1）设数列 
的公差为d,则根据题意可得
,
解得
,则
．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到
,
又
恒成立,则恒成立,
设
,则
,
当
时,
,即
；
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当
时,
,则
,则
；
则
,故
,
故实数λ 的取值范围为
．
(二) 等比数列求通项
若给出
是等比数列,求
,通常是利用方程思想整理出关于
与
的方程,解方程（组）,求出
与
,再利
用通项公式求
．
【例2】（2024 届陕西省富平县高三第二次模拟）已知等比数列
的各项均为正数,前n 项和为
,且满
足
,
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
,求数列
的前2n 项和
.
【解析】（1）设等比数列
的公比为
,由
及
,
得
,
解得
,于是
,即
,
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）知,
,
所以
.
(三) 累加法求通项
若给出
,且
前
项和可求,则可利用累加法求
：
,
通常为等差数列、等比数列或可裂项求和的数列.
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【例3】已知数列
是等差数列,且
,数列
满足
,
,且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)将数列
的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列
,求数列
的通项公式；
(3)设数列
的前
项和为
,证明：
.
【解析】（1）由题意可知
,即
,故
,
由
,可得
,
所以数列
的公差
,所以
,
由
,
叠加可得
,
整理可得
,当
时,满足上式,
所以
；
（2）不妨设
,即
,可得
,
当
时,
,不合题意,
当
时,
,
所以
在数列
中均存在公共项,
又因为
,所以
.
（3）当
时,
,结论成立,
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当
时,
,
所以
,
综上所述,
.
(四) 累乘法求通项
若给出
,且
前
项乘积可求,则可利用累乘法求
：
,
通常为等
比数列或
型的数列.
【例4】（2024 届新疆高三下学期第三次适应性检测）若一个数列从第二项起,每一项和前一项的比值组成
的新数列是一个等比数列,则称这个数列是一个“二阶等比数列”,如：1,3,27,729,…….已知数列
是一个
二阶等比数列,
,
,
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
,求数列
的前
项和
.
【解析】（1）设
,由题意得数列
是等比数列,
,
,
则
,即
,
由累乘法得：
,
于是
,故
,
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也满足,所以
.
（2）由（1）得
,
令
,则
,
∴
.
(五) 利用
与
的关系,把条件化为
与
的关系式求通项
任何一个数列,它的前n 项和Sn与通项an都存在关系：an＝ 若a1适合Sn－Sn－1,则应把它们统一起来,否则就
用分段函数表示．
【例5】（2024 届吉林省吉林地区普通高中高三四模）已知数列
的前
项和为
,且
.
(1)求实数
的值和数列
的通项公式；
(2)若
,求数列
的前
项和
.
【解析】（1）当
时,
,
,
,
当
时,
,
整理得
,
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数列
是以1 为首项,3 为公比的等比数列,
；
（2）
,
①,
②,
①
②得
.
(六) 利用
与
的关系,把条件化为
与
的关系式求通项
在利用
与
的关系求
时,有时不方便把条件化为
与
的关系式,这是可先把条件化为
与
的关
系式,求出
,再求
.
【例6】已知数列
na
的前n 项和为
n
S ,且
1
2
n
n
n
a
S
a


．
(1)求
；
(2)数列

n
S
的每一项均为正数,
1
1 ,
1
1
,
2
n
n
n
n
n
S
b
n
S
S 









,数列

nb
的前n 项和为
nT
,当
2
1012
nT 
时,求n 的最小值．
【解析】（1）当
1
n 时,
1
1
1
1
2
a
a
a



2
1
2
a 
,
当
2
n 
时,
1
1
1
2
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S






,
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所以
1
1
1
2
n
n
n
n
S
S
S
S





,所以
2
2
1
2
n
n
S
S 


（常数）,
故数列
2
n
S
是以
2
1
2
S 
为首项,2 为公差的等差数列．
所以
当
时
,
也适合,
所以
.
（2）由（1）知,


2
2
1 2
2
n
S
n
n




,得
1
1 ,
1
1
,
2
n
n
n
n
n
S
b
n
S
S 












1 ,
1
2
1
,
2
2
2
1
n
n
b
n
n
n










所以
1
1
1
1
1
1
2
2
1
3
2
4
3
1
nT
n
n


















1
1
2
1
3
2
4
3
1
2
2
n
n
n










,
当
2
1012
n
T 
时,即
1012
2
n 

2024
n 
,所以n 的最小值为2024．
 (七)根据数列
为等差数列,求
若数列
为等差数列,则
都是等差数列,可分别求通项,再看能否合并．
【例7】（2024 届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知数列
满足
,
且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
,数列
的前
项和为
,若
,求
的最小值.
【解析】（1）数列
中,
,
,当
时,
,
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则
,由
,得
,
当
为正奇数时,数列
是首项为3,公差为4 的等差数列,
则
,即
,
当
为偶奇数时,数列
是首项为5,公差为4 的等差数列,
则
,即
,即
,
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）知
,显然数列
是首项为
,公比
的等比数列,
则
,由
,得
,整理得
,
而数列
是递增数列,
,因此
,
所以
的最小值为5.
(八)根据数列
为等比数列,求
数列
为等比数列,则
都是等比数列,可分别求通项,再看能否合并．
【例8】（2024 届河北省沧州市部分示范性高中高三下学期三模）已知数列
na
满足
1
4
2
n
n
n
a a 
,
1
2
a 
,
*
nN
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
a
b
a


,数列
nb
的前n 项和为
n
S ,求证：
2
n
n
S
n



.
【解析】（1）
1
4
2
n
n
n
a a 

,
1
2
a 
,
2
4
a


,
1
1
2
4
2
n
n
n
a
a





,两式相除,得
2
4
n
n
a
a

,
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当
2
1
n
k

, 
1
2
1
2
1
2 4
2
k
k
k
a







,即
2n
na 
；
当
2
n
k

, 
1
2
2
4 4
2
k
k
k
a





,即
2n
na 
,
综上所述,数列
na
的通项公式为
2n
na 
；
（2）
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
a
b
a






,
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
S
n
n










































,
又
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
0
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n





















,
2
n
n
S
n



.
(九)利用
求
 
给出
或
,通常通过取倒数构造等差数列. 
【例9】数列{
an
}中
a1
=1,
an+1
=
2an
an+2
,求
an
.
【解析】∵
an+1
=
2an
an+2
,∴
1
an+1
=
an+2
2an
=
1
2
+
1
an
,
∴{
1
an
}是首项为1,公差为
1
2
的等差数列,∴ 
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
n+1
2
,
an
=
2
n+1
.
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【例10】（2024 届四川省大数据精准教学联盟高三第二次统一监测）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
满足，
，求证：
．
【解析】（1）由
知，若
，则
，若
，则
．
又
，所以
．
由
，可得
即
（常数），
故
是首项为2，公差为1 的等差数列，所以
．
故
．
（2）由
得
，①
由
得
，②
①
②可得
．
当
时，
，则
．
所以
，
所以
，
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当
时，
也满足上式，所以
．
由上可知，
，
所以
，
即
．
（十）构造
an+1bn+1
-
anbn
=d 型数列求通项
【例11】已知数列
满足
且
.
(1)求
的通项公式.
(2)设
的前
项和为
，
表示不大于
的最大整数.
①求
；
②证明：当
时，
为定值.
【解析】（1）由
，则
，即
，
则数列
是以为公差的等差数列，又
，
故
，即
；
（2）①由
，则
，
，
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则
，
故
；
②令
，则
，
则
，
故数列
为单调递减数列，又
，
故当
时，
，故
，
即当
时，
恒成立，即
为定值.
（十一）构造√an+1-√an =d 型数列求通项
【例12】数列{an }中a1=2,an+1=an +1+√1+4an ,求an
【解析】an+1=an +1+√1+4an 可化为1+4an+1 =（1+4an ）+4√1+4an +4=（√1+4an +2）2,
∴√1+4an+1=√1+4an +2
∴{√1+4an }是首项为3,公差为2 的等差数列,
∴√1+4an =3+2（n-1）=2n+1,an =n2+n.
 (十二)取对数构造等比数列求通项
形如
,通常两边取对数,构造等比数列.
【例13】若
,
,求
.
【解析】因为
,所以
,
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因为
,所以
,
所以
,
是首项为
,公比为2 的等比数列,
所以
,
所以
.
(十三)根据
构造等比数列求通项
形如
的数列求通项,一般可变形为
,若
,
,则数列
是公比为p 的等比数列.
【例14】（2024 届山东省烟台招远市高考三模）在数列
中,已知
,
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
,
为数列
的前n 项和,证明：
.
【解析】（1）由
可得
,则
,即
,
故
是以
为首项,
为公比的等比数列.
故
,则
,
.
（2）
.
易得
,故
.
又
,
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故
.综上有
,即得证.
(十四) 根据
构造等比数列求通项
形如
的数列,可先两边同时除以
,得
,把
看成数列,就是
类型.
【例15】已知
,求
.
【解析】因为
,所以
,
所以
,
因为
,所以数列
是首项为2,公比为3 的等比数列,
所以
,所以
.
(十五) 根据
构造等比数列求通项 
形如
的数列求通项,通常设
,求出
,若
,则可根据数列
是等比数列求通项.
【例16】（2024 届四川省宜宾市高三适应性考试）已知数列
na
满足


*
1
1
1,
2
1,
n
n
a
a
a
n
n





N
.
(1)证明：数列

n
a
n

是等比数列,并求出数列
na
的通项公式；
(2)设


2
1
log
n
n
b
a
n


,数列

1
n
n
b b 
的前n 项和为
nT ,若
2
1
n
T
m
m


对于任意
*
nN 恒成立,求实数m 的取
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值范围.
【解析】（1）由题可知：


1
1
2
2
2
n
n
n
a
n
a
n
a
n





,又
1
1
2
0
a 

,
故

na
n

是首项为2,公比为2 的等比数列,
2n
n
a
n


,即
2n
na
n


.
（2）




1
2
2
1
1
1
1
1
1
,
log
log 2
1
1
n
n
n
n
n
b
b b
a
n
n
n n
n
n









,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
1
1
n
T
n
n
n












,且当n 趋于时,
nT 趋近于1,
所以由
2
1
n
T
m
m


恒成立,可知
2
1 1
m
m

,解得



, 1
2,
m






.
 (十六)构造双等比数列求通项.
形如
的数列,可设
,则
,求出
的两组值,构造两个等比
数列求
.
【例17】若
,求
.
【解析】设
,则
,所以
或
,
当
时
,
因为
,
所以
,
当
时
,
因为
,
所以
,
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与
相减得
.
(十七)分段数列求通项
分段数列,常考的是奇数项与偶数项分为特殊数列,求解关键是分n 为偶数与奇数讨论.
【例18】已知数列
满足
且
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)求数列
的前100 项和
．
【解析】（1）由题意,得当
时,
,①
．②
将①代入②,得
,所以
是首项为1,公比为2 的等比数列,
所以
．
又因为
,
所以
,所以
．
令
,则
,而
,
,
所以
是首项为2,公比为2 的等比数列,
所以
,所以
．
所以
．
（2）
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．
(十八)两个数列的公共项组成的新数列的通项求法
两个递增的等差数列的公共项组成的数列仍然是等差数列,若公差为原来两个数列公差的最小公倍数,对于
其他数列
，
，通常是根据
确定使
都为正整数的条件.
【例19】已知数列
是等差数列，且
，数列
满足
，
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)将数列
的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列
，求数列
的通项公式；
(3)设数列
的前项和为
，证明：
.
【解析】由题意可知
，即
，故
，
由
，可得
，
所以数列
的公差
，所以
，
由
，
叠加可得
，
整理可得
，当
时，满足上式，
所以
；
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（2）不妨设
，即
，可得
，
当
时，
，不合题意，
当
时，
，
所以
在数列
中均存在公共项，
又因为
，所以
.
（3）当
时，
，结论成立，
当
时，
，
所以
，
综上所述，
.
【例1】（2024 届重庆市九龙坡区高三下学期第三次质量抽测）已知
是等差数列
的前
项和,
,数列
是公比大于1 的等比数列,且
,
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
,求使
取得最大值时
的值.
【解析】（1）设等差数列
的公差为
,
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则
,解得
,
所以
,设等比数列
的公比为
,
则
,解得
,所以
；
（2）由（1）得
,
则
,
,
当
时,
,
当
时,
,
当
时,
,
所以当
或
时,
取得最大值.
【例2】已知数列
满足：
,
,
.
(1)证明：
是等差数列,并求
的通项公式；
(2)设
,若数列
是递增数列,求实数
的取值范围.
【解析】（1）因为
,所以
为常数,
又
,所以数列
是公差为
,首项为的等差数列.
所以
,
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当
时,
,
所以
,又
,所以
,又
,满足
,
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知
,因为数列
是递增数列,
所以
,对
恒成立,
得到
对
恒成立,所以
.
【例3】（2024 届陕西省安康市高新中学高三高考模拟）记
为数列
的前
项和,已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
,求数列
的前
项和
.
【解析】（1）解：由
,可得
,所以
,
又由
,所以
,所以数列
是以1 为首项,1 为公差的等差数列,
所以
,则
,
当
时,
,所以
,
又当
时,
满足上式,
所以
的通项公式为
.
（2）由（1）可知当
为奇数时,
；
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当
为偶数时,
,
所以
【例4】（2024 届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列
na
,
nb
,函数

2
sin
f x
ax
bx
c
x



,其中
*
nN
,
a
b
c
，，
均为实数．
(1)若
1
a
b
,
0
c = ,






1
n
n
n
n
f a
a
a
f
a




,
1
2
b 
,
ln
1
n
n
n
a
b
a







,
（ⅰ）求数列
nb
的通项公式；
（ⅱ）设数列


1
1
1
n
n
n
b
b
b 











的前n 项和为
nT ,求证：
2
2
3
nT
n
n




．
(2)若

f x 为奇函数,
π
π
1
2
2
f 






,
Q
b
c
，
,


1
1
2
1
1
π
π
2
2
n
n
n
n
n
n
n
f
a
a
a
a
f a
a
a





















，
，
且
2
1
6
6
a
a


,问：当
2
n 
时,
是否存在整数m ,使得
n
m
a

成立．若存在,求出m 的最大值；若不存在,请说明理由．（附：sin6
0.28

,
cos5.72
0.85

）
【解析】（1）（ⅰ）

2
f x
x
x


,

2
1
f
x
x


,
由






1
n
n
n
n
f a
a
a
f
a




,
得



2
1
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a





,解得
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a

,
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又
1
2
b 
,


ln
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a









2
2
1
1
2
2
1
2
1
ln
ln
ln
2ln
1
2
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
a













































,
1
2
n
n
b
b



, 
nb

是以2 为公比,2 为首项的等比数列．
2n
nb


．
（ⅱ）令



1
1
1
n
n
n
n
b
c
b
b 



,则



1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
c









,
1
2
3
n
n
T
c
c
c
c





1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n


































．
显然,当
1
n 时,
nT
是递增数列, 
2
2
3
g n
n
n



在
1
n 时,单调递减,
可得
1
2
1
2
1
2
1
3
nT
T 



, 

2
1
3
g n
g


．
2
2
3
nT
n
n




．
（2）

f x

为奇函数,



2
2
sin
sin
f
x
ax
bx
c
x
f x
ax
bx
c
x









．
0
a


,
又
π
π
π
1
2
2
2
f
b
c










, ,b c
Q

,
1
b
,
1
c ．

sin
f x
x
x



,
1
1
1
2
1
1
1
cos
,
,
sin
,
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a














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由
2
1
6
6
a
a


得,
2
1
1
a
a


．


3
2
2
6
sin6
5.72
a
f a
a






,


4
3
3
3
cos
6
sin6
cos 6
sin6
5.72
0.85
6.57
a
a
a
a











,


5
4
4
4
4
sin
a
f a
a
a
a





,


6
5
5
5
sin
a
f a
a
a



,

sin
f x
x
x



在

0, 

上为增函数,
当2π
3π
x


时,sin
0
x 
,


2π
sin
3π
3π
x
x
x
f





；


4
6.57
2π,3π
a 

,




5
4
4
4
sin
2π,3π
a
f a
a
a




．
当


2π,3π
na 
时,




2π
3π
3π
n
n
a
f a
f




．
4
n

时,
1
n
n
a
a 

,又
2
3
a
a

,
当
2
n 
时,

3
min
na
a

,
3
6
sin6
m
a




．
又mZ ,
m

的最大值为5．
【例5】（2024 届江苏省苏州市高三下学期第三次模拟）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相
同的2 个红球和1 个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换,记为一次操作．重复进行

*
n nN
次操作后,
记甲盒子中黑球个数为
n
X
,甲盒中恰有1 个黑球的概率为
n
a
,恰有2 个黑球的概率为
nb
．
(1)求随机变量
1
X
的分布列；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)求证：
1
1
6
10
9
9
5
n
i
i
i
i
a
a a





．
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【解析】（1）由题可知
1
X
的可能取值为0,1,2,
根据相互独立事件的概率公式得到：
1
0
X 
即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换,
1
1
X 
即为甲盒中拿黑球
乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换,
1
2
X 
即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换,则






1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
5
2
1
2
0
,
1
,
2
3
3
9
3
3
3
3
9
3
3
9
P X
P X
P X














,
1
X
的分布列为：
1
X
0
1
2
P
2
9
5
9
2
9
（2）由全概率公式可知：








1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
P X
P X
P X
X
P X
P X
X















1
0
1
0
n
n
n
P X
P X
X











1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
0
3
3
3
3
3
3
n
n
n
P X
P X
P X



































5
2
2
1
2
0
9
3
3
n
n
n
P X
P X
P X






,
即


1
5
2
2 1
9
3
3
n
n
n
n
n
a
a
b
a
b





,即
1
1
2
9
3
n
n
a
a


,
1
3
1
3
5
9
5
n
n
a
a









,
又


1
1
5
1
9
a
P X



,
所以数列
3
5
na






是以
1
3
5
a 
为首项,以
1
9

为公比的等比数列,
1
3
2
1
2
1
5
45
9
5
9
n
n
na




















,
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即
na
的通项公式
3
2
1
5
5
9
n
na








；
（3）
1
1
3
2
1
6 10 5
5
9
6 10
9
3
2
1
3
2
1
9 5
5
9
5
5
9
i
i
i
i
i
i
a
a a

















































1
1
1
4
1
1
9
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
9
5
5
9
5
5
9
5
5
9
5
5
9
i
i
i
i
i
























































,
所以
2
2
3
1
1
6 10
1
1
1
1
3
2
1
9
3
2
1
3
2
1
3
2
1
5
5
9
5
5
9
5
5
9
5
5
9
n
i
i
i
i
a
a a










































1
1
1
1
9
1
9
5
5
3
2
1
3
2
1
3
2
1
5
5
9
5
5
9
5
5
9
i
i
i































得证.
1. （2024 届天津市南开区高三下学期质量监测二）已知
是等差数列,公差
,
,且
是
与
的等比中项.
(1)求
的通项公式
(2)数列
满足
,且
.
（ⅰ）求
的前n 项和
.
（ⅱ）是否存在正整数m,n（
）,使得
,
,
成等差数列,若存在,求出m,n 的值；若不存在,请说明
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理由.
2．设正项数列
的前
项和为
,并且对于所有的正整数
,
与1 的等差中项等于
与1 的等比中项．
(1)求数列
的通项公式．
(2)设数列
的通项
,记
是数列
的前
项和,试比较
与
的大小,并证明你的结
论．
3．（2024 届湖南省岳阳市湘阴县第一中学高三下学期期中）设数列
的前
项和为
,且
．
(1)求数列
的通项公式
．
(2)设数列
满足
,且数列
的前
项和为
,求证：
．
4．（2024 届湖南省岳阳市岳汨联考高三下学期5 月月考）已知等差数列
满足
（
）,数列
是公比为3 的等比数列,
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)数列
和
中的项由小到大组成新的数列
,记数列
的前n 项和为
,求
．
5．（2024 届安徽省合肥一六八中学高三最后一卷）已知数列
满足
,且对任意
均有
．
(1)设
,证明
为等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)已知
,求
．
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6．（2024 届湖南省衡阳市祁东县高三下学期考前仿真联考）已知正项数列
的前
项和为
,首项
.
(1)若
,求数列
的通项公式；
(2)若函数
,正项数列
满足：
.
（i）证明：
；
（ii）证明：
.
7．（2024 届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研）已知各项均为正数的数列
前
项和为
,且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
．
8．（2024 届江苏省宿迁市高三下学期三模）在数列
中,
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
；
①求证：数列
是等差数列；
②若
,设数列
的前n 项和为
,求证：
．
9．（2024 届江苏省苏州大学高三下学期高考考前）已知数列
na
满足
1
1
a ,
1
2
n
n
a
a
n


.
(1)求数列
na
的通项公式；
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(2)记



1
1
n
n
n
b
a
n



,求数列
nb
的前2
1
n 项和
2
1
n
S
.
10．（2024 届天津市河西区高三下学期质量调查三）已知递增数列
na
的前n 项和为
n
S ,且
2
4
4
n
n
S
a
n


,
*
N
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
2
3
1
2
3
C
C
C
Cn
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a




．
（ⅰ）求数列
nb
的通项公式；
（ⅱ）求
3
1
2
12
2i
n
i
i
i
i
b
a a












．
11．（2024 届陕西省渭南市瑞泉中学高三第六次质量检测）已知各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ,


2
1
n
n
S
n a


且
2
1
3
2
a
a

.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
2
n
n
n
a
b 
,求数列
nb
的前n 项和
nT .
12．（2024 届山东省齐鲁名校联盟高三下学期考前质量检测）设数列
na
满足


1
2
2
n
n
na
n
a


,且
1
4
a 
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
na
的前n 项和
n
S ．
13．（2024 届江苏省泰州市高三第四次调研）已知数列
na
和
nb
满足：
2
*
1
2
,
,
0,
n
n
n
n
n
n
a
a
b a b
n
b



N
.
(1)设
3
5,
,
n
a
b
n


求
1a
的值；
(2)设
2
1
1
1
1
2 ,
,
n
n
n
a
b b
a
b




求数列
2
2
n
n
a
b





的通项公式；
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(3)设
1
1,
nb
b
a


证明：______.
请从下面①,②两个选项中,任选一个补充到上面问题中,并给出证明.
①
1
1
1
1
n
k
k
k
a
b
a
b





；②
2
2
1
1
1
1
1
(2
1)
n
k
k
k
k
j
j
j
a
b
a
b









其中
1
1
2
i
i
n
n
a
a a
a




.
注：若两个问题均作答,则按第一个计分.
14．（2024 届江西省赣州市高三下学期5 月适应性考试）已知数列
na
满足
1
1
4
a 
,
n
a ,
+1
3
2
na
,
1
2
n
n
a a 成等差
数列.
(1)求证：数列
1
1
na






是等比数列,并求出
na
的通项公式；
(2)记
na
的前n 项和为
n
S ,证明：
3
1
5
1
8
3
12
n
n
S

















.
15．（2024 届河北省衡水中学高三下学期押题卷）记各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ,已知
n
S
是
1
2
na 
与
3
2
na 
的等差中项.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
S S
S S






,数列
nb
的前n 项和为
nT ,证明：
4
2
n
T
n


.
16.（2024 届天津市八校高三下学期联考）已知
为等差数列,
是公比为2 的等比数列．
,且
．
(1)求数列
和
的通项公式；
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(2)若
①当
为奇数,求
；
②求
．