第02讲函数的单调性与最大（小）值（原卷版）_数学_一轮复习_2024年_2024年高考数学考点题型测试一轮高效复习精讲精练_第二章《函数》

第02讲 函数的单调性与最大（小）值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x，x∈D
1 2
当x<x 时，都有f(x)<f(x)，那 当x<x 时，都有f(x)>f(x)，那
1 2 1 2 1 2 1 2
么就称函数f(x)在区间D上单调 么就称函数f(x)在区间D上单调
定义
递增，特别地，当函数f(x)在它 递减，特别地，当函数f(x)在它
的定义域上单调递增时，我们就 的定义域上单调递减时，我们
称它是增函数 就称它是减函数
图
象
描
述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于∀x∈I，都有
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
条件 f(x)≥M；
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M
0 0
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值一．确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
例1．（1）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
（2）函数 的单调递增区间是( )
A． B． 和
C． 和 D． 和
（3）函数y＝x2(x－3)的单调递减区间是( )
A．(－∞，0) B．(2，＋∞) C．(0，2) D．(－2，2)
（4）函数 得单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（5）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】： (1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么
是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
(3)复合函数单调性的判断方法：同增异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内
外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.
命题点2 判断或证明函数的单调性
例2．（1）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有
成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
（2）已知函数 ．
①用定义法证明: 在 上单调；
②求 在 上的最大值与最小值．
（3）已知函数 ．
①试判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明；
②对任意 时， 都成立，求实数 的取值范围．
（4）试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．（5）已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
（6）已知 定义域为 ，对任意 都有 ，当 时， ， .
①求 和 的值；
②试判断 在 上的单调性，并证明；
③解不等式： .
【复习指导】：确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断或证明函数单调性的步骤：
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不
连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单
调性．
二．函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3．（1）已知对 定义域内的任意实数 ，且 ， 恒成立，设
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．（2）已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
（3）已知函数 ， ,若 ，则a,b,c的大小关系为（
）
A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a
（4）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
（5）函数 是 上的减函数，若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
（6）(2020·全国Ⅰ)若2a＋log a＝4b＋2log b，则( )
2 4
A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2
[高考改编题] 已知2a＋log a>4b＋2log b＋1，则( )
2 4
A．a>2b B．a<2b
C．a<b2 D．a>b2
【复习指导】：（1）比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，
借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调
性数形结合，不仅能比较大小，还可以解不等式.（2）观察比较各个函数值的特点，合理构造新函数，利用导数研究其单调性，进而比较函数值的大小.
（3）作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，
这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的较常用的方法，即对两值作差，看其值是正还
是负，从而确定所比值的大小．
（4）比较大小时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.
（5）可利用中间量大小比较同一区间的取值.
命题点2 求函数的最值
例4．（1）函数 在区间 上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2）若 ，不等式 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．{a|a＞1} D．
（3）函数f(x)＝ x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
（4）函数 的值域是__________
（5）若函数 的值域是 ，则函数 的值域是________.
【复习指导】：
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．
函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
(5)图象法求函数最值的一般步骤：
(6)求函数值域（最值）的一般方法：
①分离常数法；②配方法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法；⑥数形结合法（图像法）；⑦导数法．
命题点3 解函数不等式
例5．（1）已知 是定义在 上的单调递减函数，且 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，若实数x满足 ，则x
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（3）已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
（4）若函数 是奇函数，且在定义域R上是减函数， ，不等式 的解集是
______.（5）已知函数 在定义域 上是偶函数，在 上单调递减，并且
，则 的取值范围是______.
【复习指导】：求解函数不等式的方法：
1．解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为 的形式；②根据函数 的单调性去掉对应法则“
”转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.
gx＞hx
2．①若 单调递增，则 ；
gx＜hx
②若 单调递减，则 ；
x 0， 
③若 是偶函数，且在 上单调递增，根据偶函数图像关于y轴对称可知，距离远点越远的
gx＞hx
点，函数值越大，把 转化为 ，解绝对值不等式即可。
3．利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转
化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
命题点4 求参数的取值范围
例6．（1）函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（2）已知函数 是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）若函数 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-1，2） B． C．(-2，1) D．
（4）已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
（5）已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增.若实数 满足 ，则
的取值范围是______.
【复习指导】：利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
1．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．3．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知偶函数 的定义域为R，当 时， 单调递增，则 ， ， 的大小关
系是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义在 上的偶函数 ，对任意不相等的 ，有 ，当
时，有（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， ，则以下不等式正确的是（ ）A． B． C． D．
9．已知定义在R上的函数 满足 为偶函数，若 在 内单调递减．
则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．设 的定义域为R，图象关于y轴对称，且 在 上为增函数，则 ， ， 的
大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
13．若函数 为偶函数，对任意的 ，且 ，都有 ，则
（ ）A． B．
C． D．
14．若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
15．定义域为R的函数 满足:对任意的 ，有 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
16．函数 ， 的值域是（ ）．
A． B． C． D．
17．已知 是定义在 上的单调函数， 是 上的单调减函数，且 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
18．设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则（ ）A． B．
C． D．
19．已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ， ，则 的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
20．若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．定义在 上的奇函数 在 上单调递减，若 ，则满足 的 的取值范围
是（ ）.
A． B． C． D．
3x3，x＜0
fx

22．已知函数 x2 3，x0，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
23．定义在R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
24．已知 ， ，若 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．已知定义在 上的偶函数 ，且当 时， 单调递减，则关于x的不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
26．已知函数 ，对于 上任意两个不相等实数 ，不等式
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．已知 是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．28．已知 是R上的减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
30．设函数 ,则使 成立的 的取值范围是( )
A． B． C． D．
31．已知函数 ，满足对任意x≠x，都有 0成立，则a的取值范围
1 2
是（ ）
A．a∈(0,1) B．a∈[ ,1) C．a∈(0, ] D．a∈[ ,2)
32．已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， ， B．
C． ， ， D． ， ，33．若函数 ，是定义在 上的减函数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
34．定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ，有 ，则 、
、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
35．已知函数 满足 ，且对任意的 ，都有
，则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．(多选)若函数 在 上是单调函数，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．237．函数f(x)=lg(- )的单调增区间____________.
38．写出函数 的单调递增区间__________．
39．函数 在区间 上的最小值为__________．
40．已知函数 为定义在 上的奇函数，满足对 ， ，其中 ，都有
，且 ，则不等式 的解集为________（写成集合或区间的
形式）
41．若函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是___________.
42．幂函数 在 上是减函数，则实数 的值为______.
43．已知函数 为 上的奇函数，且当 时， .
(1)求 的解析式；
(2)解不等式 .44．已知函数 ，其中 ．
解关于x的不等式 ；
求a的取值范围，使 在区间 上是单调减函数．
45．若 ,求 的最大值和最小值.
46．已知函数 .
(1)用定义证明函数 在 上为减函数；
(2)若 ，求函数 的值域；
(3)若 ，且当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．47．已知函数 其定义域为
（1）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
（2）若 求 的取值范围.
48．已知函数 为奇函数.
（1）判断 的单调性并证明；
（2）解不等式 .
49．定义在R上的函数 满足 ，且当 时， ，对任意 R，均有
．
（1）求证： ；
（2）求证：对任意 R，恒有 ；
（3）求证： 是R上的增函数；
（4）若 ，求 的取值范围．50．已知定义在区间 上的函数 满足 ，且当 时， .
（1）求 的值；
（2）证明： 为单调增函数；
（3）若 ，求 在 上的最值.