微考点 抽象函数的单调性6 类常见考点全归纳
考点一 单调性的判定与证明
考点二 解不等式
考点三 参数的确定
考点四 大小的判定
考点五 最值的求解
考点六 综合问题的应用
抽象函数中的单调性问题
抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式,只给出了其他一些条件(如函数的定义域、经过的特殊
点、解析递推式、部分图像性质等)的函数问题,是高中与大学部分的一个衔接点.因为抽象函数无具体解析
式,所以判断或应用其单调性比较困难,是高中数学学习中的一大难点.下面结合几类常见的有关抽象函数的
单调性问题的技巧策略加以实例剖析.
一、单调性的判定与证明
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来解决抽象函数单调性的判定或证明等相关问题.通
过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义,以及对应的条件加以判断对应抽象函数的单调性问题.解决此类
问题的关键是把x1写成(x1−x2)+x2或者把x1写成x1
x2
×x2(对应字母的顺序可以结合实际条件加以变换).
具体如下：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
;
②若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
.
常见函数模型包括：
Ⅰ：若
，可认为函数为幂函数
(
的范围或数值需要其他条件确定)；
Ⅱ：若
，可认为函数为对数函数
(
的范围或数值需要其他条件确
定)；
Ⅲ：若
，可认为函数为指数函数
(
的范围或数值需要其他条件确
定)；
Ⅳ：若
，可认为函数为正比例函数
或
Ⅵ：若
，可认为是余弦函数
.
Ⅶ：若
，可认为函数为一次函数
或
题干
证明
已知函数
满足任意的实数
，都有
，且当
时，
．
判断
在
上的单调性并
证明．
设
且
，则
，
因
，则
，故
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增．
定义在
上的函数
满足当
时，
，且对任意的
，
，有
．证明：
是增函数．
法一：
，且
，令
，
则
，则
，
因为
，所以
，
，
所以
，
是增函数；
法二：
，且
，
所以
，
由
，得
，又
，
所以
，即
，
所以
是增函数.
已知定义在
上的函数
，对
任意的
，恒有
成立．若
时，恒有
，试判断
在
上的单调性，并说
明理由．
在
上
为减函数，理由如下：
设
，则
，
又
，故
，
所以
，即
在
上为减函数.
【典例1】已知定义在R上的函数f (x)对任意实数x、y,恒有f (x)+f (y)=f (x+y),且当x>0时,f (x)<0.
求证:函数f (x)在R上是减函数.
【解析】设x1,x2∈R,且x1>x2,则x1−x2>0,由条件知,当x>0时,f (x)<0,
于
是
f(x1−x2)<0,
从
而
f(x1)−f(x2)=f[(x1−x2)+x2)−f(x2)=f(x1−x2)+f(x2)−f(x2)=f(x1−x2)<0,
所以,函数f (x)在R上是减函数.
二、参数的确定
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来破解已知不等条件背景下抽象函数的参数确定问
题.通过抽象函数的单调性的分析,结合函数单调性的定义,建立起涉及参数的不等式(组),同时要注意在函数
的定义域内讨论问题,进而通过求解不等式(组)来确定参数的取值问题.
【典例2】已知函数y=f (x)在区间(-1,1)上是减函数,又有f (1−a)−f (2 3
−a)>0成立,则实数a的取值范
围为_____.
【解析】由f (1−a)−f (2 3
−a)>0,得f (1−a)>f (2 3
−a).由于函数y=f (x)在区间(-1,1)上是减函数,
根据函数单调性的定义,可得{
1<1
−
−
a<1,
1<2 3
−
−
a<1,
1−a<2 3
−a,)解得1
3 <a<1
2 ,所以实数a的取值范围是(
1
3 ,1
2).
故填答案:(
1
3 ,1
2).
三、大小的判定
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来判定一些涉及抽象函数的函数值的大小比较问题.
【典例3】若函数f (x)为R上的增函数,对实数a,b满足a+ b>0,试比较f (a)+f (b)与f (−a)+f (−b)的
大小关系.
【解析】由a+ b>0,可得a>−b且b>−a.
由于函数f (x)为R上的增函数,
可得f (a)>f (−b),f (b)>f (−a),
结合不等式的性质,可得f (a)+f (b)>f (−a)+f (−b).
四、最值的求解
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来求解给定区间背景下抽象函数的最值问题.求解函
数在单调区间上的最值,其方法是根据单调函数的定义来解决,同时结合函数的奇偶性加以解决.而结合题目
中的特征及关系式,利用函数的单调性和奇偶性,使问题解决得干净利索,别具一格,达到极佳的效果.
【典例4】已知函数f (x)对任意x,y∈R,总有f (x)+f (y)=f (x+y),且当x>0时,f (x)<0,f (1)=−2
3 ,求
函数f (x)在区间[
3,3
−
)上的最值.
【解析】令x=y=0,得f (0)=0;再令y=−x,得f (x)+f (−x)=f (0)=0,所以函数f (x)为奇函数.
对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则x2−x1>0,所以f(x2)−f(x1)=f(x2)+f(−x1)=f(x2)−x1)<0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f (x)在R上为减函数,则在区间[
3,3
−
)上也必为减函数.
而f (3)=f (2+1)=f (2)+f (1)=3f (1)= 2
−,所以f (
3
−)=−f (3)=2,
所以函数f (x)在区间[
3,3
−
)上的取值范围为[
2,2
−
),即函数f (x)在区间[
3,3
−
)上的最大值为2,最小值
为-2.
五、综合问题的应用
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来处理一些涉及抽象函数的综合应用问题.通过创新
条件给出相应抽象函数的基本性质,结合抽象函数的单调性来合理转化与应用,进而把对应的抽象不等式与
抽象函数的单调性加以合理链接,为进一步求解提供条件,背景新颖,创新应用.
【典例5】设f (x)是定义在(0,+∞)上的函数,满足条件:
(1)f (xy)=f (x)+f (y);
(2)f (2)=1；
(3)f (x)在(0,+∞)上是增函数.
如果f (2)+f (x
3
−)≤2,求实数x的取值范围.
【解析】由于f (xy)=f (x)+f (y),令x=y=2,可得f (4)=f (2)+f (2)=2f (2).又f (2)=1,则有f (4)=2.
而f (2)+f (x
3
−)=f[2(x
3
−))=f (2x
6
−),那么f (2)+f (x
3
−)≤2可化为f (2x
6
−)≤2=f (4),
即f (2x
6
−)≤f (4).由于函数f (x)在(0,+∞)上是增函数,可得{
2x
6>0,
−
2x
6≤4,
−
)解得3<x≤5,
故实数x的取值范围为(3,5].
其实,函数的单调性是函数的重要性质之一,特别是有效融合进抽象函数,使得问题更加抽象,思维得以提
升,素养得以培养,在解决单调性的判定与证明、参数的确定、大小的比较、求解函数值与最值以及综合应
用等方面都有着广泛的应用,使得问题更具挑战性,在相关场合都有比较大的用途.
考点一 单调性的判定与证明
1．（25-26 高一·全国·课后作业）已知函数
满足任意的实数
，都有
，且当
时，
．
(1)求
的值；
(2)判断
在
上的单调性并证明．
【答案】(1)
(2)
在
上单调递增，证明见解析
【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值
代入计算即得；
（2）根据函数的单调性的定义，作差比较
与
的大小
，此时需构造
，利用题设性质证得
即可．
【解析】（1）由题意，对任意的实数
，都有
，
令
，则
，所以
．
（2）
在
上单调递增．
证明如下：设
且
，则
，
因
，则
，故
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
定义在
上，且
，当
时，
．
(1)求证：当
时，
；
(2)求证：
在
上单调递减．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数满足的表达式及其函数值，由
并结合不等式性质可证明；
（2）利用函数单调性定义证明即可.
【解析】（1）由题可知
，
由
，得
，
而
，当
时，
，
从而
，即
．
另解：
，
．
（2）对于任意的
，
，
由于
，所以有
，
故
，
即
在
上单调递减．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
，对任意的
，恒有
成立．
(1)求
的值；
(2)求证：当
时，
；
(3)若
时，恒有
，试判断
在
上的单调性，并说明理由．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析；
(3)在
上
为减函数，理由见解析.
【分析】（1）令
并代入关系式，即可得；
（2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证；
（3）应用单调性定义，设
，则
，即可得
结论.
【解析】（1）令
，则
，故
；
（2）
；
（3）在
上
为减函数，理由如下：
设
，则
，
又
，故
，
所以
，即
在
上为减函数.
4．（2025 高一·全国·专题练习）定义在
上的函数
满足当
时，
，且对任意的
，
，有
．证明：
(1)
；
(2)对任意的
恒有
；
(3)
是增函数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）令
代入关系式，结合已知求值，即可证；
（2）令
得到
，再由已知得
，则
，结合（1）结论，
即可证；
（3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明.
【解析】（1）令
，则
，又
，故
；
（2）令
，则
，即
，
由题意，当
时
，则
，有
，
所以
，又
，
所以
；
（3）法一：
，且
，令
，
则
，则
，
因为
，所以
，
，
所以
，
是增函数；
法二：
，且
，
所以
，
由
，得
，又
，
所以
，即
，
所以
是增函数.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
满足条件：
①对定义域上任意
，都有
；②当
时，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
在
上单调递增．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法可得答案；
（2）设
，利用已知结合单调函数的定义可得答案．
【解析】（1）令
得
，
令
，则
，即
；
（2）设
，则
，故
，
因为
，
所以
，即
在
上单调递增．
6．（2025 高二·河北保定·阶段练习）已知函数
在
上满足
，且当
时，
；当
时，
．
(1)求
的值；
(2)判断并证明函数
的单调性；
(3)若
，求不等式
的解集．
【答案】(1)
；
(2)
在R 上单调递减，证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）令
得
，再令
并结合已知确定
的值；
（2）由
得
，讨论
、
，并
结合
及已知即可证；
（3）首先求得
，再依据单调性解不等式求解集.
【解析】（1）令
，则
，故
，可得
，
令
，则
，
当
，则
，即
，与题设不符，
所以
；
（2）
在R 上单调递减，证明如下：
当
时，
；当
时，
，
由（1）知
，
由
，
当
，即
，
，
，
所以
，即
在
上单调递减，
当
，则
，
，
，
所以
，即
在
上单调递减，
综上，结合
，易知
在R 上单调递减，得证.
（3）令
，则
，故
，即
，
所以
，则
，
由（2）知，
，即
，可得
或
，
所以不等式解集为
.
7．（25-26 高一·全国·课后作业）已知函数
对任意的实数m，n，都有
，且
当
时，有
．
(1)求
的值；
(2)求证：
在R 上为增函数；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法，
求
；
（2）设
，
是
上任意两个实数，且
，令
，
，通过函数的单调性的定义直接证
明
在R 上为增函数.
【解析】（1）由
，
故此令
，则
，
则
.
（2）设
，
是R 上任意两个实数，且
，令
，
，
则
，所以
，
由
得
，所以
，
故
，即
，
故此函数
为R 上增函数.
考点二 解不等式
8．（25-26 高三·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足：
，且当
时，
．则关于
的不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】由条件结合奇函数的定义证明
为奇函数，再结合单调性定义证明
为减函数，利用函数
性质化简不等式可得
，结合一元二次不等式解法求结论.
【解析】函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
因为函数
满足条件
，
所以
①，
②，
由①可得
，
所以
，故
，
所以函数
为奇函数，
任取
，且
，则
，
因为
，所以
，又当
时，
，
所以
，故
，
所以
，
所以函数
为减函数，
因为
，
所以
，又函数
为奇函数，
所以
，又函数
为减函数，
所以
，故
所以
，
所以关于
的不等式
的解集为
，
故答案为：
.
9．（25-26 高三·安徽·阶段练习）已知
的定义域为
，且
，对于任意正数x，y，都有
，若当
时，
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】利用赋值法先求
，进而得
，利用定义法证单调性，最后利用单调性即可解不等式，
进而求解.
【解析】由题意有：令
有：
，
令
有：
，
对任意的
且
，所以
，即
，
所以
，
即
，所以
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
，
所以
，
故答案为：
.
10．（25-26 高一·全国·期末）已知函数
的定义域为R，对任意的a，
，都有
，当
时，
，且
，若
，则不等式
的解
集是 ．
【答案】
【分析】先由题设结合赋值法求出
和
，接着求出函数
是单调递减函数，再利用函
数单调性得
，解该不等式即可得解.
【解析】因为对任意的a，
，都有
，
，且
，
所以
，且
．
设任意
，则
，则
，又
，
所以
，若
，则当
时，
，
则
，矛盾，所以
，所以
，所以函数
单调递减，
所以不等式
等价于
，所以
，
故
，即
，解得
．
所以不等式
的解集是
．
故答案为：
11．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
，对任意实数
满足：
，若
时，
恒成立，则满足不等式
的实数
的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】观察抽象函数的特征式，易知其满足指数函数的函数性质，故采用特殊函数求解即可，本题也可
以先运用单调性定义求出函数的单调性，再求解．
【解析】令
，又
，故
，
对于任意的
，又
，
，故函数单调递减，
又不等式
等价于
，解得
或
．
故答案为：
．
12．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，对于
，
，有
，
且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据单调性的定义得，
在
上为减函数，不等式
化为
，利用单调性得
，解一元二次不等式即可．
【解析】对于
，
，有
，
，所以
．
所以函数
在
上为减函数．令
，易得其在
上为减函数．
由
，得
．
由
，得
，
所以
，即
，得
或
．
故不等式
的解集为
．
故答案为：
13．（2025 高一·安徽合肥·期末）已知定义在
上的函数
满足：当
时，
，且对任意
的
，均有
.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
在
上单调递减，由不等式
即可求解.
【解析】解：令
，得
；再令
，得
，
故
为
上的奇函数，
设
，且
，则
，得
，即
，
所以
，得
，
所以
在
上单调递减，
当
时，得
，即
，
解得：
，
故选：C
14．（2025 高一·江苏宿迁·期中）已知函数
的定义域为
，对任意的
，若对任意的
，有
，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的性质，解抽象不等式.
【解析】令
，有
，得
令
，
，所以函数
是奇函数，
由
可知，当
，
，即
，所以
单调递减，
不等式
，
所以
，解得：
.
故选：A
考点三 参数的确定
15．（江苏省镇江市2025-2026 学年高三学期期初监测数学试题）已知对于
，恒有
，且当
时，
.对于
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用已知条件
，恒有
，运用特殊值法推出函数奇偶性，利用当
时，
，结合
推出函数单调性，结合上述性质对不等式进行化简后构造
函数并求导，结合导数分情况讨论得出实数
的取值范围.
【解析】已知对于
，恒有
，
令
，则
，
令
，则
，所以
为奇函数.
任取
，则
，已知当
时，
，则
，
又
，则
，
，故
为
上的减函数，因
，
由
可得
，
因
为
上的减函数，故
对于
恒成立，
令
，则
对于
恒成立.
求导得
，
当
时，
，
在
上单调递增，当
时，
，不合题意；
当
时，令
，解得
.
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
在
处取最小值，
要使
恒成立，需使
，即
，
解得
；
当
时，
，因为
对于
恒成立，符合题意.
综上，
.
故选：B.
16．（2025·江苏·模拟预测）已知定义在
上的函数
，对任意正数x，y 满足
，且当
时，
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
变形得到
，即
，然
后任取
，从而可证明
为增函数，可得到
，再利用参数分离可得
，再构造函
数
，利用导数求出
的最大值，从而可求解.
【解析】由题意得对于任意正数
，
都有
，
又因为
，所以
，
即
，则得
，
任意
，则
，因为
，所以
，
当
时，
，所以
，则
，所以
，
所以函数
在
上单调递增，所以
，且
，
所以
在
时恒成立，即等价于
在
时恒成立，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以当
时，
取到极大值也是最大值
，
所以
，故D 正确.
故选：D.
17．（2025·全国·模拟预测）已知函数
对任意
恒有
，且当
时，
．若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】法一：令
，求出
，令
，可证得函数
是奇函数，再由单调性的定义可得
函数
在
上单调递增，进而可求出
在区间
上的最大值，则
，解不等
式即可求出实数
的取值范围；法二：令
可得函数
的单调性，进而可求出
在区间
上的最大值，则
，解不等式即可求出实数
的取值范围.
【解析】法一：令
，得
，所以
；
令
，则有
，即
，则
，
故
是定义在
上的奇函数．
设
，则
，又当
时，
，
则有
，即
，
则
，故
在
上单调递增．
所以当
时，
．
又因为存在
，使得
成立，
所以
，解得
．故选D．
法二：令
，则
．因为
，
当
时，
，所以
，即函数
在
上单调递增．
因为存在
，使得
成立，
所以
为
在区间
上的最大值．
因为
在
上单调递增，
，所以
，
所以
．解得
，即实数
的取值范围为
．
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由赋值法证得函数
在
上单调递增，进而可求出
在区间
上的最大值，则
，解不等式即可求出实数
的取值范围.
18．（2025 高一·四川南充·期中）已知函数
的定义域为
，
，都有
，且
，都有
，若
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】采用赋值法先分析
的奇偶性，再根据条件得到
的单调性，然后将函数值大小关系转化
为自变量大小关系，从而可求结果.
【解析】因为
，都有
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，
又
的定义域为
关于原点对称，所以
为偶函数；
因为
，都有
，
即
，都有
，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，所以
在
上单调递增，
又因为
，
所以
，
由此解得
或
，
故选：A.
19．（2025 高二·黑龙江牡丹江·期末）已知函数
的定义域为
，对任意
，
都满足
，且
，当
时，
且
.
(1)求
，
的值；
(2)用函数单调性的定义证明
在
上单调递减；
(3)若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对
进行赋值，计算即可求得答案；
（2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得；
（3）利用（1）已得
将不等式等价变形得到
，再利用函数的单调性得到
，求出函数
的最小值，代入求解关于
的一元二次不等式即可.
【解析】（1）由
，取
，可得：
，
又当
时，
，则
，
再取
，可得：
；
（2）
，
，且
，则
，依题
，
则
，
即
在
上单调递减；
（3）由已知
，
又由（1）得
，则有
，
因
在
上单调递减，则
恒成立，
即
恒成立，又
，
则
，解得
，
故实数
的取值范围为
.
20．（2025 高一·河北保定·阶段练习）已知函数
对任意的实数m，n，都有
，
且当
时，有
．
(1)求
的值；
(2)求证：
在R 上为增函数；
(3)若
，且关于x 的不等式
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法，
求
；
（2）设
，
是
上任意两个实数，且
，令
，
，通过函数的单调性的定义直接证
明
在R 上为增函数；
（3）由原不等式可化为
，化为
，对任意的
恒成立，
可得
恒成立，通过对勾函数性质求解实数
的取值范围
【解析】（1）由
，
故此令
，则
，
则
；
（2）设
，
是R 上任意两个实数，且
，令
，
，
则
，所以
，
由
得
，所以
，故
，即
，
故此函数
为R 上增函数；
（3）由已知条件得：
，
故
，
，
，
，由（2）可知
在R 上为增函数，
，即
，
时，可得
恒成立，
令
，
由对勾函数性质可得
在
上单调递增，
所以
，
所以
综上，
.
考点四 大小的判定
21．（2025 高二·广东揭阳·期末）已知定义在
上的函数
，对任意
，总有
成立，且当
时，
．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定函数
的单调性，再构造函数并利用导数确定单调性
并比较
的大小即可.
【解析】
，
，而当
时，
，则
，
，函数
在
上单调递减，
令函数
，求导得
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，则
，即
，
因此
，所以
.
故选：B
22．（2025 高三·新疆·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先由单调性的定义证明
在
上为减函数，记
，求导利用函数
的单调性求解即可.
【解析】任取
，
，且
，设
，
，
由
，得
，
即
，所以
，
所以
在
上为减函数，
记
，则
，
记
，所以
，
所以
在
上单调递增且
，
所以当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
所以
，
所以
恒成立，所以
，即
.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件结合单调性的定义证明函数
的单调性，然后利用
单调性判断函数值的大小.
考点五 最值的求解
23．（2025 高三·山西大同·期末）已知函数
对任意的实数x，y 都有
，且当
时，
，
，则当
时，
的值域为 ．
【答案】
【分析】首先得出函数
为增函数，且
为奇函数，而函数是连续的，故只需求出端点函数值即可
得解.
【解析】设任意的
，则
，所以
．
又
，
所以函数
为增函数．
令
，得
；
令
，则
，而
的定义域为
关于原点对称，故
为奇函数．
所以
，
，
所以
在
上的值域为
．
故答案为：
．
24．（2025 高二·河南周口·期末）函数
对任意
、
总有
，当
时，
，
，则下列命题中正确的个数是（ ）
①
是偶函数；
②
是
上的减函数；
③
在
上的最小值为
；
④若
，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断①；利用函数单调性的定义可判断②；利用函数单调性可知
在
上的最小值为
，利用赋值法求出
的值，可判断③；将所求不等式变形为
，
结合函数的单调性解此不等式，可判断④.
【解析】对于①，取
，则
，解得
，
令
，则
，即
，且函数
的定义域是
，
所以函数
是奇函数，故①错误；
对于②，令
、
，且
，则
，
因为当
时，
，所以
，
则
，即
，
函数
是
上的减函数，故②正确；
对于③，因为函数
是
上的减函数，
所以函数
在
上的最小值为
，
又
，
，故
，
在
上的最小值为
，故③错误；
对于④，
，即
，
因为函数
是
上的减函数，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
，故④正确，
故选：B.
25．【多选】（2025·湖南·模拟预测）已知定义在R 上的函数
满足：对任意实数x，y，恒有
，若
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数
的最小值为
C．
为R 上的增函数
D．关于x 的不等式
的解集为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，赋值推理判断AB；利用函数单调性定义推理判断C；将不等式等价转化，再利
用单调性求解.
【解析】对于A，令
，则
，而
，解得
，A 正确；
对于B，令
，则
，
，假设存在
使得
，
对任意实数x，有
，
此时
为常数函数，与
矛盾，即不存在
使得
，则
，B 错误；
对于C，由
，得
，
，且
，则
，又当
时，
，则
，
又
恒成立，因此
，
即
，因此
为R 上的增函数，C 正确；
对于D，
，则
，
，不等式
，令
，由
，即
，
解得
或
，即
或
，而
为R 上的增函数，
，
于是
或
，不等式
的解集为
，D 正确.
故选：ACD
考点六 综合问题的应用
26．（2025 高一·河北保定·期末）已知定义域为
的函数
满足
，
，
且
时，
，则下列说法正确的（ ）
A．
B．
为减函数
C．
为奇函数
D．不等式
的解集为
【答案】D
【分析】首先令
得到
，令
，求出
可判断A；当
时，由
可得
进而确定单调性可判断B；令
，结合
得
可判断C；根据
的单调性和
解不等式可判断D.
【解析】令
，则
，得
，
对于A，令
，则
，故A 错误；
对于B，若
，则
，此时
，
所以
，
即
时，
，所以
为
上的增函数，故B 错误；
对于C，令
，则
，所以
，
不满足
，所以
不是奇函数，故C 错误；
对于D，因为
为
上的增函数，且
，
所以当
时，
；当
时，
，
不等式
的解集为
，故D 正确.
故选：D
27．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
满足
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
的定义域为
C．若
在
上单调递增
D．若
，则
【答案】B
【分析】应用赋值法计算求解得出
判断A，B，应用已知关系式得出函数再结合导函数得出单
调性判断C，应用赋值法结合等差数列通项公式计算判断D.
【解析】令
，可得
，所以
，A 选项正确；
令
，可得
，所以
不成立，所以
的定义域不是
，B 选项不
正确；
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，C 选项正确；
若
，令
，可得
，
所以
，所以
为等差数列，
所以
，则
，D 选项正确；
故选：B.
28．【多选】（25-26 高三·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数
的定义域为
，且满
足
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数
是奇函数
C．
D．当
时，
，则
在
上单调递减
【答案】AB
【分析】取
，解出
判断A，取
解得
，再取
结合奇函数的定义
判断B，取特殊值
判断C，设
，则
，代入
结合单调性的定义判断D.
【解析】取
得
，解得
，A 说法正确；
取
得
，解得
，
取
得
，
是偶函数，
所以
且定义域
，所以
是奇函数，B 说法正确；
由
知，当
时，
不成立，C 说法错误；
设
，则
，
，
所以
在
上单调递增，D 说法错误；
故选：AB
29．【多选】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，且
，
则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
有唯一极值点
D．
单调递增
【答案】AB
【分析】根据已知函数等式，通过赋值及奇函数的概念判断AB；根据特值法判断CD.
【解析】对B，
函数
的定义域为
，
令
，得
，故B 正确；
对A，令
，得
，又
，
，
是奇函数，故A 正确；
对CD，由题可取
满足题意，而函数
无极值，且不是严格单调递增函数，故CD 错误.
故选：AB.
30．【多选】（25-26 高一·全国·期中）已知定义在R 上的函数
满足：①
是偶函数；②当
时，
；③当
，
时，
．则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．不等式
的解集为
D．
【答案】AC
【分析】方法一：对于A，由条件③令
，
，结合条件②可得
；对于B，结合条件与单调
性定义求解；对于C，不等式
等价于
，结合
的单调性及奇偶性求解；对于
D，令
判断即可．
方法二：构造函数
判断即可．
【解析】方法一：对于A，由条件③当
，
时，
，
令
，
，得：
，
又由条件②得
，∴
，A 正确；
对于B，取
，
，且
，则
，
∵
，∴
，
，∴
，
∴
，即
，∴
在
上单调递增，B 不正确；
对于C，∵
，
，
∴不等式
等价于
，
又
在
上单调递增，且由条件①得
是偶函数，
∴
，∴解集为
，C 正确；
对于D，令
，则
，
，
此时
不成立，D 错误．
方法二：构造函数
，符合条件①②．
，故A 正确；
时，
，在
上单调递增，故B 不正确；
，则
即为
，则
，解集为
，故C 正确；
令
，则
，
，
此时
不成立，D 错误．
故选：AC．
31．【多选】（25-26 高一·全国·单元测试）已知定义在
上的函数
满足
，且
当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
单调递增
D．
是偶函数
【答案】ACD
【分析】利用赋值法判断AB，利用函数单调性和奇偶性的定义判断CD 即可.
【解析】令
，得
，解得
正确；
令
，得
1，即
，解得
，B 错误；
令
，且
，则
，
因为当
时，
，所以
，即
，所以
在
单调递增，C 正确；
令
，则
，由B 项知
1，则
，故
是偶函数，D 正
确；
故选：ACD
32．【多选】（2025 高二·辽宁·期末）已知函数
的定义域为
，且
的图象是一条连续不断的曲
线，对
，
都有：①
，②当
时，
，③当
时，
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为奇函数
C．
在
上单调递增
D．
【答案】BCD
【分析】根据对称性直接可得函数的对称轴，再根据定义法可判断函数的单调性，利用赋值法可判断函数
的奇偶性，进而根据函数的性质分别判断各选项.
【解析】由
，可知曲线
关于直线
对称，所以
为偶函数，
由已知当
时，
，
令
，可得
，则
，
令
，可得
，即函数
为奇函数，即函数关于
中心对称，
A 选项错误，B 选项正确；
设
，则
，即
，
所以
在
上单调递增，则
在
上单调递增，
又
的图象是一条连续不断的曲线，且
，
所以
在
上单调递增，C 选项正确；
由
，
，得
，
则
，所以
，
所以
是以
为一个周期的周期函数，
所以
，
，
易知
在
上单调递减，且
，
所以
，D 选项正确；
故选：BCD.
33．【多选】（2025 高二·福建三明·期末）已知函数
是R 上的奇函数，且过点
，对于一切正实
数m，n，都有
.当
时，
恒成立，则（ ）
A．
B．方程
所有根的和为
C．
在
上是单调函数
D．不等式
的解集为
【答案】ACD
【分析】对于A，赋值
即可判断；对于B，分别赋值
、
和
求出
和
即可判断；对于C，探究
在
上的单调性，结合
、
和函数
奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值
，
，
即
可得解.
【解析】由题
，
对于A：令
，
，所以A 正确；
对于C：当
时，
，得
，
故
，即
又
即
，
所以
，设
，
则
，
因为
，所以
，
，
因为当
时，
恒成立，
所以
，即
，
故
在
上单调递增，
又
，
，且函数
是
上的奇函数，
则
在
上是单调递增，所以C 正确；
对于B：方程
的根即为
或
的根，
因为
在
上单调递增，在
上是单调递增，
所以
有两个根，
令
，
，得
；
令
，
，则
；
所以
有两个根为
，
因为
在
上单调递增，在
上是单调递增，所以
有3 个根，
令
，
，得
，
因为函数是奇函数，所以
，
令
，
，得
，
所以
有3 个根为
，
方程
所有根的和为
，所以B 不正确；
对于D：当
时，
因为
在
上单调递增，
，
，所以
；
当
时，因为
，
，
，
，
，
由奇函数
在
上单调递增，所以
；
所以
即
时，
.所以D 正确.
故选：ACD．
34．【多选】（2025 高二·陕西西安·期末）已知函数
是
上的奇函数，且过点
，对于一切正实
数
，都有
，当
时，
恒成立，则（ ）
A．
B．
在
上是单调函数
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】利用赋值法计算判断AC；举例说明判断B；利用函数单调性定义探讨单调性并求出范围判断D.
【解析】对一切正实数
，都有
，
，
对于A，令
，
，得
；
令
，
，得
，A 正确；
对于B，由函数
是
上的奇函数，得
，
因此函数
在
上不单调，B 错误；
对于C，令
，则
，因此
，C 正确；
对于D，
，
，
，而当
时，
，
则
，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递增，
而
，
当
时，由
，即
，得
，
，
，
，
当
时，
，
解得
，
因此当
时，
，D 正确.
故选：ACD.
35．【多选】（2025 高二·云南昆明·阶段练习）已知定义域为
的函数
不是常值函数，当
时，
，而且对任意的
有
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
在
上单调递减
D．若
，则不等式
的解集为
【答案】ABD
【分析】A 令
求出
，再令
确定具体值；B 令
即可；C 利用单调性的定义证明；
D 令
得出
是偶函数，再将问题转化为
，结合单调性即可求出.
【解析】对于A，令
，则有
，得
或
，
但当
时，
，
与
不是常值函数矛盾，故
，故A 正确；
对于B，令
，则
，
则
，
当
，则
，故
，
故
，故B 正确；
对于C，任取
，令
，则
，
则
，故
在
上单调递
增，故C 错误；
对于D，令
可得：
，
故
是偶函数，
又
，于是原不等式可转化为
，
又由
在
上单调递增可得：
，解得：
，
故不等式
的解集为
，故D 正确.
故选：ABD.
36．【多选】（2025 高二·河北沧州·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数
是奇函数
C．
D．若当
时，
，则
在
上单调递增
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数方程，利用赋值法，结合奇函数定义、单调性定义逐项判断.
【解析】对于A，取
，得
，则
，A 正确；
对于B，取
，得
，则
，对
，取
，
得
，则
，函数
是奇函数，B 正确；
对于C，当
时，
，C 错误；
对于D，
，则
，由当
时，
，得
，
因此
，
在
上单调递增，D 正确.
故选：ABD
37．【多选】（2025·山西·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足：对任意的
，
，且当
时，
．则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
在区间
上单调递增
D．
在区间
上单调递减
【答案】ABD
【分析】利用代入法，结合偶函数，单调性的定义逐一判断即可．
【解析】A 选项，令
，则
，所以
，A 正确；
B 选项，令
，则
，
所以
，令
，则
，
所以
是偶函数，B 正确；
CD 选项，任取
，
且
，则
，
因为
，所以
，因此，
，即
，
所以
在区间
上单调递减，C 错误，D 正确．
故选：ABD．
38．【多选】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
满足：①定义域为
，②
，③当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的取值范围为
【答案】BC
【分析】用赋值法先令
求得
，再令
即可求得
，进而判断A、B；任取
，则
，由函数单调性的定义判断C；令
可判断奇偶性，利用奇偶性与单
调性解不等式判断D.
【解析】在
中，
令
得
，则
，
令
得
，则
，
故
，
，故A 错，B 对；
对于C，设
，则
，
由
，得
，
所以
，
则
在
上是增函数，从而
，故C 正确；
对于D，令
得
，即
，
所以
是偶函数，故
等价于
，
又
在
上是增函数，所以
，
解得
且
，故D 错误.
故选：BC.
39．【多选】（2025·重庆·模拟预测）已知函数
对任意的
都有
，
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．关于x 的不等式
的解集是
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，结合
，利用赋值法依次求出
即可判断；对于B，通过选项A 中的
函数值的规律即可判断；对于C，运用定义法证明函数
在
上的单调性，将
代入后，运用函
数单调性将其化成一元二次不等式求解即得；对于D，令
，代入已知式，根据递推性质
即可证明结论.
【解析】对于A，在
中，
，
取
，可得
，解得
，
再取
，可得
，
再取
，可得
，故A 正确；
对于B，由A 项可知，
，故B 错误；
对于C， 不妨设
，则
，
设
，则
，因当
时，
，则有
，
由
可得
，即函数
在
上是增函数.
取
易得
，则
，
故
等价于
，故得
，解得
或
，
故不等式
的解集是
，故C 正确；
对于D，将
都取为
，则得
，
故
，故D 正确.
故选：ACD.
40．【多选】（2025·江西南昌·模拟预测）已知定义在R 上的单调函数
，满足
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
可能是单调递减函数
C．
为奇函数
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误.
【解析】因
为定义在R 上的单调函数，则
，
.
对于A，令
，则
或
，
若
，则对
，取
，都有
，不满足单调函数性质，
故
，故A 正确；
对于B，令
，则
或
（舍），则
，
因
，结合
为定义在R 上的单调函数，则
只能是单调递增函数；
对于C，令
，则
（舍），
则
，取
，取
，
则
，又
定义为R，则
为奇函数，故C 正确；
对于D，令
，则
，令
，
则
，
则
，故D 正确.
故选：ACD
41．【多选】（2025 高三·山西·阶段练习）已知
是定义在
上的非常值函数，当
时，
，对任意的
，都有
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．不等式
的解集为
【答案】BC
【分析】利用赋值法求解判断AB；根据单调性的定义判断C;根据函数的单调性解不等式判断D
【解析】对于A，令x 为任意实数
，则
，
∵
是非常值函数，∴
，故A 错误；
对于B，令x 为任意实数，
，得
，
令
，∴
，故B 正确；
对于C，∵
，
当
时，
，∴
，∴当
，
，
∴对任意
恒成立，
任取
，则
，即
，
所以
在
上单调递减，故C 正确；
对于D，令
，得
，
令
，得
，
再由
可知
，
又∵
在
上单调递减，∴不等式
等价于
，
解得
或
，故D 错误.
故选：BC
42．（25-26 高一·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足：对
，都有
，且当
时，
．
(1)判断函数
的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式：
．
【答案】(1)函数
是奇函数，证明见解析
(2)函数
在
上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数
的奇偶性定义求解；
（2）利用函数
的单调性定义证明；
（3）利用函
的奇偶性和单调性求解即可.
【解析】（1）函数
是奇函数，
证明：令
，则
，解得
，
令
，则
，令
，则
．
为定义在
上的奇函数．
（2）函数
在
上单调递减，
证明：
，设
，则
，
，
，
，
．
又
，
，
又当
时，
，由（1）知
为定义在
上的奇函数．
则当
时，
，
，
，即
，即
，
在
上单调递减；
（3）因为
，
由（1）知
为定义在
上的奇函数，
则
，
的定义域为
且在
上是单调递减的，
解得
，
不等式的解集为
．
43．（2025 高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数
对任意的
，都有
，
且当
时，
．
(1)求证：
是
上的增函数；
(2)若
，
，解不等式
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明；
（2）利用赋值法求得
，再利用（1）求出的函数单调性解不等式．
【解析】（1）设
，且
，则
，即
，
∴
，
∴
，∴
是
上的增函数；
（2）∵
，∴
，
在上式中取
，则有
，
∵
，∴
，
于是不等式
等价于
，
又由（1）知
是
上的增函数，
∴
，解得
或
，
∴原不等式的解集为
．
44．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
满足：对任意
都有
，当
时，有
．
(1)判定
在
上的奇偶性，并说明理由；
(2)判定
在
上的单调性，并给出证明；
(3)求证：
；
【答案】(1)
在
上是奇函数，理由见解析
(2)
在
上单调递减，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先利用赋值法判断
，再利用赋值法得
，进而利用奇函数的概念证明
即可．
（2）结合抽象函数的运算，利用单调性的定义按照步骤证明即可．
（3）
，然后求和得
，由
得
，即可证明．
【解析】（1）函数
的定义域为
，令
，得
．
令
，得
，即
，
所以
在
上是奇函数．
（2）设
，则
，
由
，得
．
因为当
时
，所以
，
即
，从而
在
上单调递减．
（3）
，
故
，
又
且
，故
，
从而
．
45．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的函数
满足下列条件：①对任意
，都有
；②当
时，有
.求证：
(1)
是奇函数；
(2)
是单调递减函数；
(3)
，其中
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由奇函数的定义及特殊值
即可证明；
（2）由单调性的定义,做差证明；
（3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,
最后比较左右两边的大小关系,即可得证．
【解析】（1）令
，代入
得到
.
令
，得
，即
.
所以
在
上是奇函数.
（2）设
，则
.
因为
，所以
，
.
又因为
，所以
且
，
所以：
，所以
.
所以
，
.
所以
在
上是单调递减函数.
（3）
，
所以
.
因为
，所以
.
所以
.
故
.
46．（25-26 高一·河南驻马店·开学考试）已知定义在
上的函数
满足对任意的x，
，
，当
时，
，
.
(1)证明：
为奇函数.
(2)证明：
在
上是减函数.
(3)求不等式
的解集.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）令
、
，结合奇偶性定义即可证；
（2）设
有
，结合已知和单调性定义即可证；
（3）利用奇偶性、单调性，化不等式为
，即可求解集.
【解析】（1）令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以
且定义域为R，故
为奇函数；
（2）设
，因为
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，故
在
上单调递减；
（3）因为
为奇函数，且
，所以
，
不等式
化为
，
因为
在
上单调递减，所以
，即
，解得
，
即不等式
的解集是
.
