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第9 题 解锁多变量最值问题（解透一题）
【2025 届高三下学期2 月河北省部分学校联考】
已知实数
满足
，
，
，则
的最大值为______．
试题归属多变量最值问题，多变量最值问题在数学领域占据关键地位，广泛渗透于代数、
几何、函数等多个分支，题型特点具有变量关系错综复杂：多个变量之间常通过等式、不
等式或函数表达式相互关联，这些关系或直接明了，或隐䀲暗藏，需要深入挖掘与梳理；
条件形式丰富多样：条件可能以代数方程、不等式组呈现，也可能借助几何图形、实际情
境来描述．
试题检验考生是否能够将向量、解析几何和三角函数等知识融会贯通，灵活运用不同知识
解决问题.要求能将具体的代数表达式抽象为向量的数量积和模长等概念，培养 从具体问
题中提炼数学概念的能力.通过将代数问题转化为几何问题（向量的几何表示、两点间距离
的几何意义），考查考生的直观想象能力，能否在头脑中构建相应的几何模型来辅助解题.
在化简和求最值的过程中，考查考生的数学运算能力，包括代数式的变形、相关公式的运
用等.
多变量最值问题解题核心思想，通过条件等式减少变量个数，化归为单变量函数的最值问
题或目标不等式处理.应用场景：当题目中存在多个变量间的约束条件（如方程、不等式）
时，通过代数变形将问题转化为单一变量的函数形式.
【解题切入点一】消元代数角度切入
化简目标有
所以
故问题关键求
的最小值或
的最大值.
将问题转化为“已知实数
满足
，
，
，
求
（或
）的最大值”.（转化思想：把求
的最大值问题，
转化为求关于
的表达式的最值问题，通过已知条件建立联系，实现问题的转
化求解.）
详细解析：
因为
，所以
.
同时
（因为
），（非负数放缩）
即
.
解关于
不等式得
，
当
，
，
时，等号成立．
【解题切入点二】几何角度切入
从已知条件
，
可联想到点在圆上，从已知条件
可
联想到向量数量积公式
（设
），这里虽然
未直接以向量形式出现，但本质有数量积的影子.于是思考将变量约束转化为几何轨迹（如
直线、圆、椭圆），通过轨迹交点或切点确定最值.
知点
，
分别如图所示，半径为2 的圆
，半径为3 的圆
上，记
，
条件表达为：
；（数学抽象：将实数
满足的代数关系抽象为平面向量的数量积关系和点与圆的位置关系）
另一方面，
，（直观想象：借助圆的图形和向量垂直的几何意
义，将代数问题转化为几何问题，通过图形直观地分∣AC∣的最大值情况.）
考虑作矩形，可将
转化为矩形对角线的长度．设新的顶点为
．
设AC 的中点为P，由中线长定理，知：
所以
故
则
点在半径为
的圆
上．
易见，
，知
．
【解题切入点三】曲线的参数方程（三角换元）切入
点在圆上，联想到圆的参数方程法
依题可设
，
，
，
，
（数学抽象：将实数的平方和关系抽象为圆的参数方程形式，把复杂的实数等
式关系转化为三角函数等式关系，体现了从具体到抽象的思维过程.）
由
可得
，
为求
的最小值，设
，
则
，
从而有
，
因此，
，解得
．
再由
，
可知所求最大值为
．
（转化与化归思想：通过参数代换将实数问题转化为三角函数问题，这是解题
的关键.把求
的最大值问题转化为求 osγ 的取值范围，再进一
步求解最大值，体现了转化与化归思想在解题中的灵活运用.）
注意：本题不建议选用三角换元，理由是不容易找到所设两角的关联，练习习
题2 后可以尝试对比.
多变量最值问题是数学中的一个重要题型，其解题关注：（1）分析条件和目标函数：仔细
阅读题目，明确已知条件，包括变量的取值范围，约束条件等，同时确定要求最值的目标
函数．（2）化简与转化：对目标函数进行化简，使其形式更便于分析和处理．根据条件和
函数的特点，可采用代换、变形等方法，将多变量问题转化为更易求解的形式，如通过消
元法减少变量个数．（3）确定方法：
消元法：当题目中给出多个变量之间的关系时，可通过代入消元或整体消元等方法，将
多变量函数转化为单变量函数，再利用单变量函数求最值的方法求解．
不等式法：利用均值不等式、柯西不等式等著名不等式来求解最值．例如，对于正实数
、
，有
，当且仅当
时等号成立．
函数法：将多变量问题转化为函数问题，通过分析函数的单调性、极值等性质来确定最
值．如果函数可导，可通过求导来找到函数的极值点，进而确定最值．
数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过图形的直观性来求解最值．例如，对于
一些满足线性约束条件的目标函数，可以通过画出可行域，利用目标函数的几何意义（如
斜率、截距、距离等）来求最值．
换元法：通过引入新的变量，将原问题转化为关于新变量的问题，从而简化问题的结构．
例如，对于含有根式的函数，可以通过三角换元或代数换元将其转化为更易处理的函数．
【由
，
，
联想到圆上两点且与圆心连线垂直】
1．已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．6
C．
D．12
【由
，
联想到圆，
联想到垂直，进而用圆的参数方程刻
画转化为三角函数最值】
2．已知实数
满足
，
，
，求
的最大值.
3．已知实数
、
、
、
满足
，
，
，则
的最
大值为 .
【由
进行数与形的联想，进而在三种方法中进行优选】
4．已知实数
、
、
、
满足：
，
，
，则
的最大值为 .
