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1-1 集合
1. 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合
语言的意义和作用.
3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
6. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7. 能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1.1 集合........................................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：集合与元素.......................................................2
考点2：集合间的基本关系.................................................2
考点3：集合的基本运算...................................................2
【常用结论】.............................................................3
二、分类题型................................................................4
题型一 集合的含义........................................................4
题型二 集合间的基本关系..................................................5
题型三 集合的基本运算....................................................6
命题点1 集合的运算..................................................6
命题点2 利用集合的运算求参数........................................7
题型四 集合的新定义问题..................................................7
三、课堂总结：知识图谱......................................................9
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................10
1
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一、主干知识
考点1：集合与元素
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：
和
.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（
图）.
（4）常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
2、集合的特性
①确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居
其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2 接近的数”等都不能组成一个集合．
②互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成
{1，1，2}，应写成{1，2}．
③无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相
等的两个集合．
2、集合的表示法
①列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方
法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．
②描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号
内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x 为该集合的元素的一般形式，P 为这个集合的元素的
共同属性）如：小于π 的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}
③图示法（Venn 图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示
一个集合．
④自然语言（不常用）．
2
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考点2：集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这
两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集（subset）． 记作：A⊆B（或B⊇A）．
（2）真子集：真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x 不属于集合A，我们称集合A 是集
合B 的真子集．也就是说如果集合A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集。
（3）相等：如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集（
），此时，集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
.
（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集
合的真子集.
归纳：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}
（5）真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在
所有子集中去掉它本身，所以对于含有n 个（n 不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集
就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
考点3：集合的基本运算
（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素的组成的集合叫做A 与B 的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．
（3）补集：对于一个集合
，由全集
中不属于集合
的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集
的补集，简称为集合
的补集，记作
，即
．
3
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【常用结论】
1．若集合A 有n(n≥1)个元素，则集合A 有2n个子集，2n－1 个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
4
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二、分类题型
题型一 集合的含义
【例题精析1】
（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题）设全集
，集合M 满足
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题知
,对比选项知，
正确,
错误故选:
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三
是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【对点精练1】
在“①个子较高的人；②所有的正方形；③方程
的实数解”中，能够表示成集合的
是（ ）
A．②
B．③
C．①②③
D．②③
【解答】①个子较高的同学，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合；
②所有的正方形满足集合元素的确定性，互异性，可以构成集合；
③方程
的实数解，能构成集合.故选：D.
5
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题型二 集合间的基本关系
【例题精析2】
设集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题意可知：比如
，即
，对任意
，则
，
∵
，则
，即
，∴
，且
，B 正确，D 错误；又∵
，令
，解得
，即
，∴
，且
不是
的子集，A、C 错误；故选：B.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转
化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．
【对点精练2】
已知集合
，则满足条件
的集合
的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】求解一元二次方程，得
，
易知
.因为
，所以根据子集的定义，集合
必须含有元素1,2，
且可能含有元素3,4，原题即求集合
的子集个数，即有
个，故选D.
6
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题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
【例题精析3】
（2021 年全国高考乙卷）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】任取
，则
，其中
，所以，
，故
，因此，
.
故选：C.
【例题精析4】
（2022·天津·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
，故
，故选：A.
集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的
前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．
7
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【对点精练3】
（2022·全国·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题意，
，所以
,所以
.故选：D.
【对点精练4】
（重庆·高考真题）已知集合
，集合
，
则
___________.
【解答】解：因为集合
，
集合
，所以
，
故答案为：
命题点2 利用集合的运算求参数
【例题精析5】
已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若
有三个元素，则实数m 的取值范
围是（ ）
A．[3，4）
B．[1，2）
C．[2，3）
D．（2，3]
【解答】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，
，
若
有三个元素，则有
，
即实数m 的取值范围是[2，3）；故选：C
8
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对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的
元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【对点精练5】
已知集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
又
，
结合数轴可得
，所以
的取值范围为
.故选：D.
【对点精练6】
集合
，
，
，若
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题得
，
因为
，所以
.故选：B.
题型四 集合的新定义问题
【例题精析6】
定义集合
，设集合
，
，则
中元素
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【解答】因为
，
，所以
，故
中元素的个数为.故选：B.
【例题精析7】
由无理数引发的数学危机一直延续到19 世纪直到1872 年，德国数学家戴德金从连续性的要
求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，
才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000 多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金
分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N，且满足
，
，M 中的每一个
元素都小于N 中的每一个元素，则称
为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割
，下列选
项中，可能成立的是（ ）
A．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 B．M 没有最大元素，N 也没有最小元素
C．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D．M 有一个最大元素，N 没有最小元素
【解答】令
，
，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中有一个最
小元素，即选项A 可能；令
，
，显然集合M 中没有最大元素，
集合N 中也没有最小元素，即选项B 可能；假设答案C 可能，即集合M、N 中存在两个相邻的有理数，显
然这是不可能的；令
，
，显然集合M 中有一个最大元素，集合N
中没有最小元素，即选项D 可能.故选：ABD．
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给
定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
【对点精练7】
设P，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2 两个元素，Q 中含有1，6 两个元素，定义集合
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P+Q 中的元素是a+b，其中
，
，则
中元素的个数是_________．
【解答】依题意，
，所以
共有
个元素.故答案为：
【对点精练8】
设集合S，T，S
N*，T
N*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，y
S，若x≠y，都有xy
T②对于任意x，y
T，若x<y，则
S；下列命题正确的是
（ ）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素 B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素 D．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
【解答】首先利用排除法：
若取
，则
，此时
，包含4 个元素，排除选项 C；
若取
，则
，此时
，包含5 个元素，排除选项D；
若取
，则
，此时
，包含7 个元素，排除选项
B；
下面来说明选项A 的正确性：
设集合
，且
，
，
则
，且
，则
，同理
，
，
，
，
，
若
，则
，则
，故
即
，又
，故
，所以
，
故
，此时
，故
，矛盾，舍.
若
，则
，故
即
，
又
，故
，所以
，故
，此时
.
若
， 则
，故
，故
，
11
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即
，故
，此时
即
中有
7 个元素.故A 正确.故选：A.
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三、课堂总结：知识图谱
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四、分层训练：课堂知识巩固
1.设集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】对于集合M：
，k∈Z，对于集合N：
，k∈Z，∵2k+1 是奇数集，
k+2 是整数集∴
故选：B
2．设合集
，集合
，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．PM
C． M P
D．
【解答】
=
或
，所以M P.故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】因为
，
，所以
．故选：A.
4．（2022·全国·统考高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
，故
，故选：D
14
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5．（2022·全国·统考高考真题）集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】因为
，
，所以
．故选：A.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】[方法一]：直接法因为
，故
，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合
，可得
，不满足，排除A、D；
代入集合
，可得
，不满足，排除C.故选：B.
7．（2021·浙江·统考高考真题）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由交集的定义结合题意可得：
.故选：D.
8．（2021·全国·高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
，故
，故选：B.
9．（2021·全国·统考高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
15
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C．
D．
【解答】因为
，所以
,故选：B.
10．（2021·全国·统考高考真题）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题设有
，故选：B .
11．（2022·浙江·统考高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
，故选：D.
12．（2021·北京·统考高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题意可得：
.故选：B.
13．（2022·北京·统考高考真题）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由补集定义可知：
或
，即
，故选：D．
14．（2022·全国·统考高考真题）设全集
，集合M 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16
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【解答】由题知
,对比选项知，
正确,
错误故选:
15．（2017·北京·高考真题）已知全集
，集合
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】因为
或
，所以
，故选：C．
16．（2021·全国·统考高考真题）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题意可得：
，则
.故选：A.
17．（2019·天津·高考真题）设集合
，
，
，则
A．{2}
B．{2，3}
C．{-1，2，3}
D．{1，2，3，4}
【解答】因为
，所以
.故选D．
1．（2022•朝阳区校级三模）已知集合
，
，若
，则实数
的取
17
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值组成的集合是
A．
B．
C．
，
D．
，0，
【解答】解：集合
，
，集合
中至多有一个元素，
若集合
为空集，即
时，显然满足条件
，故
成立，
若集合
非空集，即
，此时
，
若
，则
，若
，则
，
故
的取值集合为
，
，
．
故选：
．
2．（2022•天门校级模拟）已知集合
，
，
，则下列结论正确的
是
A．
B．
，
C．
，
D．
【解答】解：
，
，
，
，
，
故
、
没有子集关系，故选项
错误；
，
，故选项
错误；
，
，故选项
正确；
，故选项
错误；
故选：
．
3．（2022•梅州模拟）已知集合
，集合
，
，
满足：①每个集合都恰有3 个元素；
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②
．集合
中元素的最大值与最小值之和称为集合
的特征数，记为
，2，
，
则
的最大值与最小值的和为
A．60
B．63
C．56
D．57
【解答】解：
集合
中最小值为1，最大值为9，
不妨记
，
，则
，
若使
取得最大值，
则使
，2，
，
剩余的数中最小值为3，最大值为8，
同理可令
，4，
，
，
则
，6，
，
，
则此时
，
同理可知，当
，8，
，
，6，
，
，4，
时，
有最小值27，
故
的最大值与最小值的和为60，
故选：
．
4．（2022•沙河口区校级一模）已知有限集
，
，定义集合
，且
，
表示集合
中的元素个数．若
，2，3，
，
，4，
，则
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：
，2，3，
，
，4，
，
19
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，
，
，
故
，2，
，
故
，
故选：
．
5．（2022•河西区模拟）设集合
，集合
，则
A．
B．
，
，
C．
D．
【解答】解：因为集合
，集合
，
，
．
故选：
．
6．（2022•定海区校级模拟）若集合
，
，则能使
成立的所有
组成的集合为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：若
，即
，解得
时，满足
．
若
，即
时，要使
成立，
则
，即解得
，此时
．
综上
．
故选：
．
7．（2022•汉中模拟）设集合
，集合
，则下列关系中正确的是
A．
B．
C．
D．
20
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【解答】解：集合
，集合
，
则
，
正确；
或
，
，
错误；
，
或
，
错误；
，
错误．
故选：
．
8．（2022•滨海县校级模拟）已知集合
，
，
，若
，则实数
满
足
A．
B．
C．
，
D．
【解答】解：由
得，
，则
或
，
（1）当
时，即有：△
，解得
，
适合条件
，实数
满足：
；
（2）当
时，且
，
，
①若
，表明
有两个相等的实根
，
则
，则
，满足△
；
②若
，表明
有两个相等的实根2，
则
，解得
，满足△
；
③若
，
，表明
有两个的实根
和2，
则
，
，则
不存在；
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综上得：所有满足条件的实数
组成的集合为
，
，
故选：
．
9．（2022•渭滨区校级模拟）设集合
，
，
，若
，则
A．
或
或2
B．
或
C．
或2
D．
或2
【解答】解：若
，则
，
，
，4，
；
若
，则
或
，
时，
，
，
，
；
时，
（舍，
故选：
．
10．（2021•菏泽二模）已知集合
，则
A．
B．
C．
，
D．
，0，
【解答】解：解
得
或
，
则
或
，
则
，
，
故选：
．
11．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知集合
，
，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：
，
，
22
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，
．
故选：
．
12．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知集合
，
，且
，则实数
的取值
范围是
A．
，
B．
，
C．
D．
【解答】解：已知集合
，
，且
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，并且
满足
，即
．所以
，
综上实数
的取值范围为：
，
，
故选：
．
1．对于任意两个正整数
，
，定义某种运算“※”如下：当
，
都为正偶数或正奇数时，
※
；当
，
中一个为正偶数，另一个为正奇数时，
※
．则在此定义下，集合
※
，
，
中的元素个数是
A．10 个
B．15 个
C．16 个
D．18 个
【解答】解：
※
，
、
，
若
和
一奇一偶，则
，满足此条件的有
，故点
有4 个；
若
和
同奇偶，则
，满足此条件的有
共6 组，故点
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有
个，所以满足条件的个数为
个．故选：
．
2．设
为全集，对集合
，
，定义运算“
”，
．对于任意集合
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
对于任意集合
，
，
，则
．故选：
．
3．集合
，2，3，4，5，
，
是
的一个子集，当
时，若
，
，则称
为
的
一个“孤立元素”，那么
中无“孤立元素”的4 元子集的个数是
6
．
【解答】解：
，2，3，4，5，
，
其中不含“孤立元”的集合4 个元素必须是：
共有
，2，5，
，
，3，5，
，
，4，5，
，
，2，3，
，
，2，4，
，
，3，4，
共
6 个
那么
中无“孤立元素”的4 个元素的子集
的个数是6 个．
故答案为6．
4．由5 个元素构成的集合
，3，
，0，
，记
的所有非空子集为
，
，
，
，每一
个
，2，
中所有元素的积为
，则
．
【解答】解：
中，含有元素0 的集合中所有元素的积等于0．
不含有元素0 的非空子集有15 个，
故答案是
5．若
是一个集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足：①
属于
，
属于
；②
中
任意多个元素的并集属于
；③
中有限个元素的交集属于
．则称
是集合
上的一个拓扑．已知集合
，
，
，对于下面给出的四个集合
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①
，
，
，
，
，
；
②
，
，
，
，
，
，
，
；
③
，
，
，
，
，
；
④
，
，
，
，
，
，
，
，
．
其中是集合
上的拓扑的集合
的序号是
②④
．
【解答】解：①
，
，
，
，
，
；
而
，
，故①不是集合
上的拓扑的集合
；
②
，
，
，
，
，
，
，
，满足：①
属于
，
属于
；②
中有限个元素的并集
属于
；③
中有限个元素的交集属于
因此②是集合
上的拓扑的集合
；
③
，
，
，
，
，
；
而
，
，
，
，
，故③不是集合
上的拓扑的集合
；
④
，
，
，
，
，
，
，
，
．
满足：①
属于
，
属于
；②
中有限个元素的并集属于
；③
中有限个元素的交集属于
因此④是集合
上的拓扑的集合
；
故答案为②④．
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