第二章函数
§2.11 函数的零点与方程的解
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
函数的零点与方程的解
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ
卷
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2024·天津卷
2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷
2022·天津卷、2022·北京卷
2021·北京卷、2021·天津卷
掌握函数零点的定
义，会用零点存在定理判
断零点所在区间，会求解
零点相关问题，也是高考
命题的高频考点。
【知识梳理】
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x),我们把使f ( x ) ＝
0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴
有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f ( a ) f ( b )<0
,
那么,函数y＝f(x)在区间( a , b ) 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f ( c ) ＝
0 ,
这个c 也就是方程f(x)＝0 的解.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f ( a ) f ( b )<0
的函数y＝f(x),通过不断地把它
的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点
近似值的方法叫做二分法.
【名师点拨】
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的
零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0 的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出
f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0 是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分
不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x 的零点为0.( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D 内有零点，则f(a)·f(b)<0.(
)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0 时没有零点.( )
2.下列函数图象与x 轴均有交点,则不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
3.函数f(x)＝ln x－1
x 的零点所在的大致区间是( )
A.(
1
e ,1)
B.(1,2)
C.(2,e)
D.(2,3)
4.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2 024 的所有零点之和为 .
【必练核心题型】
题型一 函数零点所在区间的判定
例1.已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区
间为( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
例2.在用二分法求方程x2＝3 的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的
初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是 .
【变式训练】
变式1.函数f(x)＝x
1
2－2－x－1 的零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
变式2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2 的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次
计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步
的说法正确的是( )
A.已经达到精确度的要求,可以取1.1 作为近似值
B.已经达到精确度的要求,可以取1.125 作为近似值
C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5)
题型二 函数零点个数的判定
例1.函数f(x)＝{
x
2−1, x ≤0,
x−2＋ln x , x>0的零点个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
例2.函数f(x)＝sin π x
2 －|log3x|的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式训练】
变式1.(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1 的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
变式2.函数f(x)＝❑√36−x
2·cos x 的零点个数为 .
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例1.已知函数f(x)＝{
2
−x＋1, x ≤0,
ln 1
x , x>0, g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2 个零点,则实数a
的取值范围是( )
A.[－1,0)
B.[1,＋∞)
C.(－∞,1]
D.[2,＋∞)
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例2.已知函数f(x)＝3x－1＋ax
x
.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a 的取值
范围是( )
A.(−∞, 4
3)
B.(0, 4
3)
C.(－∞,0)
D.(
4
3 ,＋∞)
【变式训练】
变式1.(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝{
e
x−a, x ≤0,
−ln( x＋1)−a, x>0在R 上没有零点,
则实数a 的取值范围为( )
A.(0,＋∞)
B.(1,＋∞)
C.[1,＋∞)∪{0}
D.(1,＋∞)∪{0}
变式2.(多选)已知函数f(x)＝{
x
2＋2 x−3, x ≤0,
−2＋ln x , x>0, 令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是
( )
A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)
B.当h(x)有3 个零点时,k∈(－4,－3]
C.当k＝－2 时,h(x)的所有零点之和为－1
D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1 个零点
