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2.9 函数的零点与方程的解
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
2.9 函数的零点与方程的解........................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：函数的零点与方程的解.............................................2
考点2：二分法...........................................................2
二、分类题型................................................................3
题型一 函数零点所在区间的判定............................................3
题型二 函数零点个数的判定................................................4
题型三 函数零点的应用....................................................5
命题点1 根据函数零点个数求参数......................................5
命题点2 根据函数零点范围求参数......................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................7
1
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一、主干知识
考点1：函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间
(a，b)内至少有一个零点，即存在c (
∈a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解．
考点2：二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为
二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2
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二、分类题型
题型一 函数零点所在区间的判定
【例题精析1】
（2023·全国·高三专题练习）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析2】
（2023 秋·天津北辰·高三校考期末）函数
的零点所在的大致区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
【对点精练1】
（2023·全国·高三专题练习）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练2】
（2023·全国·高三专题练习）函数
，则
的零点所在区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【对点精练3】
（多选）已知函数
的零点为
，
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二 函数零点个数的判定
【例题精析3】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则函数
的零
点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例题精析4】
已知函数
，则方程
的实根个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点
个数．
【对点精练4】
若函数
，则方程
的实根个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
4
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【对点精练5】
（2023·四川校联考三模）函数
的零点个数为__________.
【对点精练6】
（2023·全国·模拟预测）已知
则函数
的零
点个数是______．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
【例题精析5】
若函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析6】
已知
，则函数
存在两个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
命题点2 根据函数零点范围求参数
【例题精析7】
函数
在区间
存在零点．则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析8】
若函数
在区间
上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结
合求解．
【对点精练7】
（2023·天津河西·统考一模）已知
，且函数
恰有个不同
的零点，则实数
的取值范围是______．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
【对点精练8】
（2023·北京通州·统考模拟预测）设函数
，若函数
有且只有一个
零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数
存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________．
【对点精练9】
已知函数
，则
的最小值是__________，若关于x 的方程
有且仅有四个不同的实数解，则整数a 的取值范围是__________．
【对点精练10】
函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【对点精练11】
已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，则实数
的取值范围为
_____.
【对点精练12】
已知函数
，若存在实数
.满足
，且
，则
___________，
的取值范围是___________.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2020•天津）已知函数
若函数
恰有4 个零点，则
的取
值范围是
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【解答】解：若函数
恰有4 个零点，
则
有四个根，
即
与
有四个交点，
7
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当
时，
与
图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当
时，
与
轴交于两点
，
图象如图所示，
当
时，函数
的函数值为
，
当
时，函数
的函数值为
，
所以两图象有4 个交点，符合题意，
当
时，
与
轴交于两点
，
在
，
内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
8
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只需
与
在
，
还有两个交点，即可，
即
在
，
还有两个根，
即
在
，
还有两个根，
函数
，（当且仅当
，即
时，取等号），
所以
，且
，
所以
，
综上所述，
的取值范围为
，
，
．
故选：
．
2 ．（2019• 新课标Ⅱ）设函数
的定义域为
，满足
，且当
，
时，
．若对任意
，
，都有
，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【
解
答
】
解
：
因
为
，
，
9
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，
时，
，
，
，
时，
，
，
，
；
，
时，
，
，
，
，
当
，
时，由
解得
或
，
若对任意
，
，都有
，则
．
故选：
．
3．（2019•新课标Ⅲ）函数
在
，
的零点个数为
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：函数
在
，
的零点个数，
即方程
在区间
，
的根个数，
即
在区间
，
的根个数，
即
或
在区间
，
的根个数，
解得
或
或
．
10
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所以函数
在
，
的零点个数为3 个．
故选：
．
4．（2019•浙江）设
，
，函数
若函数
恰有3 个零
点，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：当
时，
，得
；
最多
一个零点；
当
时，
，
，
当
，即
时，
，
在
，
上递增，
最多一个零点．不
合题意；
当
，即
时，令
得
，函数递增，令
得
，
，函数递减；函
数最多有2 个零点；
根据题意函数
恰有3 个零点
函数
在
上有一个零点，在
，
上有2 个零点，
如右图：
且
，
解得
，
，
．
，
故选：
．
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5．（2018•新课标Ⅰ）已知函数
，
．若
存在2 个零点，则
的取值
范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：由
得
，
作出函数
和
的图象如图：
当直线
的截距
，即
时，两个函数的图象都有2 个交点，
即函数
存在2 个零点，
故实数
的取值范围是
，
，
故选：
．
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6．（2023•榆林二模）已知函数
，若函数
恰有5 个零点
则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
恰有5 个零点等价于关于
的方程
有5 个不同的实根，
由
，得
或
，
因为
，所以
，
由
，得
或
，由
，得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
因为
，
（1）
，当
时，
，当
时，
，
所以可画出
的大致图象：
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由图可知
有2 个不同的实根，则
有3 个不同的实根，故
，故
，
，
错误．
故选：
．
7．（2023•大通县一模）函数
的零点为
A．4
B．4 或5
C．5
D．
或5
【解答】解：由题意可得
，解得
，故
的定义域为
，
令
，得
，则
，解得
或
，
又
，
．
故选：
．
8 ．（2023• 忻州一模）定义函数
，
，
，
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，若
至少有3 个不同的解，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：令
，
，
由题意可得
有解，
所以△
，
解得
或
，
当
时，必有
，解得
；
当
时，必有
，无解，
综上所述，
，
所以
的取值范围为
，
．
故选：
．
9．（2023•周至县一模）对于函数
，若对任意的
，
，
，
，
，
为某一三角
形的三边长，则称
为“可构成三角形的函数”，已知
是可构成三角形的函数，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
C．
，
D．
【解答】解：由
，
①当
时，
，显然符合题意；
由
为偶函数，只需考虑
在
，
上的范围，
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②当
时，
在
，
单调递减，
，
，
因为要满足：对
，
，
，
恒成立，
故
，得
，得
；
③当
，
在
，
上单调递增，
，
，
所以
，即
，得
，
综上：
．
故选：
．
10．（2023•抚松县校级一模）下列命题正确的个数是
①命题“
，
”的否定形式是“
，
”；
②函数
的单调递增区间是
；
③函数
是
上的增函数，则实数
的取值范围为
；
④函数
的零点所在的区间
，且函数
只有一个零点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：对于①：命题“
，
”的否定形式是“
，
”，故①正确；
对于②：利用复合函数的单调性“同增异减”原则，可得
，
解得
，故②错误；
对于③：因为函数
在
上的增函数，
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所以
，解得
，故③错误；
对于④：函数
在
上单调递减，
（2）
，
（3）
，
所以
（2）
（3）
，
所以
的零点在区间
内，且只有一个零点，故④正确，
故选：
．
11．（2023•西固区校级二模）已知函数
恒有零点，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
C．
D．
【
解
答
】
解
：
函
数
的
定
义
域
为
，
求
导
得
：
，
令
，
，则
，即
在
上单调递增，
，
因此，当
时，
，当
时，
，则函数
在
上单调递增，在
上单调
递减，
于是得当
时，
，函数
的值域是
，
而函数
恒有零点，当且仅当
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
故选：
．
12．（2018•新课标Ⅲ）函数
在
，
的零点个数为
3
．
17
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【解答】解：
，
，
，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
，
，
，或
，或
，
故零点的个数为3，
故答案为：3
13．（2018•新课标Ⅰ）已知函数
，若
（3）
，则
．
【解答】解：函数
，若
（3）
，
可得：
，可得
．
故答案为：
．
14．（2018•上海）设
，函数
，
，若函数
与
的图象
有且仅有两个不同的公共点，则
的取值范围是
【解答】解：函数
与
的图象有且仅有两个不同的公共点，
即方程
有两不同根，
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也就是
有两不同根，
，
在
上有两不同根．
，
或
，
．
又
，且
，
，仅有两解时，应有
，
则
．
的取值范围是
．
故答案为：
．
15．（2018•浙江）已知
，函数
，当
时，不等式
的解集是
．若函数
恰有2 个零点，则
的取值范围是 ．
【解答】解：当
时函数
，显然
时，不等式
的解集：
；
时，不等式
化为：
，解得
，综上，不等式的解集为：
．
函数
恰有2 个零点，
函数
的草图如图：
函数
恰有2 个零点，则
或
．
故答案为：
；
，
．
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1．（2023•周至县一模）对于函数
，若对任意的
，
，
，
，
，
为某一三角
形的三边长，则称
为“可构成三角形的函数”，已知
是可构成三角形的函数，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
C．
，
D．
【解答】解：由
，
①当
时，
，显然符合题意；
由
为偶函数，只需考虑
在
，
上的范围，
②当
时，
在
，
单调递减，
，
，
因为要满足：对
，
，
，
恒成立，
故
，得
，得
；
③当
，
在
，
上单调递增，
，
，
20
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所以
，即
，得
，
综上：
．
故选：
．
2 ．（2023• 桃城区校级模拟）已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，且满足
，则实数
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
取得最小值
，
只有唯一一个零点
，即
，
，
，
在
，
上有零点，
（1）若△
，即
，
此时
的零点为
，
显然当
时符合题意；
（2）若△
，即
或
，
①若
在
，
上只有一个零点，则
，
解得
；
②若
在
，
上有两个零点，
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则
，
解得
；
综上，
的最小值为
．
故选：
．
3．（2023•天津模拟）已知函数
，若存在
，
，使得关于
的函数
（a）有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，
，
时，
，对称轴为
，
在
，
为增函数，此时
的值域为
（a），
，
，
时，
，对称轴为
，
在
，
为增函数，此时
的值域为
，
，
在
，
为减函数，此时
的值域为
，
；
由存在
，
，
（a）有三个不相等的零点，
则
，
，
即存在
，
，使得
，
即可，
令
（a）
，
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只要使
（a）
即可，而
（a）在
，
上是增函数，
（a）
（3）
，
故实数的取值范围为
．
故选：
．
4．（2022•昆明一模）函数
的零点个数为
A．3
B．2
C．1
D．0
【解答】解：由已知得
，
令
，由
得
，易知函数
在
上单调递增，
故原函数零点的个数即为函数
，
的零点个数，
，由
得
，且
时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
（2）
，而
，
（4）
，
所以
在
和
上各有一个零点，故
有两个零点，即原函数有两个零点．
故选：
．
5．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数
则函数
的零点个数
为
5
．
【解答】解：令
，则函数
可化为
，作出函数
（图中曲线对应的图象部分）与
的图象，
可见
与
图象有两个交点，它们的横坐标分别在区间
和
上，不妨设
，
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，
再令
，易知
，与
的图象与
的图象分别有2 个和3 个交点，
所以原函数共有5 个零点．
故答案为：5．
6．（2023•大荔县一模）已知函数
，其中
，
表示
，
中较
小的数．若
有且只有一个实根，则实数
的取值范围是
．
【解答】解：作出
的图象如图：
据图得：要使
有且只有一个实根，只需
，
故
的取值范围是
．
故答案为：
．
24
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7．（2022•徐汇区校级模拟）若函数
在区间
，
上恰有14 个零点，则符合条件
的所有
的取值范围是
，
．
【解答】解：作函数
的图象如下，
每一个周期内有2 个零点，
，
上共有12 个零点，
，
也是函数的零点，
故
的最小值为
，
小于
的最近零点是
，大于
的最近零点是
，
故
，
故符合条件的所有
的取值范围是
，
；
故答案为：
，
．
8．（2022•贵州一模）已知函数
．若
，则
；若
25
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的定义域为
，则
零点的个数为 ．
【解答】解：因为函数
，
若
，则
；
令
，得
，整理得
，
设
，若
，则
，
，
，
设
，
，
，
，
则
，
当
，
，
时，
，
在区间
上单调递增，
且
，
，
（1）
，
所以
在区间
上存在唯一零点，
又因为
在区间
上单调递增，
所以函数
在区间
，
，
上零点的个数为1．
故答案为：
；1．
1．（2019•河南模拟）已知定义在
上的函数
满足当
时，
，且
的图象关于
直线
对称．若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
，
，
D．
，
，
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【解答】解：由
，可得
，
故
在
，
上单调递增，
再由
的图象关于
对称可以知道，
在
上单调递减，
由
对于任意的
恒成立，此时
，
或
，即
或
，
，
，
或
．
故选：
．
2．（2019•天津模拟）已知
，且函数
恰有3 个不同的零点，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
【解答】解：因为当
的时候，
，
当
，
时，
，
，此时
当
，
时，
，
，此时
依此类推，
在
时为二次函数
，
在
上为周期为2 的函数，重复部分为
在区间
，
上的部分．
二次函数
顶点为
，
恰有3 个不同的零点，即
与
恰有3 个不同的交点，
需满足
与
在
时有1 个交点且
或
与
在
时有两个交点且
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或
，
综上可得
故选：
．
另解：方程
，
所以函数
恰有三个不同的零点等价于函数
与
的图象恰有三个不同的交
点．
记
，画出函数简图如下，
画出函数
如图中过原点的虚线，平移要保证图象有三个交点，向上最多平移到
位置，向下平移
一直会有三个交点，所以
，即
．
故选：
．
3．（2021•南京二模）已知函数
，
，若函数
有3 个不同的零点
，
，
，则
的取值范围是
，
，
．
【解答】解：函数
，
，若函数
有3 个不同的零点
，
，
，
令
，则由
，化简
，解得
，即
，
，
下面判断
的单调性，
，当
，
，
单调递增，
当
，
，
单调递减，
的最大值是
（e）
，图象如下：
，
有3 个不同的零点
①
有一个，
有2 个，则
或者
，
，解得
，
此时，由
，
，
，
；
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②
有二个，
有1 个，则
，
（不成立）或者
，解得
，
由
，
，
，
，
；
综上，
的取值范围是
，
，
．
故答案为：
，
，
．
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