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2.2 函数的单调性与奇偶性
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2
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考点一 无参函数求单调区间
【例1-1】（2023 云南丽江）下列函数中，定义域为
，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2023 春·江西）函数
的单调递增区间为__________.
【例1-3】（1）（2023·江西）函数
的单调增区间是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
（2）（2022·广东）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
和
C．
和
D．
和
（3）（2022 秋·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-4】（1）（2023·江西）函数
的单调减区间为______.
（2）（2024 河南）
的单调增区间为
【一隅三反】
1．（2024·北京）下列函数中，在
为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2021·4 安徽）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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3.（2024 广东茂名）已知
，则函数
的单调递增区间为 .
4．（2024 上海）函数
的单调递增区间为 ．
5（2023·云南·校联考二模）函数
的单调递增区间为____________．
6（2022·山东）函数
的单调减区间是_______．
考点二 根据单调性求参数
【例2-1】（2023·广西）已知函数
在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）
B．（-∞，1]
C．[-1，+∞）
D．（-∞，-1]
【例2-2】（2024 福建三明·期中）函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】（2023·陕西商洛·一模）已知函数
是定义在
上的增函数，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-4】（2024·陕西榆林·一模）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2022·4 浙江）设
，则“
”是“函数
在
为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数
在
上单调递减，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
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C．
D．
3（2023 秋·江西抚州）已知函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 内蒙古赤峰）已知
，且
，函数
在
上单调，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5（2023·四川南充·模拟预测）函数
在
上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为 ．
考点三 函数奇偶性的判断
【例3】（2024 安徽合肥）判断下列各函数是否具有奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
；
(5)
(6)
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【一隅三反】
（2023·广东潮州）判断下列函数的奇偶性．
(1)
； (2)
； (3)
(4)
； (5)
． (6)
；
(7)
； (8)
．
考点四 根据奇偶性求参数
【例4-1】（2024·内蒙古包头·一模）已知
是奇函数，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【例4-2】（2024·浙江·二模）若函数
为偶函数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【例4-3】（多选）（2024 北京）设函数
是定义在区间
上的奇函数
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
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1．（2024·河南郑州·模拟预测）函数
是偶函数，则a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·宁夏银川·一模）“
”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024 甘肃兰州）设函数
是定义在
上的奇函数，且
．则函数
的解析式
为 ．
4.（2024 长沙市）函数
是定义在
上的奇函数．若
，则
的值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
考点五 根据奇偶性求解析式
【例5-1】（2024 上海）已知函数
为奇函数，当
时，
，当
时，
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2024 黑龙江哈尔滨）已知
为奇函数，
为偶函数，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 上海杨浦）已知奇函数
在区间
上的解析式为
，则
在区间
上的解析式
．
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2．（2024 云南昆明·阶段练习）
为定义在
上的奇函数，当
时，
，则
时，
．
3．（2024 山东潍坊·期中）已知
，
是分别定义在
上的奇函数和偶函数，且
，
则
.
4．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
．
考点六 函数性质应用之比较大小
【例6-1】（2024·天津·一模）已知实数a，b，c 满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（2023·四川成都·二模）已知函数
，若
，
，
，
则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-3】（2024·云南贵州·二模）已知
，则
的大关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，且对
，满足
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
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2．（2024 陕西渭南·期末）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·北京·模拟预测）函数
，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·全国·模拟预测）设
是定义域为
的偶函数，且
在
上单调递减，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七 函数性质之解不等式
【例7-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（2024 江西·阶段练习）已知函数
，则满足不等式
的
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【例7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在
上的函数
，满足不等式
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·北京延庆·一模）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数
，若
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 广东茂名）已知函数
的定义域为
的奇函数，
，对任意两个不等的正实数
都有
，则不等式
的解集为 .
4（2024·辽宁·一模）已知函数
，若
成立，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·四川南充·二模）设函数
，则满足
的
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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一．单选题
1．（2023·海南海口·模拟预测）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
2．（2024·广东·一模）已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川攀枝花·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·模拟预测）“
”是“函数
在区间
上单调递增”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024 吉林·阶段练习）已知函数
(
且
)是R 上的单调函数，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广东广州·一模）已知函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
14
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C．
D．
7．（2024 重庆开州·期中）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
.若函数
在区
间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 安徽）已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024 安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·江西·一模）已知函数
，若不等式
对任意的
恒成
立，则实数a 的取值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
11．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数
的定义域为
，且
，
则（ ）
A．
B．
或
C．
是
上的增函数D．
是
上的增函数
三．填空题
12．（2024 安徽）函数
是偶函数，则
.
13．（2024·青海·一模）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
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14．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
四．解答题
15．（2024 高三·全国·专题练习）已知定义域为R 的函数f(x)＝
是奇函数．
(1)求实数a，b 的值；
(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求实数k 的取值范围
16．（2024 河南周口·期末）已知函数
是定义在
上的函数，
恒成立，且
.
(1)确定函数
的解析式，并用定义研究
在
上的单调性；
(2)解不等式
.
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17．（2024 湖北·开学考试）已知函数
为偶函数．
(1)求实数
的值；
(2)解关于
的不等式
；
(3)设
，若函数
与
图象有
个公共点，求实数
的取值范围．
18．（23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
时，
．
(1)求
时，函数
的解析式；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
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19．（2024 河北石家庄·阶段练习）已知函数
定义域为R，且对任意的x，
，都有
，且当
时，
，其中
．
(1)证明：
是奇函数；
(2)不等式
对所有的
均成立，求实数m 的范围．
18
