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第 08 讲 拓展三：三角形中面积（定值，
最值，取值范围）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
高频考点三：求三角形面积最值
高频考点四：求三角形面积取值范围
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、三角形面积的计算公式：
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式 ，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）典型例题
例题1．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，若 ．
（1）求角 ．
（2）若 ， 求△ 的面积．
例题2．（2022·广东·仲元中学高一阶段练习）如图所示，在一岸边选定两点 ， ，望对岸标记物
，测得 ， ， .
（1）求 边的长？
（2）求 的面积？
例题3．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在△ 中，角 的对边分别为
，若 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求△ 的面积.
题型归类练
1．（2022·浙江杭州·高一期中）已知在 中， ， 分别是角 所对的边.
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的面积.2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）在△ABC中， 分别为三个内角A、B、C的对边，
且
(1)求角A；
(2)若 且 求△ABC的面积．
3．（2022·湖南邵阳·高一期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
， ．
求A；
若 ，求 的面积．
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
典型例题
例题1．（2022·四川·宁南中学高二开学考试（文））已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ，
的对边， ，求
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 ，例题2．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理）） 的内角 的对边分别为 ，
已知 .
(1)求 ;
(2)若 的面积为 ，求
例题3．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，且
(1)求
(2)若 ， ，求 的值．
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知 的周长为
，且 ．
(1)求 的长；
(2)若 的面积为 ，求角 的大小．2．（2022·全国·高一单元测试）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求a的值．
3．（2022·北京·高一期末）在△ 中， ， .
(1)如果 ，求 的值；
(2)如果锐角△ 的面积为 ，求 的长度.
高频考点三：求三角形面积最值
典型例题
例题1．（2022·湖南岳阳·三模） 的内角 的对边分别为 ，若已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积的最大值．例题2．（2022·山东·烟台二中高一期中）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
且满足 ．
(1)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围；
(2)若点 在边 上，且 ， ，求 面积的最大值．
例题3．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在① ；
② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问
题，问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且___________.
(1)求角 的大小；
(2)点 在 的延长线上，且 为 的中点，线段 的长度为2，求 的面积的最大值.
题型归类练
1．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
， ．
(1)求△ABC外接圆半径；
(2)求△ABC的面积的最大值．2．（2022·浙江·高一期中）已知复数 ， （ 是虚数单位）， .记 所对
应的向量 ， 所对应的向量为 ，函数 .
(1)求函数 的最大值；
(2)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 的最大值为 ，且 ，求
面积的最大值.
3．（2022·甘肃白银·高二期末（理））已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
高频考点四：求三角形面积取值范围
典型例题
例题1．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测（理））在锐角三角形 中，内角 ， ， 的
对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的取值范围.例题2．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，以 ， ， ，为边长的三个正方形的面积依次为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
例题3．（2022·福建省福州第二中学高二期末）在 中， .
(1)求角 ；
(2)设锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，求 面积的取值范围.
题型归类练
1．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ．
(1)求角B；
(2)求 面积的取值范围．
2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知 是锐角三角形，内角 所对的边分别为 ，
面积为 ，
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的取值范围．3．（2022·四川宜宾·高一期末）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
．
(1)证明：C＝2A；
(2)若b＝2，求△ABC面积S的取值范围．
