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第 01 讲 等差数列
目录
题型一：等差数列及其通项公式........................................1
题型二：等差中项....................................................3
题型三：等差数列下标和性质..........................................6
题型四：等差数列的函数特征..........................................7
角度1：等差数列的单调性..........................................7
角度2：等差数列中的最大（小）项..................................8
题型五：等差数列的前 项和..........................................13
题型六：等差数列的前 项和性质......................................16
角度1：等差数列片段和性质.......................................16
角度2：两个等差数列前 项和比的问题.............................17
题型七：等差数列的前 项和的函数特性................................22
角度1：二次函数法求等差数列前 项和的最值.......................22
角度2：求等差数列前 项和的最值.................................23
角度3：根据等差数列前 项和最值求参数...........................25
题型一：等差数列及其通项公式
典型例题
例题1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ， ， ，则满足
的正整数 的最大值为（ ）
A．16 B．15 C．12 D．8
【答案】B【详解】设等差数列 公差为d，则 ，解得 ，
所以 ， ．
由 ，得 ，
即 ，解得1<n<16，
所以正整数n的最大值为15．
故选：B．
例题2．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）设等差数列 的前 项和为 .若 ，
，则 __________； __________.
【答案】
【详解】设公差为 ，由 ， ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
故答案为： ；
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 各项均为正数且满足 ，数
列 满足 ，且 ．求 的通项公式.
【答案】 ，
【详解】由 可得 ，
，
因为 ，左右两边同除以 ，得 ，
所以数列 是公差为1的等差数列，
， ，
.
精练核心考点
1．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
， ，则符合题意的等差数列 的一个通项公式为 ________．
【答案】 （答案不唯一）【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
设数列 的公差为 ，则 ，
取 ，又 ，可得 ，
故数列 的一个通项公式为 ，
故答案为： （答案不唯一）.
2．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）数列 满足 为数列 的前 项和，则
_________．
【答案】
【详解】由 可得 ，故 是公差为2的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
3．（2023·全国·高二专题练习）在数列 中 4， ，．求证：数列{ }是等
差数列；
【答案】证明见解析
【详解】 的两边同时除以 ，得 2，
∴数列{ }是首项为4，公差为2的等差数列
题型二：等差中项
典型例题
例题1．（2023·全国·高三对口高考）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，其公比 ，
且 ，若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 或【答案】B
【详解】由等差数列和等比数列的性质可得 ， ，
由基本不等式可得 ，
又公比 ，故 ，上式取不到等号，
，即 .
故选：B
例题2．（2023春·北京·高二北京八中校考期中）在等差数列 中， ，则 的值
为（ ）
A．50 B．100 C．150 D．200
【答案】D
【详解】因为数列 为等差数列，所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：D.
例题3．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列 中，若 ，则
__________.
【答案】24
【详解】因为在等差数列 中，有 ，所以由 ，
得 ， ，又 ，所以 .
故答案为：24
精练核心考点
1．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知 是公差不为0的等差数列， 是其前n项和，若
，则下列关系中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设 ，故 ，
所以 ，若 的公差为 ，则 ，可得 ，
所以 ，故 ，A正确，B错误；
而 大小，与公差 的正负有关，大小不确定且 ，C、D错误.
故选：A2．（2023·全国·高二专题练习）已知 ， ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【详解】解：因为 ， ，且 ， ， 成等差数列，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号；
故选：D
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）在等差数列 中， 为 的前n项和， ，
，则无法判断正负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设公差为 ，因为 ， ，可知： ，且 ， ，所以 ，从而
， 不确定正负， ，
故选：B
4．（2023·广西·统考一模）已知 ， ，若 ，2， 依次成等差数列，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】解：因为 ， ，且 ，2， 依次成等差数列，
所以 ，
所以
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值为 ，故答案为：
题型三：等差数列下标和性质
典型例题
例题1．（2023·全国·校联考二模）等差数列 中， .则前13项和
（ ）
A．133 B．130 C．125 D．120
【答案】B
【详解】因为 ，又 ，
所以 ，所以 .
故选：B
例题2．（2023·全国·高三对口高考）在等差数列 中， 是其前 项和，若 ，则
等于（ ）
A．195 B．200 C．205 D．210
【答案】A
【详解】在等差数列 中，因为 ，所以 ，即
所以 .
故选：A.
例题3．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）等差数列 中， ，则 的前9项
和为（ ）
A． B． C．90 D．180
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
精练核心考点
1．（2023春·高二课时练习）设 ， 都是等差数列，且 则 =（ ）
A．0 B．37 C．100 D．－37
【答案】C
【详解】设 ，由于 ， 都是等差数列，则 也是等差数列，
且 ， ，
∴ 的公差 . ∴ ，即 .
故选：C
2．（2023春·高二课时练习）如果等差数列 中， ，那么 （ ）
A．14 B．12 C．28 D．36
【答案】C
【详解】∵ ，∴ ，则 ，又 ，
故 .
故选:C.
3．（2023春·高二课时练习）已知数列 是等差数列，若 ，则 等于（ ）
A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)
【答案】B
【详解】因为 ，所以 .
故选：B
题型四：等差数列的函数特征
角度1：等差数列的单调性
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）已知等差数列 单调递增且满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 为等差数列，设公差为 ，
因为数列 单调递增，所以 ，
所以 ，则 ，解得： ，
故选：C
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为单增数列 B．数列 为单减数列
C．对任意正整数 ，都有 D．对任意正整数 ，都有
【答案】BD
【详解】在等差数列 中，因为 ， ，
可得 ， ，
即 且 ，即 且 ，
所以 ， ，且 ，此时数列为递减数列，
可得对任意正整数n，都有 .
故选：BD.
例题3．（2023春·山东德州·高二统考期中）写出一个同时具有下列性质①②的数列 的通项公式：
___________．
① ；② 单调递增．
【答案】 （符合此种形式即可）
【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为 ，由性质①可得：
，
即 ，
再根据②可知，公差 ，显然 （ ）满足题意.
故答案为： （符合此种形式即可）
角度2：等差数列中的最大（小）项
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）已知无穷等差数列 的前 项和为 ，
， ，则（ ）
A．数列 单调递减 B．数列 没有最小项C．数列 单调递减 D．数列 有最大项
【答案】ABD
【详解】解：数列 的前 项和为 ， ，由于 ，故数列 为单调递减数列，
且数列 为无穷等差数列，故数列 没有最小项，故A正确、B正确；
又 ， ，二次函数开口向下，对称轴为 ，
故数列 有最大项，没有最小项，故D正确，
因为 ，无法判断 与 的大小，即 的取值，故无法判断数列 的增减性，故C
错误．
故选：ABD．
例题2．（多选）（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）等差数列 中， 为
其前 项和， ， ，则以下正确的是
A． B．
C． 的最大值为 D．使得 的最大整数
【答案】BCD
【详解】解： ， ，
，
， ，
数列 的公差 ，故A错误；
， ，故B正确；
，当 时， 取得最大值；
，故D正确；
故选：BCD．
例题3．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）已知正项等比数列 满足条件 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 的最大值．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 的公比为q，
由题意得 ，所以 ，
，
所以 ， ．
所以 ．
（2） ．
二次函数 的图象的对称轴为 ，
故当 或11时， 取得最大值，且最大值为 ．
题型四精练核心考点
1．（2023·北京海淀·校考三模）已知等差数列 的公差为 ，数列 满足 ，则“
”是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为 ，所以 且 ，则 ，
若 ，不妨令 ，则 ， ， ， ， ， ，
显然 不单调，故充分性不成立，
若 为递减数列，则 不是常数数列，所以 单调，
若 单调递减，又 在 ， 上单调递减，则 为递增数列，矛盾；
所以 单调递增，则 ，且 ，其中当 ， 时也不能满足 为递减数列，故必要性成
立，
故“ ”是“ 为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B2．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知无穷等差数列 的前n项和为 ，
公差为 ，若 ，则不正确的（ ）
A．数列 单调递减 B．数列 没有最小值
C．数列{ }单调递减 D．数列{ }有最大值
【答案】C
【详解】由于公差 ，所以 单调递减，故A正确，由于 为无穷的递减等差数列，所以B正确，
由 ，故 为开口向下关于 的二次函数，且对称轴为
，由于对称轴 与1的关系不明确，所以无法确定单调性，但是由于开口向下，故
有最大值，故C错误，D正确，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 为等差数列，前 项和为 ，则“ ”是“数
列 为单增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若 ，故 ，即 ，
故 为单调递增数列，设公差为 ，
此时 ， ，
令 ，对称轴为 ，当 时，此时对称轴 ，
此时 先增后减，
所以数列 不是单调数列，
充分性不成立，
若数列 为单增数列，设等差数列 公差为 ，
若 ，不妨设 ，此时 ，满足数列 为单增数列，
此时 ， ，故必要性不成立，故“ ”是“数列 为单增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．（多选）（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知等差数列 ，前 项和为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为 D．
【答案】ACD
【详解】对于A, 数列 为等差数列， ，
数列 为递减的等差数列，
故A正确，
对于B, 数列 为递减的等差数列，
的最大值为 ，
故B错，
对于C,
由 得
的最小值为 ,即 ，
故C正确，
对于D,
故D正确.
故选：ACD
5．（多选）（2023春·高二课时练习）等差数列 中， ，则下列命题中为真命题的是
（ ）
A．公差 B．
C． 是各项中最大的项 D． 是 中最大的值
【答案】ABD【详解】由 得： ，
所以 ，且各项中最大的项为 ，故A正确，C错误；
，所以 ，故B正确；
因为 ，等差数列 递减，所以 最大，故D正确；
故选：ABD
6．（多选）（2023春·江西上饶·高二校考阶段练习）记等差数列 的前 项和为 .若 ，
，则（ ）
A． B． C． 的最大值为30 D． 的最大值为15
【答案】ACD
【详解】设等差数列的公差为 ，
则由题可得 ，解得 ，
， ，
，故A正确； ，故B错误；
当 或4时， 取得最大值为30，故C正确；
由于 ，所以 的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD.
7．（多选）（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若
，则下列选项正确的是（ ）
A． B． 时， 的最小值为
C． 有最大值 D． 时， 的最大值为
【答案】ACD
【详解】对于 ：由 可得 ，故等差数列 的公差
，故A正确；
对于B：由 得，数列为单调递减数列，且 ，故 时， 的最小值为 ，故B错误；
对C：由 得， ，故 是关于 的开口向下的二次函数，其有最大值，没有最小
值，故C正确；
对于D：因为数列 的前 项均为正数，且， ，
时， 的最大值为 ，故D正确；
故选：ACD．
题型五：等差数列的前 项和
典型例题
例题1．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定
理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如
下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问
题：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则
的最小值为（ ）
A．20 B．25 C． D．40
【答案】B
【详解】被 除余 的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 ，公差为 的等差数列
，则
∴
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故选：B.
例题2．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）已知 是等差数列{ }的前 项和，若仅当
时 取到最小值，且 ，则满足 的 的最小值为__________.
【答案】11
【详解】因为 ，当 时 取到最小值，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
，则 ，因为 ，所以 ，解之得： ,因为 ，所以n的最小值为11.
故答案为：11.
例题3．（2023·湖北武汉·统考三模）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 恒成立，求正整数 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意，各项均不为零的数列 的前 项和为 ，满足 且 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，两式相减得 ，
因为数列 中各项均不为零，即 .
所以数列 中奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列；
偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
综上，数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，可得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，即不等式恒成立；
当 时， .
故正整数 的最大值为 .
精练核心考点
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，前 项和为 ，且对
任意 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】设 的公差为 ，由题设条件可知 ，且 则 ，
因此 ， ，
而 符号不确定．
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
______．
【答案】
【详解】由 ①， ②，
② ①得 ，
得 ，
又 ，
则 ，
故 ．
故答案为：
3．（2023春·高二课时练习）设等差数列{an}的前n项和为 ，且 ，则
________.
【答案】4
【详解】由题意得： ， ，
则等差数列的公差 ，
则 ， ，
解得： 或 （舍去），
故答案为：4.题型六：等差数列的前 项和性质
角度1：等差数列片段和性质
典型例题
例题1．（2023春·河北·高二校联考阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，若 ，
，则 （ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】A
【详解】由等差数列的性质得：
， ， 成等差数列，
所以 ，
解得 .
故选：A
例题2．（2023·全国·高二专题练习）在等差数列 中，其前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由等差数列前 项和的性质可得， 成等差数列，设 ，则
，即 成等差数列，故 ，解得 ，故
即 ，故 ， ，故
故选：D
例题3．（2023春·高二课时练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
______．
【答案】32
【详解】由等差数列 前n项和的性质，
可得 ， ， ， 成等差数列，
∴ ，解得 ，
∴ 2，6，10， 成等差数列，
可得 ，
解得 .故答案为：32.
角度2：两个等差数列前 项和比的问题
典型例题
例题1．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列 ， 的前 项和分别
为 和 ，已知 ，则 ______．
【答案】
【详解】由题意可知， ，
所以 .
故答案为: .
例题2．（2023春·辽宁沈阳·高二辽宁省康平县高级中学校联考阶段练习）设等差数列 ， 的前
项和分别为 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又 ，
则可设 ， ，则 ，
所以 .
故选：D
例题3．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知两个等差数列 和 的
前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为正偶数时， 的值是
A．1 B．2 C．5 D．3或11
【答案】D
【详解】试题分析：在等差数列中，若 ，则 .因为两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，所以
，为使 为正偶数，则须 为 或 ，所以 或 ，选D.
题型六精练核心考点
1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．9 B． C．12 D．
【答案】A
【详解】由已知 ， ， ，即3， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
故选：A．
2．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）已知等差数列 ，若 ， ，则
（ ）
A．30 B．36 C．24 D．48
【答案】A
【详解】已知等差数列 ， ①， ②，
设数列 的公差为d，
②－①得 ，
则 ．
故选：A.
3．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且
，则 =（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】由 可得 ，
故数列 为等差数列，
又 ，故 也成等差数列，
即 ，
故选：D4．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）设等差数列 ， 的前n项和分别是 ， ，若
，则 （ ）
A． B．
C． D．3
【答案】B
【详解】由等差数列的前 项和公式满足 形式，设 ，则
，故 .
故选：B.
5．（多选）（2023春·高二课时练习）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且
，则使得 为整数的正整数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意可得 ，则
，
由于 为整数，则 为 的正约数，则 的可能取值有 、 、 ，
因此，正整数 的可能取值有 、 、 .
故选：ACD.
6．（2023春·高二课时练习）已知 ， 分别是等差数列 ， 的前n项和，且
，则 ______．
【答案】 /
【详解】 为等差数列，故 ，故 .
故答案为：
7．（2023春·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）设数列 ， 均为等差数列，它们的前 项和
分别为 ， ，若 ，则 __．
【答案】
【详解】因为数列 ， 均为等差数列，
所以 ，
则 ，
故答案为： .
8．（2023春·高二课时练习）已知两个等差数列 和 的前n项和分别为 ， ，且 ，则
_________.
【答案】
【详解】解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
故
又已知
不妨令 且解得 且
故
故答案为： .
9．（2023春·高二课时练习）已知数列 与 均为等差数列，其前 项和分别为 与 ，若
，则 ________； ________．
【答案】
【详解】 ．
∵数列 、 均为等差数列，其前 项和分别为 、 ，
∴可设 ， ，
则 .
故答案为： ； ．
题型七：等差数列的前 项和的函数特性
角度1：二次函数法求等差数列前 项和的最值
典型例题
例题1．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{ }的前 项和为 ，满足
，且 ，则当 取得最小值时， 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】设等差数列{ }的公差为 ，因为 ，即 ，所以
，
因为 ，解得 ，所以 ，则 ，这是关于 的二次函数，开口向上，在 处取得最小值，由于 ，最靠近 的正整数为 ，所以
当 时， 取得最小值.
故选：D．
例题2．（多选）（2023春·辽宁沈阳·高二辽宁省康平县高级中学校联考阶段练习）数列 是递增的
等差数列，前 项和为 ，满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当 时， 最小 D． 时， 的最小值为7
【答案】ABD
【详解】由 是递增的等差数列，得 ，选项A正确；
由 ，得 ，则 ，
所以 ，选项B正确；
由 ，得当 时， 有最小值，且最小值为 ，C选项错误；
又 ，解得 ，
所以 时，n的最小值为7，选项D正确；
故选：ABD.
例题3．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
设等差数列 的前 项和为 ， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：选①，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式为 .
选②，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由题意得 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式为 .
选③，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由 ， ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值为 ．
角度2：求等差数列前 项和的最值
典型例题
例题1．（2023春·高二课时练习）已知数列 中， 若其前 项和为 则 的
，
最大值为（ ）
A．15 B．750 C． D．
【答案】C
【详解】由 ，可得 ，
所以数列 是以首项为25，公差 的等差数列，且 为单调递减数列，
其通项公式为 ．
当 且 时，S最大，
解得 且 ，则 ，
即数列{a}的前15项均为非负值，第16项开始为负值，
故S 最大， .
15
故选：C．
例题2．（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）等差数列 中， ，公差 ，则使前 项和
取得最大值的正整数 的值是______，使前 项和 的正整数 的最大值是______.【答案】 6或7 12
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以，当 时，有 ；当 时， ，
所以，使前 项和 取得最大值的正整数 的值是6或7.
又 ，且 ，
所以 ，所以使前 项和 的正整数 的最大值是12.
故答案为：6或7；12.
例题3．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的最大值及取得最大值时 的值.
【答案】(1)
(2)当 或 ， 取最大值，最大值为30
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ；
（2）方法一：因为 ， ，
所以当 或 时 取得最大值，最大值为30.
方法二：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 或 时 取得最大值，
又所以 最大值为30.
角度3：根据等差数列前 项和最值求参数
典型例题
例题1．（2023春·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）等差数列 的公差不为0，其
前 和 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】等差数列 的公差 不为0，其前n和 满足 ，因此 是 的最大值，显然
，
从而 ，即 ， ， ，
．
故选：C．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，对任意 ，有
．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若当且仅当 时， 取得最大值，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ①，则 ②
①－②可得
，
故 为等差数列．
（2）若当且仅当 时， 取得最大值，则有 ,得 则 ， ，
故 的取值范围为 ．
例题3．（2023春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知等差数列 的前 项和为 ，
，则 的取值范围为___________.
【答案】
【详解】设等差数列 的公差为 ，所以 ，由于 ，
所以 ，
且 ，即 ，
则 ，由 得 ，故 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
题型七精练核心考点
1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列 满足： 对
恒成立，且 ，其前n项和 有最大值，则使得 的最大的n的值是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．17
【答案】C
【详解】由数列 满足 对 恒成立可知，数列 为等差数列；
设数列 的首项为 ，公差为 ，则 ，
若前n项和 有最大值，则可知 ，因此 ，
又 ，所以 ，可得 ，
所以 ，即；
所以，使得 的最大的n的值是 .
故选：C
2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 取得最
，
小值时n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】由等差数列 的通项公式 ，得
，又 ，
所以
则等差数列 中满足 ， ，且 ，
数列 为递增数列，且当 时， ，当 时， ，
所以当 取得最小值时，n的值为 .
故选：B.
3．（多选）（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知等差数列 的前n项和为 ，当且仅当 时，
取得最大值，则满足 的最大的正整数k一定不等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】AD
【详解】因为当且仅当 时， 取得最大值，所以 ，公差 ，且 ， ．
所以 ，所以 ，
则满足 的最大的正整数k一定不等于12.
， ，
故 时， ．
当 时， ，则满足 的最大的正整数 为 ；
当 时， ，则满足 的最大的正整数 为 ，
故满足 的最大的正整数 可能为 与 ，一定不等于12与15.
故选：AD．4．（2023春·高二课时练习）在数列 中，若 ，前 项和 ，则 的最大值为
______．
【答案】66
【详解】 =21，解得 ，故 ，属于二次函数，
对称轴为 ，故当 或 时取得最大值，
， ， ，
故 的最大值为66.
故答案为：66.
5．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）等差数列 的前 项和为 ，若
，则当 取到最大值时 __________.
【答案】
【详解】由 ，解得 .
即 .
因为函数 的对称轴为 .
故当 时， 取到最大值.
故答案为：
6．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知等差数列 的公差为d，首项 ，当且
仅当 时，其前n项和 取得最大值，则d的取值范围是______．
【答案】
【详解】等差数列 的首项 ，当且仅当 时，其前n项和 取得最大值，
则 ，即 ，解得 ．
故答案为：
7．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列 的前n项和为 ，并且
，若 对 恒成立，则正整数 的值为______.【答案】
【详解】由题意可知， 所以 ，
同理得 ，所以 .
结合 ，可得 .
当 时， 取得最大值为 ，
要使 对 恒成立，只需要 ， 即可，
所以 , ，即 .
所以正整数 的值为 .
故答案为： .
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ．记数列 的前
项和为 ，求当 取最大值时 的值．
【答案】 或
【详解】解：设 ，则 ，可得 ， ，
， ， ，
由 可得 ，
对任意的 ， ，
，
①当 为偶数时，设 ，
则
，
此时，当 时，即当 时， 取得最大值 ；
②当 且 为奇数时，设 ，
则
，
故当 或 时，即当 或 时，
取得最大值，且最大值为 .
又因为 ，故当 或 时， 取得最大值.9．（2023春·广西钦州·高二钦州一中校考期中）已知等差数列 中，
(1)求 的通项公式；
(2)求数列的 前n项和 ，并求 的最小值
【答案】(1)
(2) ，
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ；
（2） ，
数列 首项为负的，公差大于零，是递增数列，
令 即 ，解得 ，因为 ，所以 ，
令 即 ，解得 ，
令 即 ，解得 ，
所以第1项是负数，第2项是0，从第3项起变成正数，
所以当 或2时， 取得最小值，
