文档文本内容
第 05 讲 复数
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：复数的概念...........................................3
高频考点二：复数的几何意义.......................................4
高频考点三：复数分类.............................................5
高频考点四：复数模...............................................6
高频考点五：待定系数求复数 ................................7
高频考点六：复数的四则运算.......................................7
高频考点七：共轭复数.............................................8
第四部分：新定义题（解答题）........................................9
第一部分：基础知识
1、复数的概念
我们把形如 的数叫做复数,其中 叫做虚数单位,满足 .全体复数所构成的集合
叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母 表示,即 ,其中的 与 分别叫做复数 的实部与虚
部.
2、复数相等
在复数集 中任取两个数 ， ，（ ），我们规定
.3、复数的分类
对于复数 ( ),当且仅当 时,它是实数；当且仅当 时,它是
实数 0；当 时,它叫做虚数；当 且 时,它叫做纯虚数.这样,复数
( )可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数 复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量 的模叫做复数 )的模，记为 或
公式： ，其中
复数模的几何意义：复数 在复平面上对应的点 到原点的距离；
特别的， 时，复数 是一个实数，它的模就等于 ( 的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两
个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数 的共轭复数用 表示，即如果 ，则 .
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设 ， ，（ ）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：
的复数 叫做复数 减去复数 的差，记作注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·（乙卷文）） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
3．（2023·全国·（甲卷文）） （ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2023·全国·（新高考Ⅱ卷））在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2024下·上海·高三开学考试）下列命题不正确的为（ ）A．若复数 ， 的模相等，则 ， 是共轭复数
B． ， 都是复数，若 是虚数，则 不是 的共轭复数
C．复数是实数的充要条件是
D． ， ，则 对应的点 的轨迹为线段
例题2．（多选）（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．复数 在复平面内对应的点位于第二象限
C． 的共轭复数 D．
练透核心考点
1．（2024上·广东深圳·高三统考期末）复数 的实部与虚部之和是（ ）
A．7 B．13 C．21 D．27
2．（2024下·高一单元测试）已知复数
①在复平面内 对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为 ；
③复数的共轭复数为 ；
④ ；
⑤复数 是方程 在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例题1．（2024下·全国·高一专题练习）“ ”是“复数 在复平面内对应的点
位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）在复平面内，复数 ， 对应的点分别是
，则 的模是（ ）A．5 B． C．2 D．
例题3．（多选）（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）已知复数 ， 在复平面上对应的点分别为
A，B，且O为复平面原点若． （i为虚数单位），向量 绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸
长为原来的2倍后与向量 重合，则（ ）
A． 的虚部为 B．点B在第二象限
C． D．
练透核心考点
1．（2024上·广东佛山·高三石门中学校考期末）复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（多选）（2024下·高一单元测试）关于复数，下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 或
B．复数 与 分别对应向量 与 ，则向量 对应的复数为
C．若z是复数，则
D．若复数z满足 ，则复数z对应的点所构成的图形面积为
3．（2024·全国·高一假期作业）复平面上两个点 分别对应两个复数 ，它们满足下列两个条件：
① ；②两点 连线的中点对应的复数为 ，若 为坐标原点，则 的面积为
高频考点三：复数分类
典型例题
例题1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）若复数 为纯虚数，则
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
例题2．（2024下·全国·高一专题练习）复数 ，求实数m的取值范围使得：
(1)z为纯虚数；
(2)z在复平面上对应的点在第四象限．
例题3．（2023下·河北唐山·高一校联考期中）已知 ， ，复数 ，且 ，复数
在复平面上对应的点在函数 的图像上.
(1)求复数 ；
(2)若 为纯虚数，求实数 的值.
练透核心考点
1．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知 是纯虚数
（其中 ， 是虚数单位），则 ；
2．（2024·全国·高一假期作业）已知复数 满足 .
（1）若 是实数，求复数 ；
（2）求 的取值范围.
3．（2024下·全国·高一专题练习）已知 ，复数 ，当m为何值时，
（1）z为实数？（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
（4）z在复平面内对应的点在第四象限？
高频考点四：复数模
典型例题
例题1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知复数 ， 满足 ， ，则 的
最大值为 .
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 的最大值是
．
例题3．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 的
最大值为 .
练透核心考点
1．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知 是纯虚数
（其中 ， 是虚数单位），则 ；
2．（2024·全国·高一假期作业）若 ，且满足 ，则 的最大值为 .
3．（2024·全国·高一假期作业）设复数 、 ，满足 ， ，则 ．
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）设复数 、 ，满足 ， ，则 ．例题2．（2024·全国·高三专题练习）满足 ， 的一个复数 ．
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）若复数 和复数 满足 ， ， ，则 .
2．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 的最大值
为 .
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例题1．（2024·湖南邵阳·统考一模）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024上·贵州遵义·高二统考期末）若 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
例题3．（2024·全国·高一假期作业）设复数 、 ，满足 ， ，则 ．
练透核心考点
1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A．8 B．6 C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）复数 的虚部为 .
高频考点七：共轭复数
典型例题例题1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则
（ ）
A．8 B．6 C． D．
例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）在复平面内，复数 ， 对应的点分别是
，则 的模是（ ）
A．5 B． C．2 D．
例题3．（2024上·天津·高三校联考期末）设 ，则 的共轭复数为 ．
练透核心考点
1．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知复数 ， 为z的共轭复数，则 在复平面表示的点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·全国·模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，复数 对应的点为 ，则 .
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024下·浙江丽水·高三校考开学考试）数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计
算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合 中的元素
称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为 的实部， 称为 的虚部．两个
四元数之间的加法定义为
．
两个四元数的乘法定义为： ,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数 ，若存在四元数 使得 ，称 是 的逆，记为
．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设 ,四元数 ．记 表示 的共轭四元数．
（i）计算 ；
（ii）若 ，求 ；
（iii）若 ，证明： ；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量 与纯四元数 看作同一个数学对象．设
．
（i）证明： ;
（ii）若 是平面X内的两个不共线向量，证明： 是X的一个法向量．
