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第 09 讲 第八章 平面解析几何（基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·湖南·邵东市第四中学高二期中）直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．120° D．150°
【答案】A
【详解】∵
∴
∴
又∵
∴
故选：A.
2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）若方程 表示圆，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】若方程 表示圆，则 ，
解得： 或 .
故选：C
3．（2022·福建福州·高二期中）已知圆 ，圆 ，动圆M与圆 外切，
同时与圆 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图，由题意得： ， ，其中 ，
所以 ，由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以 为焦点的椭圆，设 ，
则 ，解得： ，
故动圆圆心M的轨迹方程为 .
故选：D
4．（2022·福建南平·高二期中）抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】抛物线方程为： ，故焦点坐标为： ，
故选：C.
5．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））已知椭圆 与圆 有四个交
点，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】椭圆 与圆 有四个交点，
则椭圆 的焦点必在 轴上，且必有则椭圆C的离心率 ，又 ，
离心率的取值范围是
故选：C
6．（2022·天津益中学校高二阶段练习）已知直线 分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆
上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意， ， ，则 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
圆 上的点P到直线 的最小距离为 ，最大距离为
面积的最小值为 ，最大值为
面积的取值范围是
故选：B
7．（2022·河南洛阳·高二期中（理））已知 ，当 变化时，直线 过定点
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得： ，
由 得： ， 直线 恒过定点 .
故选：A.8．（2022·吉林吉林·高二期中）已知双曲线 的下焦点为 ， ， 是双曲线 上支上的
动点，则 的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】D
【详解】由题意得双曲线焦点在 轴上， ， ， ，
所以下焦点 ，设上焦点为 ，则 ，
根据双曲线定义： ， 在上支，
， ,
在 中两边之差小于第三边， ，
,
.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·吉林吉林·高二期中）已知两条不重合的直线 ， ，下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【详解】对A，若 ，则 ，故A正确；
对B，若 ，又两直线不重合，则 ，故B正确；
对C，若 ，则 与 不垂直，故C错误；对D，若 ，则 ，故D正确.
故选：ABD.
10．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）若方程 所表示的曲线为 ，则下面四
个命题中正确的是（ ）
A．若 为椭圆，则 B．若 为双曲线，则 或
C．曲线 可能是圆 D．若 为双曲线，则焦距为定值
【答案】BC
【详解】若 为椭圆,则 且 ，故 且 ，所以选项A错误；
若 为双曲线,则 ，故 或 ，所以选项B正确；
若 为圆,则 ，故 ，所以选项C正确；
若 为双曲线，则 或 ，当 时，双曲线化为标准形式为 ，此时
，所以 不是定值，则焦距也不为定值，同理 焦距也不为定值，故选项
D错误.
故选:BC.
11．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列圆中与圆 相切的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】解：圆 ，化为 ，
则圆 的圆心 ，半径 ，
对于A，圆心为 ，半径为 ，
圆心距为 ，
因为 ，所以两圆相交，故A不符题意；
对于B，圆心为 ，半径为 ，
圆心距为 ，
所以两圆外切，故B符合题意；
对于C，圆心为 ，半径为 ，
圆心距为 ，所有两圆内切，故C符合题意；
对于D，圆心为 ，半径为 ，
圆心距为 ，
所以两圆外离，故D不符题意.
故选：BC.
12．（2022·山东省青岛第五十八中学高二期中）已知双曲线C： 的左焦点为F．过点F
的直线交C的左支于M、N两点，直线l： 为C的一条渐近线，则下列说法正确的有（ ）
A． B．直线l上存在点Q，使得
C． 的最小值为1 D．点M到直线 ： 距离的最小值为2022
【答案】ABC
【详解】对于A选项，直线l： 为 的一条渐近线，故 ，故 ，故A正确；
对于B选项，由A可知， ，则 ，所以 ，点 到直线 的距离
，所以直线 上存在点Q，使得 ，故B正确；
对于C选项当过点 的直线斜率不存在时，方程为 ， 或 ，此时，
，
当过点 的直线斜率存在时，设方程为 ，
故联立方程 得 ，
设 ，因为过点 的直线交 的左支于 两点，
所以 ，解得 或 ，
所以，
因为 或 ，所以， ， ， ，即 ，
因为过点 的直线斜率不存在时， ，
综上， 的最小值为1，故C正确；
对于D选项，直线 和 的渐近线平行，且 与 的左支不相交，故 上的点 到直线 的距离没有最小
值，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3
分.）
13．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知直线 ，直线 过点 ，若 ，
则直线 的方程是_________．
【答案】 .
【详解】设 的斜率分别为 ，则 .
又 ，则 .
所以，直线 的点斜式方程为 ，整理可得， .
故答案为： .
14．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高二期中）已知焦点在x轴上的椭圆 的离心率为 ，则k
的值为___________.
【答案】
【详解】依题意， ，解得 ，又椭圆离心率为 ，则有 ，解得 ，
所以k的值为 .
故答案为：
15．（2022·江西·南昌二中高三阶段练习（理））已知圆 上存在两点关于直线
对称，则 的最小值是_______________．
【答案】2
【详解】圆 上存在两点关于直线 对称，所以直线过圆心，有，即 .
，当且仅当 ，即 时等号成立.
∴ ，即 ，所以 时， 的最小值
为2.
故答案为：2
16．（2022·河南·高二期中）已知F为椭圆 的左焦点，直线 与椭圆C交于A，
B两点，M为椭圆上的任一点，则 ______；若 轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点
为P， 的余弦值为______．
【答案】 ## 0
【详解】设 ， ，则 ，
，因为点M，A在椭圆上，
， ，两式相减得， ，故 ．
由题意得， ，因为 ， ，
而 ，
因为 为椭圆上一点，所以 ，
则 ，得 ，故 ，则 ，
，故余弦值为0．故答案为： ，0
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·全国·高三专题练习）a为何值时，
(1)直线 与直线 平行？
(2)直线 与直线 垂直？
【答案】(1)当 或0时，两直线平行
(2)当a＝0时，两直线垂直
【详解】（1）要使两直线平行，则需 ，且 ，
解得： 或0.
所以当 或0时，两直线平行；
（2）法一：①当a＝0时,直线 的斜率不存在，直线 ，直线 ，此时满足 ；
②当 ，直线 与直线 ，
要使两直线垂直，必有 ，方程无根，
综上①②可得：当a＝0时,两直线垂直.
法二：要使直线 和直线 垂直，
只需 ，
解得：a＝0，
所以当a＝0时，两直线垂直.
18．（2022·浙江温州·高二期中）在平面内， ， ，C为动点，若 ，
(1)求点C的轨迹方程；
(2)已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ， ， ，
，
得 .（2） ，点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直
时，截得弦长CD最短，即， .
故最短弦长为 .
19．（2022·山东青岛·高二期中）已知椭圆C： ， ， 分别为其左､右焦点，短轴长
为2，离心率 ，过 作倾斜角为60°的直线 l ，直线 l 与椭圆交于A，B两点.
(1)求线段AB的长；
(2)求 的周长和面积.
【答案】(1) ；
(2) 的周长为 ，面积为 .
【详解】（1）∵椭圆的短轴长为2，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴椭圆C的方程为： ， ， ，
设 ， ，直线 l 的方程为： ，
由 ，可得 ，
所以 ， ，
所以；
（2）由于 ， 分别为椭圆的左､右焦点，
所以 的周长为 ，
因为 到直线l： 的距离为 ，
所以 的面积 .
20．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线 ，点 ， 为抛物线上的动点，直线 为
抛物线的准线，点 到直线 的距离为 ， 的最小值为5．
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 与抛物线相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，当直线 ， 的斜率存在，设直线
， ， 的斜率分别为 ， ， ，是否存在实数 ，使得 ，若存在，求出 ；若不
存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1）设抛物线 的焦点为 ，根据抛物线的定义得 ，
，由于 ，解得 ，
则拋物线 的方程为
（2）设 ，将 代入抛物线 的方程，
整理得 所以
，同理 ，
则 ,所以 ，
21．（2022·江苏·海安高级中学高二期中）已知圆 : ，一动圆与直线 相切且与圆
外切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)若经过定点 的直线 与曲线 交于 两点， 是 的中点，过 作 轴的平行线与曲线 相交于点 ，试问是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或
【详解】（1）设动圆圆心 ，由题可知动圆圆心不能在 轴左侧，故 ，
因为动圆与直线 相切且与圆 ： 外切，
所以 ，
，
化简得 ，
所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 .
（2）设 ，
由题意，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得
，
，①
， ，②
因为 是 的中点，过 作 轴的平行线与曲线 相交于点 ，
假设存在 ，使得 ，
所以 ，③
因为 在抛物线上，即
所以 ，④
， ， ，
所以
所以将①②③④代入化简可得 ，
所以 ，
所以存在直线 ： ，使得 ，
所以存在直线 的方程为 或22．（2022·福建·三明一中高二期中）已知椭圆 过点 ，长轴的长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点 ，作互相垂直的直线 ，直线 与椭圆交于 两点，直线 与圆 交于
两点， 为 的中点，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知 ，解得
所以椭圆的方程为 .
（2）由（1）可得左焦点 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则 ，
这时直线 的方程为 ，可得MN的中点 为 ，
；
当直线 的斜率为0时，则直线 与圆 无交点；
当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ， ，联立 ，
得
∵ ，∴ ，∴点 到 等于点 到 的距离为 ，
点 到 的距离为 ，所以，
令 ，则 ， .
所以 面积的最大值为 .
