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专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：定义法求轨迹方程...........................................................2
题型二：直接法..............................................................................3
题型三：代入法（相关点法）.......................................................4
题型四：点差法..............................................................................5
三、专项训练.......................................................................................6
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线
与方程
之间有以下两个关系：
①曲线
上的点的坐标都是方程
的解；
②以方程
的解为坐标的点都是曲线
上的点．
此时，把方程
叫做曲线
的方程，曲线
叫做方程
的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为
；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标
y
x、表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1 定义法：
如果动点
的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定
1
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义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2 直接法：
如果动点
的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点
满足的等量
关系易于建立，则可以先表示出点
所满足的几何上的等量关系，再用点
的坐标
表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3 代入法（相关点法）：
如果动点
的运动是由另外某一点
的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标
满足某已知曲线方程），则可以设出
，用
表示出相关点
的坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点
的轨迹方程。
3.4 点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得
，
，
，
等关系式，由于弦
的中点
的坐标满足
，
且直线
的斜率为
，由此可求得弦
中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（23-24 高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知动圆过定点
，并且在定圆B：
的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆
过动点
，并且在定圆
：
的内部与其相内切，则动圆圆心
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知动圆P 与圆M：
，圆N：
2
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均外切，记圆心P 的运动轨迹为曲线C，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·新疆乌鲁木齐·期末）一动圆
过定点
，且与已知圆
：
相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆
：
相内切，且
与定直线
相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二上·全国·课前预习）已知动圆M 与直线y=2 相切，且与定圆
外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：直接法
1．（23-24 高二上·广东深圳·期末）已知
，若动点P 满足直线
与直线
的斜率之积为
，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一上·安徽六安·期末）已知点
的坐标分别为
，直线
相交于点
,且直线
的斜率与直线
的斜率的差是1，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，已知定点
，
，
3
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直线
与直线
的斜率之积为-4，则动点
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，
，动点
P 满足
则P 点的轨迹Γ 为圆 ，过点A 的直线交圆Γ 于两点C，D，且
，则
.
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知点
，
，直线PM，PN 的斜率乘积
为
，P 点的轨迹为曲线C，则曲线C 的方程为 .
题型三：代入法（相关点法）
1．（23-24 高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线
的两个焦点分别为
，离心
率等于
，设双曲线的两条渐近线分别为直线
；若点
分别在
上，且满足
，则线段
的中点
的轨迹
的方程为
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·江西宜春·期中）已知圆
与
轴交于点
、
，过圆上动点
(
不与
、
重合)作圆
的切线，过点
、
分别作
轴的垂线，与切线分别交于
点
，直线
与
交于点
，
关于
的对称点为
，则点
的轨迹方程为
3．（23-24 高二下·江西上饶·期末）已知椭圆
的左右焦点为
、
，点
为椭
圆上任意一点，过
作
的外角平分线的垂线，垂足为点
，过点
作
轴的垂线，
垂足为
，线段
的中点为
，则点
的轨迹方程为 .
4．（23-24 高二上·四川成都·期中）点M 为椭圆
上一点，
为椭圆的两个焦
4
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点，则
的内心轨迹方程为 .
5．（22-23 高二上·广东·阶段练习）已知圆
上的动点M 在x 轴上的投影为N，
点C 满足
．
(1)求动点C 的轨迹方程C；
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A，B 的坐标分别为
，
，平面内两点G，M 同时满足以下3 个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交
点：②M 是△ABC 的外心；③
(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；
题型四：点差法
1．（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
，过点
且斜率为1 的直线交椭圆于
两点.若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆
四个顶点构成的四边形的
面积为
，直线
与椭圆C 交于A，B 两点，且线段
的中点为
，
则椭圆C 的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·浙江杭州·阶段练习）焦距为
，并且截直线
所得弦的中点
5
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的横坐标是
的椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线
：
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线E 于A、B 两点.若
的中点坐标为
，则E 的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二上·广东广州·阶段练习）已知双曲线
的中心为原点，
是
的焦
点，过
的直线与
相交于
，
两点，且
的中点为
，则
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二·全国·课后作业）过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
、
两点，
则线段
的中点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、专项训练
1．（23-24 高三下·重庆·期中）长为2 的线段
的两个端点
和
分别在
轴和
轴上滑
动，则点
关于点
的对称点
的轨迹方程为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·江西·开学考试）已知面积为的正方形
的顶点
、
分别在
轴
和
轴上滑动，
为坐标原点，
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·广东佛山·期末）长为
的线段
的两个端点
和
分别在
轴和
轴
上滑动，则点
关于点
的对称点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·安徽合肥·阶段练习）平面上动点
到定点
的距离比点
到
轴
的距离大
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
5．（23-24 高二上·河南·期中）已知动点P 在曲线
上，则点
与点P 连线的
中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二上·河南南阳·阶段练习）已知点P 是圆
上的动点，作
轴于点H，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高二上·安徽六安·期末）已知直线交抛物线
：
于
轴异侧两点
，
，且
，过
向
作垂线，垂足为
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
8．（23-24 高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆的方程为
，若抛物线过点A（﹣1，
0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A．
B．
7
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C．
D．
9．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知
，
，
，第三个顶点C 在曲
线
上移动，则
的重心的轨迹方程是 ．
10．（23-24 高二上·上海·期末）已知椭圆
上有一点
，
是
轴上的定
点，若有一点
满足
，则
的轨迹方程为 ．
11．（23-24 高二·全国·课后作业）已知点
是曲线
上任意一点，
，连接
并延长至
，使得
，求动点Q 的轨迹方程 ．
12．（23-24 高二上·全国·课后作业）设圆的圆心为A，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹
方程是 .
8
