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15.2.2 分式的加减
一、单选题
1．2018 年、2019 年、2020 年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020 年与2019 年相比，
森林面积的增长率提高了（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可．
【详解】2019 年的增长率是：
，
2020 年的增长率是：
，
则2020 年与2019 年相比，森林面积的增长率提高了：
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了列代数式以及分式的减法，正确表示出增长率是解题关键．
2．已知
，则
的值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】∵
，
∴
，
∴原式＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
3．已知
为实数且满足
，设
，则下列两个结论
（ ）
①
时，
时，
；
时，
；②若
，则
．
A．①②都对
B．①对②错
C．①错②对
D．①②都错
【答案】C
【分析】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论；
②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
【详解】
，
，
，
，
，
，
①当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
或
，
或
，
或
；
当
时，
和
可能同号，也可能异号，
或
，而
，
或
；
①错；
②
，
原式
，
，
，
，
，
．
②对．
故选：
．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
4．已知
，则代数式
的值（ ）
A．4
B．9
C．－4
D．－8
【答案】A
【分析】由
＝3，变形得y-x=3xy，然后整体代入代数式，计算化简，即可得到结论.
【详解】由
＝3，得
=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，
则
=
=
=4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式化简求值，利用整体代入法是解决本题的关键．
5．对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：
．例如：
．若
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据新定义，把
转化为分式的运算即可．
【详解】根据定义运算*，
，
，
去分母得，
，
代入
得，
，
故选：A．
【点评】本题考查了新定义运算以及分式运算，解题关键是根据新定义运算找到x、y 之间的关系，再整体
代入．
6．已知：
是整数，
．设
．则符合要求的
的正整数值共有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】先求出y 的值，再根据x，y 是整数，得出x＋1 的取值，然后进行讨论，即可得出y 的正整数值．
【详解】∵
∴
．
∵x，y 是整数，
∴
是整数，
∴x＋1 可以取±1，±2．
当x＋1＝1，即x＝0 时
＞0；
当x＋1＝−1 时，即x＝−2 时，
（舍去）；
当x＋1＝2 时，即x＝1 时，
＞0；
当x＋1＝−2 时，即x＝−3 时，
＞0；
综上所述，当x 为整数时，y 的正整数值是4 或3 或1．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出y 的值是解题的关键．
7．定义：若两个分式的和为n（n 为正整数），则称这两个分式互为“n 阶分式”．例如，分式
与
互为“3 阶分式”．设正数x，y 互为倒数，则分式
与
互为（ ）
A．二阶分式
B．三阶分式
C．四阶分式
D．六阶分式
【答案】A
【分析】根据题意得出xy＝1，可以用
表示y，代入
+
，计算结果为2 即可．
【详解】由题意得：xy＝1，则y＝
，
把 y＝
，代入
+
，得：
原式＝
+
＝
+
＝2
∴
与
互为“2 阶分式”，
故选A．
【点评】本题是一道新定义型题目，主要考查分式的相关计算，有一定难度，熟练掌握分式的运算法则是
解题的关键．
8．如果
，
，
是正数，且满足
，
，那么
的值为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】先根据题意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式进行计算即可．
【详解】∵a，b，c 是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故选：C
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
二、填空题
9．已知
＝
，且A、B 为常数，则A+3B＝_____．
【答案】0
【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入
求值即可．
【详解】
＝
＝
＝
，
∵
＝
，且A、B 为常数，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴A+3B＝3+3×(-1)=0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B 的方程组是解此题的关键．
10．已知
为整数，且
为整数，则所有符合条件的
值的和为_____．
【答案】
【分析】先将原分式进行通分变形，约分化简，然后求得符合题意的解即可．
【详解】
，
∵
，
为整数
∴
，或
或
或
∴
或
或
或
∴
∴所有符合条件的
值的和为：
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查分式的化简与分式的整数值，解此题的关键在于熟练掌握分式相关知识点．
11．下列语句及写成式子不正确的是______．
①
；
②分式
、
、
都是最简分式；
③
；
④当
时，则代数式
．
【答案】①②③
【分析】根据最简分式的定义、分式的加法和分式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】
，故①错误；
，故②错误；
，故③错误；
当
时，则代数式
，故④正确．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法
是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，从而进行约分．
12．已知：
，其中a，b，c，d 是常数，则
a+2b+3c+4d 的值为_____．
【答案】0
【分析】由
＝
＝
，
根据对应相等，求出a，b，c，d 的值，代入计算即可．
【详解】∵
，
＝
，
＝
，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣1，
∴a+2b+3c+4d＝1+2×（﹣3）+3×3+4×（﹣1），
＝0，
故答案为0．
【点评】本题考查了分式的加减法，解决此题的关键是找出规律．
三、解答题
13．观察下列各式及证明过程：
①
；②
；③
．
验证：
；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n 为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．
【答案】（1）
；
（答案不唯一），证明见解析；（2）
，证明见解析
【分析】（1）直接仿照题干写出两个等式即可；
（2）利用规律写出不等式并验证即可．
【详解】（1）答案不唯一，如：
；
证明：
；
（2）
证明：
【点评】本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．
14．先化简
，再从
的范围内选取一个合适的整数a 代入求值
【答案】
，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把合适的
的值代入计算即可求出值．
【详解】
，
∵
，
为整数，且
，
，
，
∴取
，原式
．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．注意本题
的值只能为-1．
15．观察下列式子，并探索它们的规律：
（1）根据以上式子填空：
①
．
②
．
（2）当
取哪些正整数时，分式
的值为整数？
【答案】（1）①
；②
；（2）1 或3
【分析】（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；
（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x 取什么值时，
的值为整数．即可得到答案．
【详解】（1）①
．
故答案为
．
②
故答案为
．
（2）
当
为正整数，且
为5 的约数时，
的值为整数，
即
或
时，
的值为整数．
∴
，
．
即当x 为1 或3 时，
的值为整数．
【点评】本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式
子找出规律，并利用规律解答．
16．先化简，再求值（1﹣
）÷
，其中m2＝1．
【答案】
，当
时，原式=
．
【分析】先计算括号内的，再将除法化为乘法后，给各部分因式分解后约分，再求得
，根据分母不
能为0，将
代入计算即可．
【详解】原式＝
=
=
，
∵m2＝1，
∴
，
又∵分式的分母不为0，即
，
∴当
时，原式=
．
【点评】本题考查分式的化简求值．注意运算顺序和约分法则．还需注意分式的分母不能为0．
17．先化简（
﹣
）÷
，然后从﹣2＜x＜3 中选择一个合适的值代入求值．
【答案】
，当x=2 时，原式=2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取一个合适的数作为x 的值代入进行计算即可．
【详解】原式=
，
∵x≠0，x≠1，x≠-1，且﹣2＜x＜3，
∴x 取x=2，
∴当x=2 时，
．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．
18．先化简，再求值：
，其中
是不等式组
的整数解．
【答案】
【分析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再解一元一次不
等式组，求出整数解，最后代值计算．
【详解】原式
．
不等式组：
解不等式组得：-1≤a≤2，
∴a 的整数解是-1，0，1，2．
又∵a≠1 且a≠0，a≠-1，a 为整数，
∴a 可取值为2．
当a=2 时，原式=
故答案为
．
【点评】考查了分式的混合运算和一元一次不等式组的整数解，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符
号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
19．先化简，再求值：
，再从－2，2，3 中选一个恰当的数作为x 的值，代入
求值．
【答案】
，
【分析】分式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，然后代入求值．
【详解】
=
÷
=
·
=
=
由题意可得：x≠0 且x≠±2
∴当x=3 时，原式=
【点评】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
20．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称
之为“假分式”，如
，
；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：
，
．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：
＝
＝1﹣
．根据
以上材料，解决下列问题：
（1）分式
是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式
化为整式与真分式的和的形式；
（3）当x 取什么整数时
的值为整数．
【答案】（1）真分式；（2）x+2﹣
；（3）x＝3
【分析】（1）根据真分式的定义求解即可；
（2）原式变形为
＝
，再进一步化简即可；
（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则变形得出原式＝
，再进一步变形为
＝
﹣2+
，结合分式有意义的条件可得答案．
【详解】（1）分式
是真分式，
故答案为：真分式；
（2）
＝
＝
＝x+2-
；
（3）
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣2+
，
∵x≠±1 且x≠0，x≠2，
∴当x＝3 时，原式＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正
确计算是解题的关键．
