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专题02 充要条件量词
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题02 充要条件量词
命题解读
命题预测
复习建议
充要条件及逻辑用语在往年
的高考中经常出现，从题目
的难易度来看属于中等偏下
的难度，多以选择题的形式
出现，偶尔有填空题，整体
考察不是很多。
预计2024 年的高考仍然会以
充要条件或命题的否定形式
出现，选择题的可能性比较
大，填空题也有可能，但出
一个题的可能性大。
集合复习策略：
1.掌握充分、必要及充要条
件的定义，这是判断的最根
本方法；
2. 理解全称命题和特称命
题，对于两种命题的否定的
关系要明白；
3.掌握题目中出现的有关于
不等式的求解。
→➊考点精析←
一、充分条件、必要条件及充要条件
1．如果
,则p 是q 的充分条件;
2．如果
,则p 是q 的必要条件;
3．如果既有
又有
,记作
,则p 是q 的充要条件.
二、逻辑用语---命题的否定
全称命题p：∀x∈M，p(x),它的否定是 ∃x0∈M， p(x0)
特称命题q：∃x0∈M，q(x0),它的否定是 ∀x∈M，q(x)
→➋真题精讲←
1. （2023 高考数学北京卷）若
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：由
化简得到
即可判断；解法二：证明充分性可由
2
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得到
，代入
化简即可，证明必要性可由
去分母，再用
完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，
再把
代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把
代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
3
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所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
2.（2023 高考数学天津卷） “
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；
所以
是
的必要不充分条件.
4
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故选：B
3．（2020•浙江）设集合
，
，
，
，
，
中至少有2 个元素，且
，
满足：
①对于任意的
，
，若
，则
；
②对于任意的
，
，若
，则
．下列命题正确的是
A．若
有4 个元素，则
有7 个元素
B．若
有4 个元素，则
有6 个元素
C．若
有3 个元素，则
有5 个元素
D．若
有3 个元素，则
有4 个元素
【解析】取：
，2，
，则
，4，
，
，2，4，
，4 个元素，排除
．
，4，
，则
，16，
，
，4，8，16，
，5 个元素，排除
；
，4，8，
则
，16，32，64，
，
，4，8，16，32，64，
，7 个元素，排除
；
故选：
．
4 ．（2020• 上海）命题
：存在
且
，对于任意的
，使得
（a）；
命题
单调递减且
恒成立；
命题
单调递增，存在
使得
，
则下列说法正确的是
5
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A．只有
是
的充分条件
B．只有
是
的充分条件
C．
，
都是
的充分条件
D．
，
都不是
的充分条件
【解析】对于命题
：当
单调递减且
恒成立时，
当
时，此时
，
又因为
单调递减，
所以
又因为
恒成立时，
所以
（a），
所以
（a），
所以命题
命题
，
对于命题
：当
单调递增，存在
使得
，
当
时，此时
，
（a）
，
又因为
单调递增，
所以
，
所以
（a），
所以命题
命题
，
所以
，
都是
的充分条件，
故选：
．
→➌模拟精练←
6
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1．（2023·山东聊城·统考三模）若
为等比数列，则“
，
是方程
的两
根”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由等比数列的性质，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】设等比数列
的公比为
，因为
，
是方程
的两根，
所以
，
，所以
，又因为
，
则
，又因为
，所以
，即充分性成立；
反之，当
时，
不成立，则
，
不是方程
的两
根，即必要性不成立；
所以“
，
是方程
的两根”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2023·广东广州·统考二模）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，则
，即
，
当
，即
时，满足
，而
无意义，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
7
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故选：A
3．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）下列说法正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充要条件
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．命题“
”的否定形式是“
”
D．“
”是“
”的充分不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质判断A 的正误，利用正切函数的性质判断B 的正误，利用命题
的否定形式判断C 的正误，利用对数的定义判断D 的正误.
【详解】对A，若
中，
时
也成立，故A 错；
对B，当
时，
，故
，
若
，则
，故B 对；
对C，存在量词命题的否定是
，故C 错；
对D，若
均为负数，则
无意义，故D 错.
4．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知集合
，
，则
为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】先化简集合B，再利用集合的交集和补集运算求解.
【详解】解：因为
，则
或
，
8
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所以
或
，
或
故选：C
5．（2023·山东潍坊·三模）已知
为虚数单位，则“复数
是纯虚数”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及充分条件和必要条件
的定义即可得解.
【详解】
，
因为复数
是纯虚数
所以
，即
，故
不同时为，
所以
，
当
时，
不是纯虚数，
所以“复数
是纯虚数”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2023·广东东莞·校考模拟预测）设
为数列
的前
项和.若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9
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【答案】A
【解析】因为
为数列
的前
项和，且
，
所以当
时，
；
当
时，
；
所以
充分性：当
时，
.所以
；
；
.满足
，所以
充分性满足；
必要性：由
可得：
，
，
，符合
，但是不能
推出
.所以必要性不满足.
故“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
7．（2023·山东德州·三模）已知
，
：向量
与
共线，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由向量共线求得
或
，进而可判断充分性和必要性.
【详解】若向量
与
共线，则
，解得
或
，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A.
10
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8．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）下列说法正确的是（ ）
A．“
”是“
”的既不充分也不必要条件
B．命题“
，
”的否定是“
，
”
C．若
，则
D．
的最大值为
【答案】AD
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说
明判断C；利用对数函数单调性求出最值判断D 作答.
【详解】对于A，“若
，则
”是假命题，因为
，而
；“若
，则
”是假命题，
因为
，而
，即“
”是“
”的既不充分也不必要条件，A 正确；
对于B，命题“
，
”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“
，
”，B 错误；
对于C，当
时，
成立，因此
成立，不一定
有
，C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，
，
而函数
在
上单调递增，因此当
时，
，D 正确.
故选：AD
9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）“
”是“方程
表示双曲线”的
（ ）条件
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A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程
表示双曲线，所以
，解得
或
.
即
.
因为
是
的真子集，
所以“
”是“方程
表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：B．
10．（2023 春·广东揭阳·高三校考开学考试）“
”是“直线
与直线
平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若直线
与直线
平行，则
且
，
因为“
”
“
且
”，
但“
”
“
且
”，
因此，“
”是“直线
与直线
平行”的必要不充分条件.
故选：B.
11．（2023 春·广东·高三统考开学考试）设
，则“
”是“直线
与
直线
平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
12
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【解析】若直线
与直线
平行，
则
，解得
或
，
经检验
或
时两直线平行．
故“
”能得到“直线
与直线
平行”，但是 “直线
与直线
平行”不能得到“
”
故选：A
→➍专题训练←
一、命题的否定与否命题的区分
1.命题“
0,
x
，
1
sin x
x
x
”的否定是（ ）
A．
0,
x
，
1
sin x
x
x
B．
0,
x
，
1
sin x
x
x
≥
C．
0,
x
，
1
sin x
x
x
D．
,0
x
，
1
sin x
x
x
2.命题“若
1
a ，则
0
x
，使得
2
x
a
x
”的否命题为（ ）
A．若
1
a
，则
0
x
，
2
x
a
x
B．若
1
a
，则
0
x
，
2
x
a
x
C．若
1
a ，则
0
x
，
2
x
a
x
D．若
1
a ，则
0
x
，
2
x
a
x
【解析】（1）因为命题“
0,
x
，
1
sin x
x
x
”为全称命题，
所以该命题的否定是“
0,
x
，
1
sin x
x
x
”.故选：C.
（2）命题“若
1
a ，则
0
x
，使得
2
x
a
x
”的否命题为“若
1
a
，则
0
x
，
13
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2
x
a
x
”故选：A
3.命题“
0,
x
，
2
2
1
x
x
”的否定是（ ）．
A．
0
0,
x
，
0
2
0
2
1
x
x
B．
0
0,
x
，
0
2
0
2
1
x
x
C．
0,
x
，
2
2
1
x
x
D．
2
2
1
x
x
【解析】命题“
0,
x
，
2
2
1
x
x
”为全称量词命题，其否定为存在量词命题，
所以命题的否定为：
0
0,
x
，
0
2
0
2
1
x
x
．故选：A．
4.命题“若
2
2
0
x
y
，则
0
x
y
”的否命题为（ ）
A．若
2
2
0
x
y
，则
0
x
且
0
y
B．若
2
2
0
x
y
，则
0
x
或
0
y
C．若
2
2
0
x
y
，则
0
x
且
0
y
D．若
2
2
0
x
y
，则
0
x
或
0
y
【解析】设p 为原命题条件,q 为原命题结论,则否命题:若非p 则非q .
原命题“若
2
2
0
x
y
，则
0
x
y
”
故其否命题为: 若
2
2
0
x
y
，则
0
x
或
0
y
故选:D.
二、充分、必要分不清
5.（1）已知集合
lg 2
A
x y
x
，
,
B
a
，若x
A
是x
B
的必要不充分
条件，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
2
a
B．
2
a
C．
2
a
D．
2
a
（2）（2020·陕西新城·西安中学高三月考（理））设p : 4
3
1
x
,q :
2
2
1
1
0
x
a
x
a a
,若
p
是
q
的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是
( )
14
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A．
1
0, 2
B．
1
0, 2
C．
1
,0
,
2
D．
1
,0
,
2
【解析】（1）
lg 2
2
0
2
A
x y
x
x
x
x x
，
,
B
a
，
由于x
A
是x
B
的必要不充分条件，
2
a
．故选：A．
（2）由非p 是非q 的必要而不充分条件，可知q 是p 的必要而不充分条件，即p 是q 充分
而不必要条件，解不等式4
3
1
x
，得
1 ,1
2
A
，解不等式
得
,
1
B
a a
，由题意知
1 ,1
2
A
是
,
1
B
a a
的
真子集，所以
1
{
2
1
1
a
a
，即
1
0
2
a
，故A
6.设aR ，则“
1
a ”是“
2
a
a
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】求解二次不等式
2
a
a
可得：
1
a 或
0
a
，据此可知：
1
a 是
2
a
a
的充分不
必要条件.
故选：A.
7.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值
范围是________．
【解析】令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}．
∵p 是q 的充分不必要条件，∴M⫋N，∴
0
1
4
a
a
，解得0<a<3.故填
0,3
三、全称特称与最值
15
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8.已知函数
2
2
4
f
x
x
x
k
，
2
2
g x
x
x
.
（1）若对任意
3,3
x
，都有
f
x
g x
成立，求实数k 的取值范围；
（2）若存在
3,3
x
，使
f
x
g x
成立，求实数k 的取值范围；
（3）若对任意
1
2
,
3,3
x x
，都有
1
2
f x
g x
成立，求实数k 的取值范围.
【解析】（1）由题意得：
2
6
0
g x
f
x
x
x
k
对任意
3,3
x
恒成立，
即
2
6
k
x
x
对任意
3,3
x
恒成立，
当
3
x
时，
2
6
x
x
取得最大值27 ，
27
k
，即k 的取值范围为[
)
27,+
.
（2）由题意得：存在
3,3
x
，使得
2
6
0
g x
f
x
x
x
k
成立，
即存在
3,3
x
，使得
2
6
k
x
x
成立，
当
3
x 时，
2
6
x
x
取得最小值9
，
9
k
，即k 的取值范围为
9,
.
（3）由题意得：当
3,3
x
时，
max
min
f
x
g x
，
当
3
x
时，
max
18 12
30
f
x
k
k
；当
1
x
时，min
1
2
1
g x
，
30
1
k
，解得：
31
k
，即k 的取值范围为
31,.
9.已知函数
2
( )
f x
x
，
1
( )
( )
2
x
g x
m
．
（1）若对任意
1
1,3
x
，
2
0,2
x
都有
1
2
( )
(
)
f x
g x
≥
成立，求实数m 的取值范围；
（2）若对任意
2
0,2
x
，总存在
1
1,3
x
，使得
1
2
( )
(
)
f x
g x
≥
成立，求实数m 的取值
范围．
【解析】（1）由题设知：
1
2
min
max
f
x
g x
，
16
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∵
f
x 在
1,0
上递减，在
0,3 上递增，∴
1
min
0
0
f
x
f
又∵
g x 在
0,2 上递减，∴
2
max
0
1
g x
g
m
∴有0
1
m
，m 的范围为
1,
（2）由题设知
1
2
max
max
f
x
g x
，∴有
3
0
f
g
，即9
1
m
，∴M 的范围为
8,
四、综合训练
1.已知非零向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若
，则
，推不出
；若
，则
必成
立，
故“
”是“
”的必要不充分条件
故选：B.
2.已知命题
﹔命题
﹐
，则下列命题中为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于
，所以命题
为真命题；
由于
，所以
，所以命题
为真命题；
所以
为真命题，
、
、
为假命题.
故选：A．
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3.设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是（ ）
A．α 内有无数条直线与β 平行
B．α 内有两条相交直线与β 平行
C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与
平行是
∥
的充分条
件；
由面面平行的性质定理知，若
∥
，则内任意一条直线都与
平行，所以内有两条
相交直线都与
平行是
∥
的必要条件.
故α∥β 的充要条件是α 内有两条相交直线与β 平行.
故选B．
4.等比数列
的公比为q，前n 项和为
，设甲：
，乙：
是递增数列，则（
）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为
时，满足
，
但是
不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若
是递增数列，则必有
成立，若
不成立，则会出现一正一负的情况，是
矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
5.命题“
”的否定是
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“
，
”的否定为“
，
”.
故选D．
6.“
”是“
，
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
必要性：设
，当
时，
，所以
，即
；
当
时，
，所以
，即
.故
或
.
充分性：取
，当
时，
成立.
答案选A
7.下列说法错误的是（ ）
A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”
B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x0
2﹣2x0﹣3＝0”
C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件
D．“x＜﹣1 或x＞3” 是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件
【答案】C
【解析】根据命题“若p 则q”的逆否命题为“若
则
”，可知“若x≠3，则x2﹣2x
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﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”，即A 正确；
根据全称命题的否定是特称命题可知，“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x0
2
﹣2x0﹣3＝0，即B 正确；
不等式x2﹣2x﹣3＞0 的解为x＜﹣1 或x＞3，故“x＞3”可推出“x2﹣2x﹣3＞0”，但
“x2﹣2x﹣3＞0”推不出“x＞3”，即“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，C
错误，“x＜﹣1 或x＞3” 是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件，D 正确.
故选：C.
8.“
”是“方程
表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】方法一：因为方程
表示圆，，
所以
，解得
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选:B.
方法二：方程
表示圆，
即
表示圆，则需
，解得
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选:B.
9.将函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象.则“
”是“函数
为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充
分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）
【答案】充分不必要
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【解析】由题意，将函数
的图象向右平移
个单位，可得
的图像，
当
时，可得
，显然
为偶函
数，
所以“
”是“函数
为偶函数”的充分条件；
若函数
为偶函数，则
，
即
，不能推出
，
所以“
”不是“函数
为偶函数”的必要条件，
因此“
”是“函数
为偶函数”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
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