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专题24 最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此
却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴
对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中
高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对
称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m 上，求一点P，使PA+PB 最小；
（1）点A、B 在直线m 两侧： （2）点A、B 在直线同侧：
m
A
B
P
m
A
B
m
A
B
P
m
A
B
A'
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A 关于直线m 的对称点。
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，
是边长为的等边三角形，点
为高
上的动
点．连接
，将
绕点
顺时针旋转
得到
．连接
，
，
，则
周长的最小值是
．
例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在
C 中，
的面积为
，
，
平分
，E、F 分别为
、
上的动点，则
的最小值是（ ）
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A．
B．
C．2
D．
例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形
的边长为4，点E 在边
上，且
，F 为
对角线
上一动点，连接
，
，则
的最小值为 ．
例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形
，点
、
、
、
均在坐标轴上，
，点
，点
是
的中点，点
是
上的一动点，则
的最小值是（ ）
A．3
B．5
C．
D．
例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形
是矩形，
，
，点P 是边
上一点（不与点A，D 重合），连接
．点M，N 分别是
的中点，连接
，
，
，点E 在边
上，
，则
的最小值是（ ）
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A．
B．3
C．
D．
例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，
是
的直径，点C、D 是
上的点．且
，
分别与
、
相交于点E，F．若
的半径为5，
，点P 是线段
上任意一点，则
的最小值是 ．
例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E 是线段
上的一个动点，
，且
，则
的最小值是___．
例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线
经过
两点，并交x 轴于
另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D．
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(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH，DH，求
的最小值；
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n 上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
n
m
A
B
Q
P
n
m
A
B
P'
Q'
n
m
A
B
Q
P
n
m
A
B
B'
（3）两个点都在内侧：
n
m
A
B
Q
P
n
m
A
B
B'
A'
（4）台球两次碰壁模型
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1）已知点A、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n、m 分别上求点D、E 点，使得围成的四边形
ADEB 周长最短.
2）已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n 分别上求点P、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
m
n
A
B
E
D
m
n
A
B
A'
B'
m
n
A
P
Q
m
n
A
A"
A'
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1，
，在
内部有一点P，M、N 分别是
、
上的动点，分别作点P 关于边
、
的对称点
，
，连接
，
与
、
相交于M、N，则此时
的周长最小，且顺次连
接O，
，
后
的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P 关于边
、
的对称点分别为
，
，
∴
，
，
，
，
∴
即
周长的的最小值为
∵
，∴
∴
是等腰直角三角形．
学以致用：若
，在
内部有一点P，分别作点P 关于边
、
的对称点
，
，顺次连
接O，
，
，则
的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在
中，
，
，点D 是
的中点，若
，请用含
有h 的代数式表示
的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形
内有一点P，点P 到顶点B 的距
离为10，
，点M、N 分别是
、
边上的动点，顺次连接P、M、N，使
在周长最小
的情况下，面积最大，问：是否存在使
在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出
的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
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例2．（2023 下·四川达州·八年级校考期末）如图，
，点M、N 分别在射线
上，
，
的面积为12，P 是直线
上的动点，点P 关于
对称的点为
，点P 关于
对称的
点为
，当点P 在直线
上运动时，
的面积最小值为 ．
例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，
，点M、N 分别在边
上，且
，
点P、Q 分别在边
上，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
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例4．（2023 春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形
中，
，
，
、
分别是
和
上的两个动点，
为
的中点，则
（1）
的最小值是________；（2）若
，则
的最小值为________．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m 上，求一点P，使PA 与PB 的差最大；
（1）点A、B 在直线m 同侧：
m
B
A
m
B
A
P'
P
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延长AB 交直线m 于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB 此时最大，
因此点P 为所求的点。
（2）点A、B 在直线m 异侧：
m
A
B
m
A
B
B'
P
P'
过B 作关于直线m 的对称点B’,连接AB’交点直线m 于P,此时PB=PB’，PA-PB 最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形
中，
，对角线
交于点
，
，点
为
的中点，点
为
上一点，且
，点
为
上一动点，连接
，则
的最大值为________．
例2．（2023 春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形
中，
，O 为对角线
的
中点，点P 在
边上，且
，点Q 在
边上，连接
与
，则
的最大值为
____________，
的最小值为__________．
例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P 为直
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线CD 上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图，
，
为
上一动点，
，过
作
交直线
于
，过
作
交直线
于点
，若
，当
的值最大时，
则
________ ．
课后专项训练
1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形
的对角线交于点O，点E 是直线
上一动点．若
，则
的最小值是( )
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A．
B．
C．
D．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，
，M 是对角线BD 上的一
个动点，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图，
是线段
上一点，
和
是位于直线
同侧的两个等
边三角形，点
分别是
的中点．若
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
周长的最小值为6
D．四边形
面积的最小值为
4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点
是正方形
内部一个动点，且
，
，则
的最小值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（2023 春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD 中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q 分
别是AC 和BC 上的动点，在点P 和点Q 运动的过程中，PB+PQ 的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．4
6．（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 上的动
点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH 周长的最
小值等于（ ）
A．10
B．10
C．5
D．5
7．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形
边长为3，点E 在
边上且
，点P，Q 分别是
边
，
的动点（均不与顶点重合），当四边形
的周长取最小值时，四边形
的面积是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
8．（2022·江苏·九年级月考）如图，点
，
在直线
的同侧，
到
的距离
，
到
的距
离
，已知
，
是直线
上的一个动点，记
的最小值为
，
的最大值为
，
则
的值为（ ）
A．160
B．150
C．140
D．130
9．（2023 上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，
中，
，
，
，
是
的垂直平分线，分别交
，
于点E，F，点D 是
边的中点，点M 是线段
上一动点，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
10．（2023 上·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图，
是
的直径，
，点
在
上，
，
为
的中点，
是直径
上一动点，则
的最小值是 ．
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11．（2023 下·四川达州·八年级校考期末）如图，
，
在
的同侧，
，
，
，
点
为
的中点，若
，则
的最大值是 ．
12．（2023 上·山东德州·八年级校考期中）如图，在
中，
，
，
，
是
的平分线．若P，Q 分别是
和
上的动点，则
的最小值是 ．
13．（2022·重庆大渡口·九年级期中）如图，
，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC 的左侧
有一点P，连接BP，CP，
，将
沿BC 翻折至同一平面得到
，连接
．若
取得最大值时，则
______．
14．（2023 秋·江苏盐城·九年级统考期末）
中，
，
，点P 为高
上的一个
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动点，连接
，将射线
绕点A 顺时针旋转
，交过点P 与
垂直的直线于点Q，连接
，则
周长的最小值是______．
15．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1 的正方形
中，E 为
边上一动点（点E，B 不
重合），以
为直角边在直线
上方作等腰直角三角形
，
，连接
，则在点E 的运动
过程中，
周长的最小值是______．
16．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体
，
是
棱
上任意一点，
是侧面对角线
上一点，则
的最小值是________．
17．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点
为矩形
的对角线
上一动点，点
为
的中点，连
接
，
，若
，
，则
的最小值为________．
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18．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
，
，AH 是
的平分线，
于点E，点P 是直线AB 上的一个动点，则
的最小值
是________．
19．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿
CE 翻折得△CME，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP//EM 交MC 于点
P，则MN+NP 的最小值为________．
20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，
，E，F 分别是AD，AB 的中点，
的平分线交AB 于点G，点P 是线段DG 上的一个动点，则
的周长最小值为__________．
21．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，已知点
，
，
在抛物线
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上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线
上方的抛物线上求一点
，使
的面积为
；
（3）若点
是抛物线对称轴上一动点，当
的值最大时，求
点的坐标；
22．（2023·广东深圳·九年级校考开学考试）已知，如图，函数y＝
，
的图象交于点A、
B．
(1)直接写出A、B 两点的坐标：A ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式
的解集：
；
(3)点P 是坐标轴上的动点，当
取得最小值时，求点P 的坐标．
23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形
为平行四边形，延长
到点
，使
，
且
．(1)求证：四边形
为菱形；(2)若
是边长为2 的等边三角形，点
、
、
分别
在线段
、
、
上运动，求
的最小值．
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24．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形
中，
，点P 在边
上，且不与点B、C 重
合，直线
与
的延长线交于点E．
(1)当点P 是
的中点时，求证：
；
(2)将
沿直线
折叠得到
，点
落在矩形
的内部，延长
交直线
于点F．
①证明
，并求出在（1）条件下
的值；②连接
，求
周长的最小值；③如图2，
交
于点H，点G 是
的中点，当
时，请判断
与
的数量关系，并说明理由．
25．（2023 上·广西桂林·八年级校联考期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把
直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1 所示：在直线l
上存在点P，使
的值最小．
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作法：作A 点关于直线l 的对称点
，连接
，
与直线l 的交点即为点P．此时
的值最小．
模型应用：（1）如图2，已知
为等边三角形，高
，
为
上一动点，D 为
的中点．
①当
的最小值时，在图中确定点P 的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则
的最小值为
．
模型变式：（2）如图3 所示，某地有块三角形空地
，已知
，
是
内一点，连接
后测得
米，现当地政府欲在三角形空地
中修一个三角形花坛
，点
，
分别是
，
边上的任意一点（不与各边顶点重合），求
周长的最小值．
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