2026 高考数学小题训练1（集合与常用逻辑用语）
训练时间40 分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知a,b∈R，则“a+b>2”是“a
2+b
2>1”的（ ）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充分必要
D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】由不等式a
2+b
2≥(a+b)
2
2
可知，“a+b>2”是“a
2+b
2>1”的充分条件；取
a= ❑√2,b=0，可知“a+b>2”不是“a
2+b
2>1”的必要条件，即得答案.
【详解】当a+b>2时， a
2+b
2≥(a+b)
2
2
>2，∴a
2+b
2>1成立，
∴ “a+b>2”是“a
2+b
2>1”的充分条件.
当a
2+b
2>1时，取a= ❑√2,b=0，不满足a+b>2，
∴ “a+b>2”不是“a
2+b
2>1”的必要条件.
所以“a+b>2”是“a
2+b
2>1”的充分非必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分必要条件，属于中档题.
2．设集合M ={x) x =2k +1,k ∈Z)，N ={x) x =3k −1,k ∈Z)，则M ∩N =
（ ）
A．{x) x =2k +1,k ∈Z)
B．{x) x =3k −1,k ∈Z)
C．{x) x =6 k +1,k ∈Z)
D．{x) x =6 k −1,k ∈Z)
【答案】D
【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可.
【详解】易知集合M ={x) x =2k +1,k ∈Z)，N ={x) x =3k −1,k ∈Z)，
则M ∩N中k前面的系数应为2,3的最小公倍数，故排除A，B，
对于C，当k =1时，集合{x) x =6 k +1,k ∈Z)为{x) x =7)，
而令3k −1=7，可得k不为整数，故N ={x) x =3k −1,k ∈Z)不含有7，
可得M ∩N中不含有7，故C 错误，
故选：D
3．已知平面α，β和直线l1，l2，且α ∩β =l2，则“l1∥l2”是“l1∥α且l1∥β”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将“l1∥l2”与“l1∥α且l1∥β”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要
条件.
【详解】当“l1∥l2”时，l1可能在α或β内，不能推出“l1∥α且l1∥β”.当“l1∥α且
l1∥β”时，由于α ∩β =l2，故“l1∥l2”.所以“l1∥l2”是“l1∥α且l1∥β”的必要不充
分条件.
故选B.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于
基础题.
4．已知函数y = f ( x)图象过点(1,3)，则“y =3”是“x =1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由题意知，当函数值y =3时，自变量可以是1，但也可能是其他值，结合充分条
件和必要条件的定义即可判断.
【详解】因为函数f ( x)的图象过点(1,3)，当x =1时，y =3；但当函数值y =3时，自变量
可以是1，但也可能是其他值，所以“y =3”是“x =1”的必要不充分条件．
故选：B．
5．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x S
∈时，有x2 S .
∈
给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m=−1
2 ，则1
4 ≤ l ≤ 1；③ l=1
2，则−
❑√2
2 ≤m≤0
其中正确命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．
【详解】非空集合S={x|m x l}
⩽⩽满足：当x S
∈时,有x
2∈S.
对于①，若m=1,可得1∈S，则{
l
2≤l
1≤l)
，则l =1，∴①对；
对于②，若m=−1
2
,满足1
4
∈S 时,有{
l
2≤l
1
4 ≤l)
，∴1
4
≤ l ≤ 1，②对；
对于③，若l=1
2
，可得{
m≤1
2
m
2≥m
m
2≤1
2)
，则−
❑√2
2 ≤m≤0.∴③对
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解
题的关键，属于难题.
6．设函数f ( x)=a x
2+bx +c(a,b,c∈R ,a>0)，则“f(f(−b
2a))<0”是“
f ( x)f (f ( x))”都恰有两个零点的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据二次函数零点的分布情况，从充分性和必要性进行推理论证，即可容易判断
选择.
【详解】显然f(−b
2a)
是f ( x)的最小值，若f ( x)有两个零点，
设x1, x2，且x1< x2，由f (f ( x))=0得f ( x)= x1或f ( x)= x2，
由题意f (f ( x))=0只有两个零点，因此f ( x)= x1无解，f ( x)= x2有两个不等实根，
即x1<f(−b
2a)< x2，∴f(f(−b
2a))<0，必要性得证，
若f(f(−b
2a))<0，由于a>0，因此f ( x)有两个零点，
设为x1, x2
，不妨设x1<f(−b
2a)< x2
，由f (f ( x))=0得f ( x)= x1
或f ( x)= x2
，
显然f ( x)= x1无解，f ( x)= x2有两个不等实根，
即f (f ( x))有两个零点，充分性得证，
故题中是充分必要条件，
故选：C.
【点睛】本题考查充要条件的证明，涉及二次函数的零点分布，属综合中档题.
7．已知命题p:∀n∈N
*,❑√n>lgn，则¬ p为（ ）
A．∃n∈N
*,❑√n⩽lgn
B．∃n∈N
*,❑√n>lgn
C．∀n∈N
*,❑√n⩽lgn D．∀n∉N
*,❑√n⩽lgn
【答案】A
【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到.
【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以¬ p为“∃n∈N
*,❑√n≤lgn”.
故选：A.
8．设X是直角坐标平面上的任意点集，定义X
∗={(1−y，x−1)|( x，y)∈X }．若
X
∗= X，则称点集X“关于运算∗对称”．给定点集A ={( x , y)| x
2+ y
2=1)，
B ={( x , y)| y = x−1)，C ={(x , y)| x −1|+| y |=1)，其中“关于运算 * 对称”的点集
个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】令1−y = X，x−1=Y ，则y =1−X，x =1+Y ，从而由A，B，C分别求出A
∗，
B
∗，C
∗，再根据点集X“关于运算∗对称”的定义依次分析判断即可得出答案．
【详解】解：令1−y = X，x−1=Y ，
则y =1−X，x =1+Y ，
∵A ={( x , y )| x
2+ y
2=1}，
∴A
∗={( X，Y )|(1+Y )
2+(1−X )
2=1}，故A ≠A
∗；
∵B ={( x , y)| y = x−1}，
∴B
∗={( X ,Y )|1−X =1+Y −1，即Y =1−X }，故B≠B
∗；
∵C ={( x , y)|| x−1|+| y |=1}，
∴C
∗={( X ,Y )||1+Y −1|+|1−X |=1，即|Y |+|1−X |=1}，故C =C
∗；
所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1 个.
故选：B.
二、多选题
9．已知集合A ={2,b,ab}，B ={1,a, 1
b }，则（ ）
A．当a=b= 1
2
时，集合A ∩B含有2 个元素
B．集合A ∪B中的元素个数可能为5
C．当A ∩B =∅时，a
b ≠2
D．当a=0时，A ≠B
【答案】ABD
【分析】根据各选项的条件，可验证AD 正确；通过举例子可判断B 正确；通过举反例可
排除C 项.
【详解】对于A，当a=b= 1
2
时，则A ={ 1
4 , 1
2 ,2}，B ={
1
2 ,1,2)
，此时A ∩B ={
1
2 ,2)
，
故A 正确；
对于B，取a=2，b=3，则A = {2,3,6)，B ={
1
3 ,1,2)
，此时A ∪B ={
1
3 ,1,2,3,6)
，故B
正确；
对于C，取a=6，b=3，此时A = {2,3,18)，B ={
1
3 ,1,6)
，A ∩B =∅，而有a
b =2，故C
错误；
对于D，当a=0时，A ={0,2,b}，B ={0,1, 1
b }，
根据集合元素的互异性，必有b≠1，
若A = B，则两集合除0 外的元素也应相同，即{2,b}={1, 1
b }，
这需要满足“2=1且b= 1
b
”（显然不成立）或“2= 1
b
且b=1”，后者要求b=1，
与集合B 元素互异性的要求b≠1矛盾，故假设A = B不成立，因此A ≠B，故D 正确，
故选：ABD．
10．给定n∈N +，若集合P⊆{1,2,3,⋯,n}，且存在a,b,c ,d ∈P，满足
a<b≤c<d ,b−a=d −c，则称P 为“广义等差集合”．记P 的元素个数为| P|，则
（ ）
A．{1,2,3}是“广义等差集合”
B．{1,3,4,6}是“广义等差集合”
C．若P 不是“广义等差集合”，当n=8时，| P|的最大值为4
D．若P 不是“广义等差集合”，若| P|的最大值为4，则n 可以是13
【答案】ABC
【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据| P|=5
时，设P ={a1,a2,a3,a4,a5)，利用裂项相消得a5−a1≥1+2+3+ 4 =10>8矛盾求解C.
【详解】对于A, 取a=1,b=c =2,d =3，则符合“广义等差集合”的定义，故A 正确，
对于B，取a=1,b=3,c = 4 ,d =6⇒b−a=d −c =2,故B 正确，
对于C，当n=8时，P⊆{1,2,3,⋯,8}，如| P|=5时，设P ={a1,a2,a3,a4,a5)，
由题意可知a2−a1,a3−a2,a4−a3,a5−a4两两不相同，则
a5−a1=(a5−a4)+(a4−a3)+(a3−a2)+(a2−a1)≥1+2+3+ 4 =10>8矛盾，故| P|<5，
当| P|= 4时，取P = {1,2,4,8),满足P 不是“广义等差集合”，故| P|的最大值为4，故C
正确，
对于D,当n=13时，取P = {1,2,4,8,13)，这与|P)max = 4矛盾，故D 错误，
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具
体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，
要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
11．对于集合M，N，我们把属于集合M 但不属于集合N 的元素组成的集合叫做集合M 与
N 的“差集”，记作M −N，即M −N ={x| x∈M，且x∉N }；把集合M 与N 中所有
不属于M ∩N的元素组成的集合叫做集合M 与N 的“对称差集”，记作MΔN，即
MΔN ={x| x∈M ∪N，且x∉M ∩N }.下列四个选项中，正确的有（ ）
A．若M −N = M，则M ∩N =∅
B．若M −N =∅，则M = N
C．MΔN =( M ∪N )−(M ∩N )
D．MΔN =(M −N )∪(N −M )
【答案】ACD
【分析】根据集合的新定义得到A 正确，当M ⊆N时，M −N =∅，B 错误，根据定义
知C 正确，画出集合图形知D 正确，得到答案.
【详解】若M −N = M，则M ∩N =∅，A 正确；
当M ⊆N时，M −N =∅，B 错误；
MΔN ={x| x∈M ∪N，且x∉M ∩N }=( M ∪N )−(M ∩N )，C 正确；
MΔN和(M −N )∪(N −M )均表示集合中阴影部分，D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．已知全集U = N +，集合M满足：1∈M，且当n−1∈M时必有n∈M，则∁U M =
.
【答案】∅
【分析】利用反证法，假设M不是正整数集，结合题意条件推出矛盾即可.
【详解】若M为N +的真子集，则∁U M为由部分正整数组成的非空集合，
故∁U M中存在最小元素m，故m∉M，从而m≠1，于是m−1∈N +，
因为m−1<m，若m−1∈M，由M的性质可知m∈M，这与m∉M矛盾，
所以m−1∈∁U M，但这又与m是CU M中的最小元素矛盾，所以M不是N +的真子集，
即M = N +,∁U M =∅.
故答案为：∅
13．已知集合A ={a1，a2，⋯，an)(ai∈N
∗，i=1,2,3,⋯,n，n∈N
∗)，若存在非空
集合B，C，使得B∪C = A ，B∩C =∅，且集合B的所有元素之和等于集合C的所有
元素之和，则称集合A为“优美集合”.
（1）若集合A = {2,3,4 ,m)是“优美集合”，则m的所有可能取值之和是 ；
（2）若集合A的所有n−1元子集都是“优美集合”，则n的最小值是 .
【答案】 15 7
【分析】对于第一空，分类讨论B 中元素个数，结合“优美集合”定义可得答案；
对于第二空，由题可得满足题意的n为奇数，随后可得n=1,3,5时不满足题意，随后注意到
A = {1,3,5,7,9,11,13)满足题意，据此可得答案.
【详解】对于第一空，由B ,C的对称性可设B中至少有两个不同的元素.
若B = {2,3)，则C = {4 ,m)，从而2+3= 4 +m⇒m=1；
若B = {2,4)，则C = {3,m)，从而2+ 4 =3+m⇒m=3，不满足互异性；
若B = {3,4)，则C = {2,m)，从而3+ 4 =2+m⇒m=5；
若B = {2,3,4)，则C = {m)，从而2+3+ 4 =m⇒m=9.
综上，m可为1或5 或9，则m的所有可能取值之和是15；
对于第二空，将集合A 中元素之和记为S A，
因集合A的所有n−1元子集都是“优美集合”，
则存在非空集合B，C，使得{
SB= SC =t (t ∈N
∗)
S A−ai= SB+ SC =2t)
，则S A−ai为偶数.
若S A为偶数，可得ai均为偶数.
设ai=2bi
，则对满足题意的集合A ={a1，a2，⋯，an)，
总能找到一个对应的集合D ={b1，b2，⋯，bn)，
则集合D 的所有n−1元子集也都是“优美集合”，
重复上述操作，对于对满足题意的集合A，我们总能找到一个对应的集合
E ={c1，c2，⋯，cn)使ci
为奇数，且集合C 的所有n−1元子集也都是“优美集合”，
由上述分析可得SE−ci为偶数，则SE为奇数，满足题意的n为奇数.
若S A为奇数，又S A−ai为偶数，则ai均为奇数，满足题意的n为奇数.
综上可得，满足题意的n为奇数.
当n=1或3 时，显然不满足题意.
若n=5，设A ={a1,a2,a3,a4,a5)，其中a1<a2<a3<a4<a5
.
因{a2,a3,a4,a5)为优美集合，则a2+a5=a3+a4
或a2+a3+a4=a5
，
又{a1,a3,a4,a5)为优美集合，则a1+a5=a3+a4
或a1+a3+a4=a5
.
若{
a2+a5=a3+a4
a1+a5=a3+a4)
同时成立，则a1=a2不满足互异性；
若{
a2+a5=a3+a4
a1+a3+a4=a5)
同时成立，则a1+a2=0与ai∈N
∗矛盾；
若{
a2+a3+a4=a5
a1+a5=a3+a4)
同时成立，则a1+a2=0与ai∈N
∗矛盾；
若{
a2+a3+a4=a5
a1+a3+a4=a5)
同时成立，则a1=a2不满足互异性；
综上可得n=5不满足题意；
当n=7时，取A = {1,3,5,7,9,11,13).
对于{3,5,7,9,11,13)，取B = {3,5,7,9)，C = {11,13)；
对于{1,5,7,9,11,13)，取B = {1,9,13)，C = {5,7,11)；
对于{1,3,7,9,11,13)，取B = {9,13)，C = {1,3,7,11)；
对于{1,3,5,9,11,13)，取B = {3,5,13)，C = {1,9,11)；
对于{1,3,5,7,11,13)，取B = {7,13)，C = {1,3,5,11)；
对于{1,3,5,7,9,13)，取B = {1,5,13)，C = {3,7,9)；
对于{1,3,5,7,9,11)，取B = {1,3,5,9)，C = {7,11)；
综上可得A = {1,3,5,7,9,11,13)的所有6 元子集均为“优美集合”.
则n=7满足题意.
故答案为：15；7.
14．由5 个元素构成的集合M = {4,3,−1,0,1)，记M的所有非空子集为M 1、M 2...... M 31,
每一个M i(i=1,2,...,31)中所有元素的积为mi
，则m1+m2+⋯+m31= .
【答案】−1
【分析】根据子集的元素中是否含0 分类，再写出所有不含0 元素的子集，然后计算求解．
【详解】首先考虑取出的元素中含0，则无论子集中有多少元素，其积都为0；
当取出的元素不为0，即只在集合{−1,1,3,4}中取元素，
则所得的子集分别是{−1),{1),{3),{4),{−1,1),{−1,3),{−1,4),{3,4),{1,3),{1,4)，
{−1,1,3),{−1,1,4),{−1,3,4),{1,3,4),{−1,1,3,4)，
其所有元素之和为S =(−1)+1+3+ 4−1−3−4+12+3+ 4−3−4−12+12−12=−1 ，
故答案为：−1．
