【题型突破1：比较大小的11 种常见的方法】
1．（2024·天津·高考真题）设a= 4.2
−0.2，b= 4.2
0.2，c =log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为y = 4.2
x在R上递增，且−0.2<0<0.2，
命题角度1：单调性法
所以0<4.2
−0.2<4.2
0<4.2
0.2，
所以0<4.2
−0.2<1<4.2
0.2，即0<a<1<b，
因为y = log4.2 x在(0,+ ∞)上递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2<log4.21=0，即c<0，
所以c<a<b，
故选：D
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=e
−( x−1)
2
．记a= f(
❑√2
2 ),b= f(
❑√3
2 ),c = f(
❑√6
2 )，则
（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令g( x)=−( x −1)
2，则g( x)开口向下，对称轴为x =1，
因为
❑√6
2 −1−(1−
❑√3
2 )=
❑√6+ ❑√3
2
−4
2 ，而(❑√6+ ❑√3)
2−4
2=9+6 ❑√2−16=6 ❑√2−7>0，
所以
❑√6
2 −1−(1−
❑√3
2 )=
❑√6+ ❑√3
2
−4
2 >0，即
❑√6
2 −1>1−
❑√3
2
由二次函数性质知g(
❑√6
2 )< g(
❑√3
2 )，
因为
❑√6
2 −1−(1−
❑√2
2 )=
❑√6+ ❑√2
2
−4
2 ，而(❑√6+ ❑√2)
2−4
2=8+ 4 ❑√3−16= 4 ❑√3−8= 4(❑√3−2)<0，
即
❑√6
2 −1<1−
❑√2
2 ，所以g(
❑√6
2 )>g(
❑√2
2 )，
综上，g(
❑√2
2 )< g(
❑√6
2 )< g(
❑√3
2 )，
又y =e
x为增函数，故a<c<b，即b>c>a.
故选：A.
3．（2023·天津·高考真题）设a=1.01
0.5,b=1.01
0.6,c =0.6
0.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由y =1.01
x在R 上递增，则a=1.01
0.5<b=1.01
0.6，
由y = x
0.5在[0,+∞)上递增，则a=1.01
0.5>c =0.6
0.5.
所以b>a>c.
故选：D
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)及其导数f
′ (x)的定义域均为R ,f
′ (x)在R上单调递增，f
′ (1+ x)为
奇函数，若2
a= 4
3 ,4
b=5,3
c= 4，则（ ）
A．f (a)<f (b)<f (c)
B．f (b)<f (a)<f (c)
C．f (b)<f (c)<f (a)
D．f (c)<f (b)<f (a)
【答案】C
【分析】先由f
′ (1+ x)为奇函数得到f
′ (1)=0，再由f
′ (x)的单调性可推得f (x)的单调性，根据对称性可得
f (a)= f(log2
4
3)= f(2−log2
4
3)= f (log23)，再比较log23,b,c ,1的大小即可得解.
【详解】因为f
′ (1+ x)为奇函数，所以f
′ (1+ x)=−f
′ (1−x)，
令x =0，则f
′ (1)=−f
′ (1)，故f
′ (1)=0，
又f
′ (x)在R上单调递增，所以当x<1时，f
′ (x)<0，则f (x)单调递减；
当x>1时，f
′ (x)>0，则f (x)单调递增；
又因为f
′ (1+ x)=−f
′ (1−x)，则f
′ (1+ x)+ f
′ (1−x)=0
f (1+ x)−f (1−x)=C (C ∈R).①
在①式中令x =0，可得f (1)−f (1)=C，故C =0，
所以f (1+ x)= f (1−x)，
因为2
a= 4
3 ,4
b=5,3
c = 4，
所以a=log2 4
3 <1,b=log45>log4 4 =1,c =log34>log33=1，
因为f (1+ x)= f (1−x)，
所以f (a)= f(log2
4
3)= f(2−log2
4
3)= f (log23)，
因为4 (ln2)(ln 4)≤(ln2+ln 4)
2=(ln8)
2<(ln9)
2= 4(ln3)
2，
由于ln2≠ln 4，故上式等号不成立，则(ln2)(ln 4)<(ln3)
2，
又ln3>0,ln2>0，所以ln 4
ln3 <ln3
ln2 ，即log34<log23，即c<log23，
同理可得b<c，所以1<b<c<log23，
所以f (b)<f (c)<f (log23)，即f (b)<f (c)<f (a).
故选：C.
5．（2020·全国II 卷·高考真题）若2
x−2
y<3
−x−3
−y，则（ ）
A．ln( y −x +1)>0
B．ln( y −x +1)<0
C．ln| x−y |>0 D．ln| x−y |<0
【答案】A
【分析】将不等式变为2
x−3
−x<2
y−3
−y，根据f (t )=2
t−3
−t的单调性知x< y，以此去判断各个选项中真
数与1的大小关系，进而得到结果.
【详解】由2
x−2
y<3
−x−3
−y得：2
x−3
−x<2
y−3
−y，
令f (t )=2
t−3
−t，
∵y =2
x为R上的增函数，y =3
−x为R上的减函数，∴f (t )为R上的增函数，
∴x< y，
∵y −x>0，∴y −x +1>1，∴ln ( y −x +1)>0，则A 正确，B 错误；
∵|x−y)与1的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到x , y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
6．（2007·安徽·高考真题）设a>1，且m= loga(a
2+1),n= loga(a−1), p= loga(2a)，则m,n, p的大小关
系为
A．n>m> p
B．m> p>n
C．m>n> p
D．p>m>n
【答案】B
【分析】由函数单调性进行判定，继而比较出大小
【详解】当a>1 时,易知a
2+1>2a，再由以a 为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>p
又∵(a
2+1)−(a−1)=a
2−a+2 恒大于0(二次项系数大于0,根的判别式小于0,函数值恒大于0),即a
2+1>a−1，再
由以a 为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>n
又∵当a>1 时2a 显然大于a−1，同上，可知p>n.
综上∴m>p>n.
故选B.
【点睛】本题考查了运用对数函数的单调性比较函数值的大小，需要熟练掌握并能求解结果，本题较为基
础.
7．（2025·河北·模拟预测）设a= ln3，b=lg3，则（ ）
A．1>a−b>ab
B．1>ab>a−b
C．a−b>1>ab
D．a−b>ab>1
【答案】A
【分析】根据对数换底公式和对数运算性质，结合作差法，变形计算即可.
【详解】∵b=lg3=log103= ln3
ln10 ,则a−b= ln3−ln3
ln10 = ln3(ln10−1)
ln10
, ab= ln3×ln3
ln10
.
命题角度2：作差法
∵3e<10,∴ln(3e)<ln10，ln3+1<ln10,∴ln3<ln10−1,
∴ln3×ln3
ln10
< ln3(ln10−1)
ln10
，即ab<a−b.
b=lg3，所以b+1=lg3+1，
则b+1=lg3+lg10=lg30>lg27=1n27
ln10 >3ln3
1ne
3 =a，
所以b+1>a.即1>a−b.
综上所得，1>a−b>ab.
故选：A.
8．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知a= 1
2 + ln 2,b= 2
3 + ln3
2 ,c = 1
2 + 2ln5
5
，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】B
【分析】利用作差法、对数的运算性质、对数函数的性质比较即可.
【详解】a−b= 1
2 + ln 2−(
2
3 + ln3
2 )=−1
6 + ln 2−ln3
2 =−1
6 + 2ln 2−ln3
2
=−1
6 +
ln 4
3
2
=
3ln 4
3 −1
6
=
ln 64
27e
6
<0，则a<b，
a−c = 1
2 + ln 2−(
1
2 + 2ln5
5 )= ln 2−2ln5
5
= 5ln 2−2ln5
5
= ln32−ln 25
5
>0，
则a>c，所以b>a>c.
故选：B.
9．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知7
p=8，8
q=9，p
r =q，则p，q，r 的大小关系为（ ）
A．r > p>q
B．q> p>r
C．q>r > p
D．p>q>r
【答案】D
【分析】根据指、对数函数的性质，结合基本不等式分析运算.
【详解】由题意可得：p= log78>1,q = log89>1,r = log pq>0，
因为ln7⋅ln 9< (ln7+ ln 9)
2
4
= (ln63)
2
4
< (ln64)
2
4
=(ln 8)
2，即ln7⋅ln 9<(ln 8)
2，
所以p−q = log78−log89= ln 8
ln7 −ln 9
ln 8 = (ln 8)
2−ln7⋅ln 9
ln7⋅ln 8
>0，即p>q，
又因为r = log pq<log p p=1，
所以p>q>r.
故选：D.
10．（2023·云南红河·模拟预测）已知正数m，n 满足m∈(n
−1,1),a= lognm,b= lognm
2,c =(lognm)
3，
则（ ）
A．a>b>c
B．a<b<c
C．b<a<c
D．a<c<b
【答案】C
【分析】利用比差法结合对数函数性质比较a,b,c的大小即可.
【详解】由已知0< 1
n <1，1
n <m<1，所以n>1，
因为b−a= lognm<0，所以b<a，
又因为−1= lognn
−1<lognm<0，所以c−a=[(lognm)
2−1)lognm>0，所以a<c，
所以b<a<c．
故选：C．
11．（2025·广东广州·模拟预测）已知5
7>3
10，4
10>7
7.设a= log47，b=2log72+ log73，c = log925，则
（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【答案】D
【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案.
【详解】由题意可得b= log712，c = log35，
因为5
7>3
10，4
10>7
7，所以两边取对数整理可得log35> 10
7 ，log47< 10
7 ，所以a<c
又a= log47= ln7
ln 4 >1，b= log712= ln12
ln7 >1，a
b = (ln7)
2
ln 4 ln12，
且
❑√ln 4 ln12< ln 4 + ln12
2
= ln 48
2
< ln 49
2
= ln7，即ln 4 ln12<(ln7)
2，
所以a
b >1，a>b，所以b<a<c.
故选：D.
12．（2022·青海西宁·三模）已知m
5= 4，n
8=9，0.9
p=0.8，则正数m，n，p的大小关系为（ ）
A．p>m>n
B．m>n> p
C．m> p>n
D．p>n>m
【答案】A
【分析】由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.
【详解】由m
5= 4，得m= 4
1
5 =2
2
5 <❑√2，由n
8=9，得n=9
1
8 =3
1
4，
因此，m
n = 2
2
5
3
1
4
=(
2
2
5 ×20
3
1
4 ×20)
1
20
=(
2
8
3
5)
1
20 =(
256
243)
1
20 >1，即❑√2>m>n，
命题角度3：作商法
由0.9
p=0.8，得p= log0.90.8>log0.90.81=2，于是得p>m>n，
所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.
故选：A
13．（20-21 高三上·江苏扬州·期中）已知正数x，y，z 满足3
x = 4
y =6
z，则下列说法中正确的是（ ）
A．1
x + 1
2 y = 1
z
B．3 x>4 y >6 z
C．xy >2 z
2
D．x + y >(
❑√3
2 + ❑√2)z
【答案】ACD
【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，
从而确定正确答案.
【详解】正数x，y，z 满足3
x= 4
y =6
z，设3
x = 4
y =6
z=t (t >1)，
则x = log3t，y = log4t，z = log6t．
对于A，1
x + 1
2 y = logt 3+ 1
2 logt 4 = logt 6= 1
z ，故A 正确；
对于B，3 x =3 log3t，4 y = 4 log4t，6 z =6 log6t，
∵3 x
4 y = 3log3t
4 log4t = 3
4 log34<1，∴3 x<4 y，
∵4 y
6 z = 4 log4t
6 log6t = 2
3 log46<1，∴4 y <6 z，∴3 x<4 y <6 z，故B 错误；
对于C，由1
z = 1
x + 1
2 y >2❑√
1
2 xy （x≠2 y），两边平方，可得xy >2 z
2，故C 正确；
对于D，由xy >2 z
2，可得x + y >2❑√xy >2
❑√2 z
2=2❑√2 z>(
❑√3
2 + ❑√2)z（x≠y），故D 正确．
故选：ACD
14．（2017·全国I 卷·高考真题）设x、y、z 为正数，且2
x=3
y =5
z，则
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
【答案】D
【详解】令2
x =3
y =5
z=k(k >1)，则x = log2k，y = log3k，z = log5k
∴2 x
3 y = 2lgk
lg2 ⋅lg3
3lgk = lg9
lg8 >1，则2 x>3 y，
2 x
5 z = 2lgk
lg2 ⋅lg5
5lgk = lg25
lg32 <1，则2 x<5 z，故选D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应
的x , y , z，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，
尤其是换底公式以及0 与1 的对数表示.
15．（2024·全国·模拟预测）若a=2
0.4,b=3
0.25,c =log0.70.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c范围，比较它们的大小；利用作商法比较
a,b的大小，即可得答案.
【详解】因为函数y =2
x在R 上单调递增，所以a=2
0.4<2
0.5= ❑√2．
又a
b = 2
0.4
3
0.25 =(
2
0.4×20
3
0.25×20)
1
20 =(
2
8
3
5)
1
20 =(
256
243)
1
20 >1，所以b<a<❑√2．
因为0.5
2=0.25<0.343，故0.5<❑√0.343=0.7
3
2 , y =log0.7 x在(0,+∞)上单调递减，
所以log0.70.5>log0.70.7
3
2 = 3
2 >❑√2，所以a<c，
所以实数a,b,c的大小关系为b<a<c，
故选：B．
16．（2007·天津·高考真题）设a，b，c均为正数，且2
a= log 1
2
a，( 1
2 )
b
= log 1
2
b，( 1
2 )
c
= log2c．则（
）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<a<c
【答案】A
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出y =2
x, y =( 1
2 )
x
，y = log2 x， y = log 1
2
x的图象，
命题角度4：图像法
y =2
x与 y = log 1
2
x的交点的横坐标为a， y =( 1
2 )
x
与y = log 1
2
x的图象的交点的横坐标为 b，y =( 1
2 )
x
与
y = log2 x的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出
．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出
两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
17．（2025·全国一卷·高考真题）已知2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．y > x> z
D．y > z> x
【答案】B
【分析】法一：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，对m讨论赋值求出x , y , z，即可得出大小关系，
利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以
令m=2，则x =1, y =3
−1= 1
3 , z =5
−3= 1
125，此时x> y > z，A 有可能；
令m=5，则x =8, y =9, z =1，此时y > x> z，C 有可能；
令m=8，则x =2
6=64 , y =3
5=243, z =5
3=125，此时y > z> x，D 有可能；
故选：B．
法二：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以，x =2
m−2, y =3
m−3, z =5
m−5
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y =2
x−2, y =3
x−3, y =5
x−5的图象，以上方程的根分别是函数y =2
x−2, y =3
x−3, y =5
x−5的图象与
直线x =m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x> y > z，y > x> z，y > z> x，z> y > x，
故选：B．
18．（2023 高三·北京·专题练习）若实数x , y , z互不相等，且满足2
x =3
y =log4 z，则（ ）
A．z> x> y
B．z> y > x
C．z> x , z> y
D．以上三个答案都不正确
【答案】C
【分析】令2
x =3
y = log4 z =k >0，然后分别求解出x , y , z，利用指数、对数函数的图象与性质直接判断出
大小关系.
【详解】设2
x =3
y = log4 z =k >0，
则x = log2k，y = log3k，z = 4
k，
根据指数、对数函数图象，且x , y , z互不相等，易得：4
k>log2k，4
k>log3k，
即z> x，z> y，
故选：C
19．（2024·江西南昌·三模）若(
1
2)
a
= log2a，(
1
2)
b
=b
2，c
1
2 =2
−c，则正数a,b,c大小关系是（ ）
A．c<a<b
B．c<b<a
C．a<c<b
D．a<b<c
【答案】B
【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断.
【详解】由(
1
2)
a
= log2a，则a为y =(
1
2)
x
与y = log2 x交点的横坐标，
由(
1
2)
b
=b
2，则b为y =(
1
2)
x
与y = x
2交点的横坐标，
由c
1
2 =2
−c，即c
1
2 =(
1
2)
c
，则c为y =(
1
2)
x
与y = x
1
2交点的横坐标，
作出y =(
1
2)
x
，y = log2 x，y = x
2，y = x
1
2的图象如下所示，
由图可知，c<b<a.
故选：B
20．（2025·福建泉州·模拟预测）若实数x，y，z满足2
x−2=3
y−3=5
z−5，则x，y，z的大小关系不可
能是（ ）
A．x = y = z
B．x> y > z
C．z> y > x
D．z> x> y
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出x , y , z的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令2
x−2=3
y−3=5
z−5=t，得x = log2(t +2), y = log3(t +3), z = log5(t +5),t >−2，
在同一坐标系内作出函数f (t )= log2(t +2), g(t )= log3(t +3),h(t )= log5(t +5),t >−2的图象，
则x , y , z分别是函数y
′ = f (t ), y
′ = g(t ), y
′ =h(t ),t >−2的图象与直线t =a(a>−2)交点的纵坐标，
观察图象得，当−2<a<0时，z> y > x；当a=0时，x = y = z；当a>0时，x> y > z，
因此ABC 都可能，D 不可能.
故选：D
21．（2006·天津·高考真题）P = log23,Q = log32, R = log2(log32)，则（ ）
A．R<Q< P
B．P< R<Q
C．Q< R< P
D．R< P<Q
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合媒介数比较大小.
【详解】依题意，P = log23>log22=1，0= log31<log32<log33=1，
R = log2(log32)<log21=0，所以R<Q< P．
故选：A
22．（2018·天津·高考真题）已知a= log2e，b= ln2，c = log 1
2
1
3，则a，b，c 的大小关系为
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
命题角度5：中间值法
【答案】D
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
a= log2e>1，b= ln 2=
1
log2e ∈(0,1)，c = log 1
2
1
3 = log23>log2e，
据此可得：c>a>b.
本题选择D 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数
不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指
数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
23．（2018·天津·高考真题）已知a= log3
7
2 ,b=( 1
4 )
1
3 ,c = log 1
3
1
5，则a,b,c的大小关系为
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】D
【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c 的大小关
系.
详解：由题意可知：lo g33<lo g3
7
2 <lo g39，即1<a<2，0<(
1
4)
1
3 <(
1
4)
0
=1，即0<b<1，
lo g 1
3
1
5 =lo g35>lo g3
7
2，即c>a，综上可得：c>a>b.本题选择D 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数
不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指
数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
24．（2026·河北沧州·一模）已知a=(
1
3)
0.1
, b= log7
2
3 , c =3log72，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．b<c<a
【答案】B
【分析】引入中间量0,1，可比较a,b,c的大小.
【详解】因为函数y =(
1
3)
x
在R上单调递减，所以0<(
1
3)
0.1
<(
1
3)
0
=1，即0<a<1；
又因为y = log7 x在(0,+ ∞)上单调递增，所以b= log7 2
3 <log71=0，
c =3log72= log72
3= log78>log77 =1，
所以b<0<a<1<c.
故选：B
25．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a=2
0.1，b=0.5
0.2，c =log0.51.1，则（ ）
A．c<b<a
B．b<a<c
C．c<a<b
D．a<b<c
【答案】A
【分析】利用0,1分段法来确定正确答案.
【详解】a=2
0.1>2
0=1，
0<b=0.5
0.2<0.5
0=1，
c =log0.51.1<log0.51=0，
所以c<b<a.
故选：A
26．（2025·上海奉贤·一模）设a、b为实数，且a>b>0，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．a
4>b
2
B．sina>sinb
C．c>0时，(
b
a)
c
>1
D．lna>lnb
【答案】D
【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，应用对数函数单调性判断D.
【详解】因为a、b为实数，且a>b>0，
当a= 1
2 ,b= 1
4 ，a
4= 1
16 =b
2= 1
16，A 选项错误；
当a=2π
3 ,b=π
3 ，sin2π
3 =sinπ
3 ，B 选项错误；
当a=2,b=1,c =1时，(
b
a)
c
= 1
2 <1，C 选项错误；
当a>b>0，所以lna>lnb，D 选项正确；
故选：D.
27．（2025·上海宝山·二模）“a>b”的一个必要非充分条件是（ ）
A．ln (a−b)>0
B．2
a>2
b
C．(
1
2)
a−b
≤1
D．a
3>b
3
【答案】C
【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B 和C 逐一分
析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解.
【详解】对于选项A，由ln (a−b)>0，得到a−b>1>0，即a>b，所以ln (a−b)>0可得a>b，故选项A
错误，
对于选项B，由2
a>2
b，得到a>b，所以2
a>2
b可得a>b，故选项B 错误，
命题角度6：特殊值法
对于选项C，由(
1
2)
a−b
≤1，得到a−b≥0，即a≥b，所以(
1
2)
a−b
≤1推不出a>b，
但a>b可以得出(
1
2)
a−b
≤1，故选项C 正确，
对于选项D，由a
3>b
3，得到a
3−b
3=(a−b)(a
2+ab+b
2)=(a−b)[(a+ 1
2 b)
2
+ 3
4 b
2)>0，
又(a+ 1
2 b)
2
+ 3
4 b
2≥0，当且仅当a=b=0时取等号，显然a=b=0不满足题意，
则a−b>0，即a>b，
又当a>b，有a
3>b
3，所以a
3>b
3是a>b的充要条件，故选项D 错误，
故选：C.
28．（2024·陕西安康·模拟预测）若a,b,c满足2
a>2
b,log3c<0，则（ ）
A．
1
(b−a)c >0
B．a
c>b
c
C．ac>bc
D．a+c>bc
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数性质得a>b,0<c<1，由不等式的性质可判定AC，由特殊值法可判定
BD.
【详解】由2
a>2
b,log3c<0，得a>b,0<c<1，所以b−a<0，所以
1
(b−a)c <0，所以A错误；
令a=−1,b=−2,c = 1
2，此时a
c与b
c无意义，所以B错误；
因为a>b,0<c<1，所以由不等式的性质可得ac>bc，所以C正确；
令a=−2,b=−3,c = 1
2，则a+c =−3
2 =bc，所以D错误.
故选：C.
29．（2023·四川乐山·二模）已知实数a，b满足log2a<log2b<0，则下列各项中一定成立的是（ ）
A．❑√a>❑√b
B．sin 2a<sin 2b
C．logae<logbe
D．a
b<b
a
【答案】D
【分析】由log2a<log2b<0，可得0<a<b<1，根据不等式的性质即可判断A；根据正弦函数的单调性即
可判断B；根据对数函数的单调性及换底公式即可判断C；根据指数函数及幂函数的单调性即可判断D.
【详解】因为log2a<log2b<0，所以0<a<b<1，
则❑√a<❑√b，故A 错误；
当a=π
4 ,b= 11
12时，2a=π
2 <2b= 11
6 <π，所以sin2a>sin2b，故B 错误；
因为0<a<b<1，所以ln a<ln b<0，
所以1
ln a > 1
ln b ，即logae>logbe，故C 错误；
因为0<a<b<1，所以a
b<b
b,b
b<b
a，即a
b<b
a，故D 正确.
故选：D.
30．（2023·湖南岳阳·一模）已知正实数x，y 满足x + y =1，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．x
2+ y
2≥
❑√2
2
B．x
x y
y≤x
y y
x
C．x
x⋅y
y≤1
2
D．y
x⋅x
y≤1
2
【答案】D
【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D.
【详解】取x = y = 1
2，则x
2+ y
2= 1
4 + 1
4 = 1
2 ≥
❑√2
2 不成立，故A 错误；
由x
x y
y
x
y y
x =( x
y )
x−y
，当1> x> y >0时，x
y >1, x−y >0，所以( x
y )
x−y
>( x
y )
0
=1，
即x
x y
y> x
y y
x，故B 错误；
取x = 1
3 , y = 2
3时，x
x⋅y
y =(
1
3)
1
3(
2
3)
2
3 =(
1
3 × 4
9)
1
3 =(
4
27)
1
3，而4
27 >(
1
2)
3
= 1
8，
所以x
x⋅y
y> 1
2，故C 错误；
由ABC 错误，排除法知，故D 正确.
故选：D
31．（2022·全国甲卷·高考真题）已知9
m=10,a=10
m−11,b=8
m−9，则（ ）
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m= log910>1，再利用基本不等式，换底公式
可得m>lg11，log89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由9
m=10可得m= log910= lg10
lg9 >1，而lg9lg11<(
lg9+lg11
2
)
2
=(
lg99
2 )
2
<1=(lg10)
2，所以
lg10
lg9 > lg11
lg10，即m>lg11，所以a=10
m−11>10
lg11−11=0.
又lg8lg10<(
lg8+lg10
2
)
2
=(
lg80
2 )
2
<(lg9)
2，所以lg9
lg8 > lg10
lg9 ，即log89>m，
所以b=8
m−9<8
log89−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
命题角度7：构造函数法
由9
m=10，可得m= log910∈(1,1.5)．
根据a,b的形式构造函数f ( x)= x
m−x−1( x>1) ，则f
′( x)=m x
m−1−1，
令f
′( x)=0，解得x0=m
1
1−m ，由m= log910∈(1,1.5) 知x0∈(0,1) .
f ( x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f (10)>f (8) ，即 a>b ，
又因为f (9)=9
log910−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f ( x)= x
m−x −1( x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是
该题的最优解．
32．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【答案】C
【分析】构造函数f ( x)= ln(1+ x)−x， 导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.
【详解】方法一：构造法
设f ( x)= ln(1+ x)−x( x>−1)，因为f
′( x)=
1
1+ x −1=−
x
1+ x ，
当x∈(−1,0)时，f
′( x)>0，当x∈(0,+∞)时f
′( x)<0，
所以函数f ( x)= ln(1+ x)−x在(0,+ ∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，
所以f ( 1
9 )<f (0)=0，所以ln 10
9 −1
9 <0，故1
9 >ln 10
9 =−ln 0.9，即b>c，
所以f (−1
10 )<f (0)=0，所以ln 9
10 + 1
10 <0，故9
10 <e
−1
10，所以1
10 e
1
10 < 1
9
，
故a<b，
设g( x)= x e
x+ ln(1−x)(0< x<1)，则g
′( x)=(x +1)e
x+
1
x−1 = (x
2−1)e
x+1
x−1
,
令h( x)=e
x( x
2−1)+1，h
′( x)=e
x( x
2+2 x−1)，
当0< x<❑√2−1时，h
′( x)<0，函数h( x)=e
x( x
2−1)+1单调递减，
当❑√2−1< x<1时，h
′( x)>0，函数h( x)=e
x( x
2−1)+1单调递增，
又h(0)=0，
所以当0< x<❑√2−1时，h( x)<0，
所以当0< x<❑√2−1时，g
′( x)>0，函数g( x)= x e
x+ ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e
0.1>−ln 0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
解： a=0.1e
0.1 ， b=
0.1
1−0.1 ， c =−ln(1−0.1) ，
① ln a−ln b=0.1+ ln(1−0.1) ，
令 f ( x)= x + ln(1−x), x∈(0,0.1],
则 f ′( x)=1−
1
1−x = −x
1−x <0 ，
故 f ( x) 在 (0,0.1] 上单调递减，
可得 f (0.1)<f (0)=0 ，即 ln a−ln b<0 ，所以 a<b ；
② a−c =0.1e
0.1+ ln(1−0.1) ，
令 g( x)= x e
x+ ln(1−x), x ∈(0,0.1],
则 g'( x)= x e
x+e
x−
1
1−x = (1+ x)(1−x)e
x−1
1−x
，
令 k( x)=(1+ x)(1−x)e
x−1 ，所以 k ′( x)=(1−x
2−2 x)e
x>0 ，
所以 k( x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k( x)>k(0)>0 ，即 g′( x)>0 ，
所以 g( x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a−c>0 ，所以 a>c .
故 c<a<b.
33．（2025·湖北·模拟预测）已知a= 1
4 cos 1
4 ，b=sin 1
4 ，c = ln 4
3 ，则（ ）
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<b<c
D．a<c<b
【答案】C
【分析】根据a,b,c的数字特征分别构造函数f (x)= tan x−x(0< x<π
2 )、
g(x)=sin x + ln (1−x)(0< x<1)，利用导数可求得f (x),g(x)单调性，由f(
1
4)>f (0)=0和
g(
1
4)< g(0)=0可确定a,b,c的大小关系.
【详解】令f (x)= tan x−x(0< x<π
2 )，则f
′ (x)=
1
cos
2 x
−1= 1−cos
2 x
cos
2 x
= tan
2 x>0，
∴f (x)在(0,π
2 )上单调递增，∴f(
1
4)>f (0)=0，
即tan 1
4 > 1
4 ，∴
sin 1
4
cos 1
4
> 1
4 ，又cos 1
4 >0，∴sin 1
4 > 1
4 cos 1
4 ，即a<b；
令g(x)=sin x + ln (1−x)(0< x<1)，则g
′ (x)=cos x−
1
1−x ，
令h(x)= g
′ (x)，则h
′ (x)=−sin x−
1
(1−x)
2 <0，∴g
′ (x)在(0,1)上单调递减，
∴g
′ (x)<g
′ (0)=0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，
∴g(
1
4)< g(0)=0，即sin 1
4 <−ln 3
4 = ln 4
3 ，∴b<c；
综上所述：a<b<c.
故选：C.
34．（24-25 高三上·山西吕梁·月考）已知a=2023
2025，b=2024
2024，c =2025
2023，则（ ）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【答案】C
【分析】对a,b,c分别取对数并作商，再构造函数f ( x)= ln x
x +1 , g( x)= ln( x +1)
x
, x>e
2，利用导数探讨单
调性即可比较大小.
【详解】由a=2023
2025,b=2024
2024,c =2025
2023，得ln a
ln b =
ln 2023
2024
ln 2024
2025
, ln b
ln c =
ln 2024
2023
ln 2025
2024
，
令f ( x)= ln x
x +1 , x>e
2，求导得f
′( x)=
1+ 1
x −ln x
( x +1)
2
，令h( x)=1+ 1
x −ln x , x>e
2，
求导得h
′( x)=−1
x
2 −1
x <0，函数h( x)在(e
2,+ ∞)上单调递减，h( x)<h(e
2)= 1
e
2 −1<0，
即f
′( x)<0，函数f ( x)在(e
2,+ ∞)上单调递减，则f (2023)>f (2024)>0，
即ln a
ln b = f (2023)
f (2024) >1，ln a>ln b，因此a>b；
令g( x)= ln( x +1)
x
, x>e
2，求导得g
′( x)=
x
x +1 −ln( x +1)
x
2
，当x>e
2时，ln( x +1)>1>
x
x +1，
即g
′( x)<0，函数g( x)在(e
2,+ ∞)上单调递减，则g(2024)> g(2025)>0，
即ln b
ln c = g(2024)
g(2025) >1，ln b>ln c，因此b>c，
所以a>b>c.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键.
35．（2024·广东·二模）已知98
t =108，a=92
t−102，b=99
t−109，则a，b 的大小关系是（ ）
A．b>a>0
B．0>b>a
C．a>0>b
D．b>0>a
【答案】D
【分析】通过分析法可知只需比较log92102= ln102
ln 92 ,log99109= ln109
ln 99 ,log98108= ln108
ln 98 的大小关系，
从而构造函数f (x)=
ln x
ln (x−10) ,(x>10)，利用f (x)的单调性以及对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为98
t =108，所以t = log98108，
所以要比较a=92
log98108−102与0 的大小关系，只需比较log98108,log92102的大小关系，
同理要比较a,b,0的大小关系只需比较log92102= ln102
ln 92 ,log99109= ln109
ln 99 ,log98108= ln108
ln 98 的大小关
系，
我们构造函数f (x)=
ln x
ln (x−10) ,(x>10)，
则f
′ (x)=
ln (x−10)
x
−ln x
x−10
ln
2(x−10)
<
ln (x−10)
x−10
−ln x
x−10
ln
2(x−10)
= ln (x−10)−ln x
(x−10)ln
2(x−10)
<0，
这意味着f (x)=
ln x
ln (x−10)在(10,+∞)是减函数，
从而log92102= ln102
ln 92 = f (102)>log98108= ln108
ln 98 = f (108)>log99109= ln109
ln 99 = f (109)，
所以a=92
log98108−102<0<b=99
log98108−109，即b>0>a.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键是通过适当分析，构造出恰当的函数，利用该函数单调性即可顺利比较大小.
36．（23-24 高三下·浙江·开学考试）已知a>1,b>0，若
❑√a+log2a=b+log2b，则（ ）
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b
2
D．a<b
2
【答案】D
【分析】根据特殊值法、等式构造不等式，再根据不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性进行判
断即可.
【详解】当a= 4时，
❑√a+log2a=b+log2b= 4⇒b+log2b−4 =0，
函数g(x)= x + log2 x−4是正实数集的上的增函数，
因为g(2)g(4)=−1×2<0，因此b∈(2,4)⇒2b∈(4,8)，显然a<2b，
因此选项A 不正确；
当a=16时，
❑√a+log2a=b+log2b=8⇒b+log2b−8=0，
命题角度8：不等式放缩法
函数h(x)= x + log2 x−8是正实数集的上的增函数，
因为h(4)g(8)=−2×3<0，因此b∈(4,8)⇒2b∈(8,16)，显然a>2b，
因此选项B 不正确；
因为a>1，所以log2a>0
由
❑√a+log2a= ❑√a+2log2
❑√a>❑√a+log2
❑√a⇒b+log2b>❑√a+log2
❑√a，
构造函数f (x)= x + log2 x (x>0)，显然该函数单调递增，
由b+log2b>❑√a+log2
❑√a⇒f (b)>f (❑√a)⇒b>❑√a⇒b
2>a，因此选项C 不正确，选项D 正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用放缩法、构造函数法进行求解判断.
37．（22-23 高一上·四川绵阳·期末）已知a= log32，b= log43，c =sinπ
6 ，比较a，b，c 的大小为
（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
【答案】D
【分析】易得c = 1
2，a，b> 1
2.又a−b= ln2
ln3 −ln3
ln 4 = ln2⋅ln 4−(ln3)
2
ln3⋅ln 4
，比较ln 2⋅ln 4−(ln3)
2与0 的
大小即可.
【详解】c =sinπ
6 = 1
2，因函数y =lo g3 x，y =lo g4 x在(0,+ ∞)上单调递增，
则a= log32>log3
❑√3= 1
2，b= log43>log42= 1
2.
a−b= ln 2
ln3 −ln3
ln 4 = ln 2⋅ln 4−(ln3)
2
ln3⋅ln 4
，因ln2，ln 4>0，则
ln2+ ln 4>2❑√ln2⋅ln 4⇒ln2⋅ln 4< 1
4
(ln 8)
2< 1
4
(ln 9)
2=(ln3)
2.
故a<b，综上有b>a>c.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因1
2 <a，b<1，难以找到中间量，故结合换
底公式做差，后再利用基本不等式比较a，b大小.
38．（2025·江西·模拟预测）已知a= log23−log35，b= log57−log79，则（ ）
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
【答案】A
【分析】根据对数的运算性质与运算法则，结合对数函数的单调性，化简运算，即可求解.
【详解】由对数的运算性质，可得log23>log22❑√2= 3
2 ,log35<log33 ❑√3= 3
2，
则a= log23−log35>0；
又由0<lg5<lg7<lg9，则b= log57−log79= lg7
lg5 −lg9
lg7 = (lg7)
2−lg5lg9
lg5lg7
>
(lg7)
2−( lg5+lg9
2
)
2
lg5lg7
= (lg7)
2−(lg3 ❑√5)
2
lg5lg7
= (lg7+lg3 ❑√5)(lg7−lg3 ❑√5)
lg5lg7
，
因为49>45，可得7>3 ❑√5，所以lg7−lg3 ❑√5>0，所以b>0.
故选：A.
39．（2025·北京海淀·一模）已知四个数a=lg2+lg5
2
，b= ❑√lg2⋅lg5，c =lg2，d =lg5，其中最小
的是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
【答案】C
【分析】利用对数函数单调性可求得0<lg2<lg5，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大
小，即可得出结论.
【详解】易知0<lg2<lg5，所以可得lg2<lg2+lg5
2
<lg5，
即c<a<d；
再由基本不等式可得
❑√lg2⋅lg5<lg2+lg5
2
，即b<a；
显然lg2= ❑√lg2⋅lg2<❑√lg2⋅lg5，即c<b；
因此可得c<b<a<d，即最小的是c.
故选：C
40．（2025·广西柳州·三模）已知13
7<21
6，34
6<21
7，设a=log3421，b=log2113，c =log138，则
（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性、不等式的性质及基本不等式比较大小.
【详解】由13
7<21
6，得log2113
7<log2121
6，即7 log2113<6，则log2113< 6
7 ，
由34
6<21
7，得log3434
6<log3421
7，即6<7 log3421，则log3421> 6
7 ，
log2113>0,log138>0，则log138
log2113 = log138log1321<( log138+ log1321
2
)
2
=(log13
❑√168)
2<1，
因此log138<log2113，所以log138<log2113<log3421，即c<b<a.
故选：D
41．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知实数x , y , z∈(0,π
2 )，且满足xsin x = y
2= ztan z，则（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．z> x> y
D．z> y > x
【答案】A
【分析】构造函数f (t )=t −sin t ,t ∈(0,π
2 )，利用导数判断其单调性，然后可得t sint <t
2，结合已知可
比较x , y的大小；构造函数g(t )= tan t −t ,t ∈(0,π
2 )可比较y , z的大小，然后可得答案.
【详解】记f (t )=t −sin t ,t ∈(0,π
2 )，则f
′ (t )=1−cost >0，f (t )在(0,π
2 )上单调递增，
所以，当t ∈(0,π
2 )时，f (t )=t −sin t >f (0)=0，即t >sin t，所以t sint <t
2，
因为x , y , z∈(0,π
2 )，xsin x = y
2，所以y
2< x
2，所以y < x；
记g(t )= tan t −t ,t ∈(0,π
2 )，则g
′ (t )=(
sint
cost)
′
−1=
1
cos
2t
−1>0，
所以g(t )在(0,π
2 )上单调递增，
所以，当t ∈(0,π
2 )时，g(t )= tan t −t > g(0)=0，即tant >t，所以t tan t >t
2，
因为x , y , z∈(0,π
2 )，z tan z = y
2，所以z tan z = y
2> z
2，所以y > z.
综上，x> y > z.
故选：A
42．（2025·江西·模拟预测）设a= 2025
2024 ,b=e
1
2025 ,c = 2026
2025
，则（ ）
A．a>c>b
B．b>a>c
C．c>a>b
D．a>b>c
【答案】D
【分析】构造函数f ( x)=e
x−1−x，利用导数判断出单调性，再利用单调性可得答案.
【详解】令f ( x)=e
x−1−x，则f
′( x)=e
x−1−1，令f
′( x)<0，得x<1；
令f
′( x)>0，得x>1，
故f ( x)=e
x−1−x在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f(
2026
2025)>f (1),f(
2024
2025)>f (1)，
命题角度9：常见切线放缩法
即e
2026
2025 −1
−2026
2025 >0,e
2024
2025 −1
−2024
2025 >0，
得e
1
2025 > 2026
2025 ,e
−
1
2025 > 2024
2025
，即
1
e
1
2025
> 2024
2025 ，所以e
1
2025 < 2025
2024
，
所以2025
2024 >e
1
2025 > 2026
2025
，即a>b>c.
故选：D.
43．（2025·重庆·三模）设a=e
tan 1
5 ,b=ln2.5,c = 7
6 ,则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
【答案】B
【分析】令f (x)= tan x−x ,(0< x<π
2 )，求导分析单调性，再结合e
x> x +1, x>0和对数的性质比较可得.
【详解】令f (x)= tan x−x ,(0< x<π
2 )，则f
′ (x)= cos
2 x +sin
2 x
cos
2 x
−1= tan
2 x>0，
所以f (x)在(0,π
2 )上单调递增，
所以tan 1
5 > 1
5，即e
tan 1
5 >e
1
5，
又e
x> x +1, x>0，即e
1
5 >1+ 1
5 = 6
5 > 7
6 >1，可得a>c>1，
b= ln 2.5<lne=1，所以c>b，
综上a>c>b.
故选：B.
44．（2025·广东中山·模拟预测）设a= 1
4 ，b=2ln(sin 1
8 +cos 1
8)，c = 5
4 ln 5
4 ，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<a<c
D．c<b<a
【答案】B
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性得到一些不等式关系，再对a、b、c进行变形，然后利用这些
不等式关系比较a、b、c的大小.
【详解】已知b=2ln(sin 1
8 +cos 1
8 )，根据对数运算法则ln M
n=n ln M，
可得b= ln(sin 1
8 +cos 1
8 )
2
.
由完全平方公式(m+n)
2=m
2+2mn+n
2，则(sin 1
8 +cos 1
8 )
2
=sin
2 1
8 +2sin 1
8 cos 1
8 +cos
2 1
8
.
根据三角函数的平方关系sin
2α +cos
2α =1以及二倍角公式sin2α =2sin α cosα，
所以(sin 1
8 +cos 1
8 )
2
=1+sin 1
4 ，即b= ln(1+sin 1
4 ).
又已知c = 5
4 ln 5
4 ，可变形为c =(1+ 1
4 )ln(1+ 1
4 ).
设h( x)= x−sin x，x∈(0,+ ∞).
对h( x)求导，可得h
′( x)=1−cos x.
因为cos x的值域是[−1,1]，所以1−cos x ≥0，这表明h( x)在(0,+∞)上单调递增.
那么h( x)>h(0)，把x =0代入h( x)得h(0)=0−sin 0=0，所以x>sin x在(0,+∞)上恒成立.
令x = 1
4 ，则1
4 >sin 1
4 ，即a>sin 1
4 .
设g( x)= x−ln( x +1)，x∈(0,+∞).
对g( x)求导，可得g
′( x)=1−
1
x +1 =
x
x +1.
因为x∈(0,+ ∞)，所以x
x +1 >0，即g
′( x)>0在(0,+∞)上恒成立，这表明g( x)在(0,+ ∞)上单调递增.
所以g( x)>g(0)，把x =0代入g( x)得g(0)=0−ln(0+1)=0，则x>ln( x +1)在(0,+∞)上恒成立.
令x =sin 1
4 ，则ln(1+sin 1
4 )<sin 1
4 ，又因为a>sin 1
4 ，所以ln(1+sin 1
4 )< 1
4 ，即a>b.
设f ( x)= ln( x +1)−
x
x +1，对f ( x)求导，可得f
′( x)=
1
x +1 −
1
( x +1)
2 =
x
( x +1)
2.
因为x∈(0,1]时，
x
( x +1)
2 >0，所以f
′( x)>0在(0,1]上恒成立，这表明f ( x)在(0,1]上单调递增.
所以f ( x)>f (0)，把x =0代入f ( x)得f (0)= ln(0+1)−
0
0+1 =0，
即ln( x +1)>
x
x +1在(0,1]上恒成立.
令x = 1
4 ，则ln(1+ 1
4 )>
1
4
1+ 1
4
= 1
5，得到5
4 ln 5
4 > 1
4 ，即c>a.
综上，c>a>b， 即b<a<c.
故选：B
45．（2024·河南·模拟预测）已知a=e
1
19 ,b= 19
18 ,c =1+ln 37
35
，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】A
【分析】根据a=e
1
19 ,b= 19
18
式子结构特征构造函数f (x)=e
x−x−1，利用单调性判断可得a<b，再令
g(x)= ln (x +1)−2 x
x +2 , x>0，求导判断出单调性可得c>b，即可求得结果.
【详解】由a=e
1
19 ,b= 19
18
可构造函数f (x)=e
x−x−1，
则f
′ (x)=e
x−1，令f
′ (x)=0，解得x =0，
因此可得当x∈(0,+ ∞)时，f
′ (x)>0，即f (x)在(0,+∞)上单调递增，
当x∈(−∞,0)时，f
′ (x)<0，即f (x)在(−∞,0)上单调递减，
可知f (x)在x =0处取得极小值，也是最小值，所以f (x)≥f (0)=0，
即e
x≥x +1，故e
−x≥−x +1，即1
e
x ≥1−x
当0< x<1时，有e
x<
1
1−x ，所以e
1
19 <
1
1−1
19
= 19
18，可得a<b；
令g(x)= ln (x +1)−2 x
x +2 , x>0，
则g
′ (x)=
1
x +1 −
4
(x +2)
2 =
x
2
(x +1)(x +2)
2 >0，
故g(x)在(0,+∞)上单调递增，
可得g(x)>g(0)=0，即ln (x +1)> 2 x
x +2，
取x = 2
35，则ln(
2
35 +1)>
2× 2
35
2
35 +2
= 1
18，所以1+ ln 37
35 >1+ 1
18 = 19
18，可得c>b；
综上可得，a<b<c.
故选：A
【点睛】方法点睛：比较指数以及对数大小问题时，经常通过观察式子的特征合理构造函数并利用导数求
得单调性即比较得出结论.
46．（22-23 高二下·浙江杭州·期中）已知a=ln ❑√2
2
,b=ln3
6
,c = 1
2e，则a,b,c的大小为（ ）
A．b>c>a
B．a>b>c
C．b>a>c
D．c>b>a
【答案】D
【分析】设f ( x)= ln x
2 x , x>0，利用导数可得f ( x)在(0,e)上单调递增，在(e,+ ∞)上单调递减，从而可得
命题角度10：同构法
c最大，再根据对数的运算性质比较a,b的大小即可.
【详解】解：因为a=ln ❑√2
2
=
1
2 ln2
2
=ln2
4
，c = 1
2e = lne
2e ，
设f ( x)= ln x
2 x , x>0，
则f
′( x)=
1
x ⋅(2 x)−2ln x
(2 x)
2
= 1−ln x
2 x
2
，
所以当x∈(0,e)时，f
′( x)>0，f ( x)单调递增；
当x∈(e,+ ∞)时，f
′( x)<0，f ( x)单调递减；
所以a= f (2)<f (e)=c，b= f (3)<f (e)=c，
又因为a=ln2
4 =3ln2
12 =ln8
12 <ln9
12 =2ln3
12 =ln3
6 =b，
所以c>b>a.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，
然后结合对数运算，利用作差法比较可得.
47．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数f ( x)= x
2−cos x，则f(
ln 2
2 )，f(−ln3
3 )，f(−ln5
5 )的大
小关系为（ ）
A．f(−ln5
5 )<f(−ln3
3 )<f(
ln 2
2 )
B．f(
ln 2
2 )<f(−ln5
5 )<f(−ln3
3 )
C．f(−ln5
5 )<f(
ln 2
2 )<f(−ln3
3 )
D．f(−ln3
3 )<f(−ln5
5 )<f(
ln 2
2 )
【答案】C
【分析】先判断函数f (x)= x
2−cos x的奇偶性，利用导数判断函数f (x)的单调性，令g(x)= ln x
x , x ≥3，
利用导数判断g(x)的单调性，从而可得1> ln3
3 > ln 4
4 >1n5
5 >0，进而可得函数值的大小．
【详解】∵f (x)= x
2−cos x，
∴f (−x)=(−x)
2−cos(−x)= x
2−cos x = f (x)，∴f (x)是偶函数，
f
′ (x)=2 x +sin x，
当0< x<1时，f
′ (x)>0，故函数f (x)在(0,1)上单调递增，
令g(x)= ln x
x , x ≥3，则g
′ (x)= 1−ln x
x
2
<0，
即函数g(x)在[3,+∞)上单调递减，故g(3)>g(4)>g(5)，
即1> ln3
3 > ln 4
4 >1n5
5 >0，而ln 4
4 =1n2
2 ，
所以f(
ln3
3 )>f(
ln 2
2 )>f(
ln5
5 )，
∴f(−ln5
5 )<f(
ln 2
2 )<f(−ln3
3 )．
故选：C．
48．（2025·广东佛山·一模）若e
a+lnb>a+b，则下列结论可能成立的是（ ）
A．0<a<lnb
B．lnb<a<0
C．1<e
a<b
D．e
a<b<1
【答案】D
【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可.
【详解】依题意得e
a−a>b−lnb，则e
a−a>b−lnb=e
lnb−lnb，
令f (x)=e
x−x，则f (a)>f (lnb).
因为f (x)=e
x−x，求导得f
′ (x)=e
x−1，
易得f (x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，
当a，lnb∈(−∞,0)时，a<lnb<0，即e
a<b<1，B 错误，D 正确.
当a，lnb∈(0,+∞)时，0<lnb<a，即1<b<e
a，A 和C 错误.
故选：D.
49．（2025·山西·三模）设a=e
2
4−ln 4 ，b= 2
ln2 ，c =e，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．c<a<b
D．b<c<a
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而利用单调性比较大小.
【详解】设f (x)=
x
ln x
(x ≥e)，
则a=
e
2
2
lne
2
2
= f(
e
2
2)，b= 2
ln2 =
4
ln 4 = f (4)，c =e=e
lne = f (e)，
因为f
′ (x)=ln x−1
(ln x)
2 ，当x>e时，f
′ (x)>0，所以f (x)在(e,+ ∞)上单调递增．
又e<e
2
2 <4，所以c<a<b．
故选：C
50．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知α、β ∈(0,π
2 )，且e
α−2sin α −1=e
β−2cos β =0，则（ ）
A．α > β
B．α = β
C．α < β
D．无法确定α、β的大小
【答案】A
【分析】构造函数f (x)=e
x−2cos x、g(x)=e
x−2sin x−1，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零
点存在定理可得出α、β的大小关系.
【详解】令f (x)=e
x−2cos x，则f
′ (x)=e
x+2sin x，
当x∈(0,π
2 )时，sin x>0，故f
′ (x)=e
x+2sin x>0恒成立，
故f (x)=e
x−2cos x在(0,π
2 )上单调递增，
又f (0)=1−2=−1<0，f(
π
4 )=e
π
4 −❑√2>❑√e−❑√2>0，
由零点存在定理得β ∈(0,π
4 )，
令g(x)=e
x−2sin x−1，则g
′ (x)=e
x−2cos x，
由上面的求解可知g
′ (x)=e
x−2cos x在(0,π
2 )上单调递增，
且存在β ∈(0,π
4 )，使得g
′ (β)=0，
当x∈(0, β)时，g
′ (x)<0，当x∈(β ,π
2 )时，g
′ (x)>0，
所以g(x)=e
x−2sin x−1在(0, β)上单调递减，在(β ,π
2 )上单调递增，
又g(0)=0，g(
π
2 )=e
π
2 −3>e
3
2 −3>(2.5)
3
2 −3>0，
故g(x)的零点α ∈(β ,π
2 )，g(α )=0，所以α > β.
故选：A.
51．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知a=ln1.2,b=0.2,c = ❑√1.2−1，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．c<b<a
D．a<b<c
【答案】B
【分析】构造函数f (x)= x−ln(1+ x)(x>0)，由导数得出单调性即可得出b>a，构造
g(x)=ln(1+ x)−(❑√1+ x−1)，由导数得出单调性，即可得出a>c．
【详解】构造函数f (x)= x−ln(1+ x)(x>0),f
′ (x)=1−
1
1+ x =
x
1+ x ，
命题角度11：泰勒展开式估值
当x>0时，f
′ (x)>0，故f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，
所以f (0.2)=0.2−ln1.2>f (0)=0⇒b>a，
构造函数g(x)=ln(1+ x)−(❑√1+ x−1)，
则g
′ (x)=
1
1+ x −
1
2❑√1+ x = 2−❑√1+ x
2(1+ x) ，
当x∈(0,2), g
' (x)>0, g(x)在(0,2)单调递增，
所以g(0.2)=ln1.2−(❑√1.2−1)> g(0)=ln1−(1−1)=0，即a>c，
所以c<a<b.
故选：B．
52．（2022·全国甲卷·高考真题）已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【分析】由c
b = 4tan 1
4 结合三角函数的性质可得c>b;构造函数f (x)=cos x + 1
2 x
2−1, x∈(0,+∞),利用
导数可得b>a,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当x∈(0,π
2 ), x<tan x
故c
b = 4 tan 1
4 >1，故c
b >1，所以c>b；
设f ( x)=cos x + 1
2 x
2−1, x∈(0,+ ∞)，
f
′( x)=−sin x + x >0，所以f ( x)在(0,+∞)单调递增，
故f(
1
4)>f (0)=0，所以cos 1
4 −31
32 >0，
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当x∈(0,π
2 ),sin x< x，
取x = 1
8得：cos 1
4 =1−2sin
2 1
8 >1−2(
1
8)
2
= 31
32，故b>a
4 sin 1
4 +cos 1
4 = ❑√17sin(
1
4 +φ)，其中φ∈(0, π
2)，且sin φ =
1
❑√17 ,cosφ =
4
❑√17
当4 sin 1
4 +cos 1
4 = ❑√17时，1
4 +φ= π
2 ，及φ= π
2 −1
4
此时sin 1
4 =cosφ =
4
❑√17 ，cos 1
4 =sin φ =
1
❑√17
故cos 1
4 =
1
❑√17 <
4
❑√17 =sin 1
4 <4 sin 1
4 ，故b<c
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法三]：泰勒展开
设x =0.25，则a= 31
32 =1−0.25
2
2
，b=cos 1
4 ≈1−0.25
2
2
+ 0.25
4
4! ，
c = 4sin 1
4 =
sin 1
4
1
4
≈1−0.25
2
3! + 0.25
4
5!
，计算得c>b>a，故选A.
[方法四]：构造函数
因为c
b = 4 tan 1
4 ，因为当x∈(0,π
2 ),sin x< x<tan x，所以tan 1
4 > 1
4 ,即c
b >1，所以c>b；设
f ( x)=cos x + 1
2 x
2−1, x∈(0,+ ∞)，f
′( x)=−sin x + x >0，所以f ( x)在(0,+ ∞)单调递增，则
f(
1
4)>f (0)=0,所以cos 1
4 −31
32 >0，所以b>a,所以c>b>a，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为c
b = 4 tan 1
4 ，因为当x∈(0,π
2 ),sin x< x<tan x，所以tan 1
4 > 1
4 ,即c
b >1，所以c>b；因为当
x∈(0,π
2 ),sin x< x，取x = 1
8得cos 1
4 =1−2sin
2 1
8 >1−2(
1
8)
2
= 31
32，故b>a，所以c>b>a．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈(0,π
2 ),sin x< x<tan x放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
53．（2021·全国乙卷·高考真题）设a=2ln1.01，b= ln1.02，c = ❑√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小关系，
将0.01 换成x,分别构造函数f (x)=2ln (1+ x)−❑√1+ 4 x +1,g(x)= ln (1+2 x)−❑√1+ 4 x +1，利用导数分析
其在0 的右侧包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
a=2ln1.01 = ln1.01
2 = ln (1+0.01)
2 = ln(1+2×0.01+0.01
2) >ln1.02=b，
所以b<a；
下面比较c与a,b的大小关系.
记f (x)=2ln (1+ x)−❑√1+ 4 x +1，则f (0)=0，f
′ (x)=
2
1+ x −
2
❑√1+ 4 x = 2(❑√1+ 4 x−1−x)
(1+ x)❑√1+ 4 x
，
由于1+ 4 x −(1+ x)
2=2 x −x
2= x (2−x)
所以当0<x<2 时，1+ 4 x−(1+ x)
2>0，即❑√1+ 4 x>(1+ x)，f
′ (x)>0，
所以f (x)在[0,2)上单调递增，
所以f (0.01)>f (0)=0，即2ln1.01>❑√1.04−1，即a>c；
令g(x)= ln (1+2 x)−❑√1+ 4 x +1，则g(0)=0，g
' (x)=
2
1+2 x −
2
❑√1+ 4 x = 2(❑√1+ 4 x−1−2 x)
(1+2 x)❑√1+ 4 x
，
由于1+ 4 x−(1+2 x)
2=−4 x
2，在x>0 时，1+ 4 x−(1+2 x)
2<0，
所以g
′ (x)<0，即函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0，即ln1.02<❑√1.04−1，即
b<c；
综上，b<c<a，
故选：B.
[方法二]：
令f (x)=ln(
x
2+1
2 )−x−1( x>1)
f
′ (x)=- (x−1)
2
x
2+1
<0，即函数f ( x)在（1，+∞)上单调递减
f (❑√1+0.04)<f (1)=0,∴b<c
令g(x)=2ln(
x
2+3
4 )−x +1(1< x<3)
g
′ (x)= (x−1)(3−x)
x
2+3
>0，即函数g( x)在（1，3)上单调递增
g(❑√1+0.04)⟨g(1)=0,∴a)c
综上，b<c<a，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
54．（2022·江西萍乡·三模）设a=2ln1.01，b= ❑√1.02−1，c = 1
101，则（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<a<c
D．c<b<a
【答案】D
【分析】令f ( x)= ln x , g( x)= ❑√x−1，h( x)= f ( x)−g( x)= ln x−❑√x +1，求导研究函数h( x)的单调性，
从而得到a>b，利用不等式的性质比较得出b>c，从而求得答案.
【详解】令f ( x)= ln x , g( x)= ❑√x−1，
h( x)= f ( x)−g( x)= ln x−❑√x +1，
h
′( x)= 1
x −
1
2❑√x = 2−❑√x
2 x
，可以判断h( x)在[0,4)上单调递增，
a−b=2ln1.01−❑√1.02+1= ln1.01
2−❑√1.01+1= ln1.0201−❑√1.02+1
>ln1.02−❑√1.02+1=h(1.02)>h(1)=0，
所以a>b，
(b+1)
2−(c +1)
2=1.02−(1+ 1
101 )
2
= 2
100 −2
101 −
1
101
2 = 202−200
100×101 −
1
101
2 =
2
100×101 −
1
101
2 >0，
所以(b+1)
2>(c +1)
2，
又因为b= ❑√1.02−1>0，c = 1
101 >0，
所以b+1>c +1，即b>c，所以c<b<a，
故选：D.
55．（23-24 高三上·重庆渝中·月考）设a=ln1.02，b= 1
60，c =sin0.02，则（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．b>c>a
D．a>c>b
【答案】B
【分析】通过构造函数应用导函数正负判断函数单调性应用单调性比较大小即可.
【详解】显然b= 1
60 =
0.02
1+10×0.02，设f ( x)=ln(1+ x)−
x
1+10 x (0< x<1)，则
f
′( x)=
1
1+ x −
1
(1+10 x)
2 >0 (0< x<1)，所以f ( x)在(0,1)上单调递增，
∴f (0.02)>f (0)=0⇒a=ln1.02> 1
60 =b.设p( x)=ln(1+ x)−sin x，x∈(0,1)，则
p
'( x)=
1
( x +1) −cos x.
又设q( x)= p
'( x)=
1
( x +1) −cos x，q
'( x)=−
1
( x +1)
2 +sin x在x∈(0,1)上单调递增，
∵q
′(0)=−1<0，q
'(1)=−1
4 +sin1>0，∴∃t ∈(0,1)，使q
′(t )=0，
所以q( x)在(0,t )上单调递减，在(t ,1)上单调递增.因为q(0)=0，q(1)= 1
2 −cos1<0，所以q( x)<0在
(0,1)上恒成立，
所以p( x)在(0,1)上单调递减，所以p( x)< p(0)=0，所以p(0.02)<0，即ln1.02<sin0.02，
所以a<c，故c>a>b.
故选:B.
