文档文本内容
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正方形
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1、掌握正方形的概念、判定与性质，理解正方形与平行四边形的之间的联系；
2、会用正方形的性质解决简单的证明和计算问题；
3、从正方形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点．
1．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有
四条对称轴．
2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或2 进行判定．
3．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的____相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转____；
②旋转____；
③旋转____．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
4．命题与定理
（1）判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
（2）有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2
（3）定理是真命题，但真命题不一定是定理．
（4）命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面
解的部分是结论．
（5）命题的“真”“假”指的是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的
正
确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y=kx+b，（k≠0，k，b 为常数）的图象是一条____．它与x 轴的交点坐标是（﹣，
0）；与y 轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于____长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的任意
一
条直角边．
7．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
8．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平
行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四
边形．
参考答案：
3
1.（2）①直角
3.（1）①距离（2）①中心；②方向；③角度
4.（1）一半
5. 直线
6.（1）斜边
1.正方形的性质．
【例1】（2014•天津塘沽中学期末）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）
A．8 B．4
C．8
D．16
【解析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积= ×4×4=8．
故选：A．
练1. 如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为2
，若直线l 满足：
①点D 到直线l 的距离为
；
②A、C 两点到直线l 的距离相等．
则符合题意的直线l 的条数为（ ）
A．1
B．2 C．3
D．4
【解析】连接AC 与BD 相交于O，根据正方形的性质求出OD=
，然后根据点到直线的距离和平行
解：如图，连接AC 与BD 相交于O，
∵正方形ABCD 的对角线BD 长为2
，
∴OD=
，
∴直线l∥AC 并且到D 的距离为
，
同理，在点D 的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2 条直线l．
故选：B．
练2. 如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第
三个正方形AEGH，如此下去，第n 个正方形的边长为 ．
4
【解析】首先求出AC、AE、HE 的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+12，AC=
；
同理可求：AE=（
）2，HE=（
）3…，
∴第n 个正方形的边长an=（
）n﹣1．
故答案为（
）n﹣1．
2.正方形的判定．
【例2】（2014•哈尔滨师大附月考）下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【解析】根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进行分析，
从而得到答案．
解：A、矩形是对边平行且相等，加上一组邻边相等，正好属于正方形，故A 选项正确；
B、菱形的对角线是相互垂直的，加上对角线相等，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四
边形是正方形这一性质，故B 选项正确；
C、矩形的对角线是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合对角线互相垂直平分且相等
的四边形是正方形这一性质，故C 选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形，是符合矩形的判定方法，故D 选项不正确；
故选D．
练3. 如图，四边形ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点E，且四边形ABCD 的面积为
8，则BE=（ ）
A．2
B．3 C．
D．
【解析】运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE 的长．
解：过B 点作BF⊥CD，与DC 的延长线交于F 点，
则有△BCF≌△BAE（ASA），
则BE=BF，S 四边形ABCD=S 正方形BEDF=8，
∴BE=
=
．
故选C．
5
3. 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【例3】（2014•湖北黄冈中学一模）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点
E．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 度．
【解析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS 证明△ABE 与△ADE 全等，再利用三角形
的内角和解答即可．
解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE 与△ADE 中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
故答案为：65．
练4. 已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F，那
么∠FAD= 度．
【解析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE 易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．
解：如图，
在Rt△AEF 和Rt△ADF 中，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠EAF，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠CAD=45°，
∴∠FAD=22.5°．
故答案为：22.5．
6
练5. 如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE，PE 交
CD 于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE 的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究
线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．
【解析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到
∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP 和△CBP 中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD 中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP 和△CBP 中，
7
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC 是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
4．正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【例4】（2014•辽宁盘锦一中期末）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、
A2、A3在x 轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2 上，则点A3的坐标为 ．
【解析】设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），根据t 一次函数图象上点的坐标特征得到t=
﹣t+2，解得t=1，得到B1（1，1），然后利用同样的方法可求得B2（，），B3（，
），则A3（，0）．
解：设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B1（1，1）；
设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a，a），a=﹣（1+a）+2，解得a= ，得到B2（，
）；
8
设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B3（+b，b），b=﹣（+b）+2，解得b= ，得到B3（，
），
所以A3（，0）．
故答案为（，0）．
练6. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函
数y=x 的图象上，从左向右第3 个正方形中的一个顶点A 的坐标为（8，4），阴影三角形部
分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 ．（用含n 的代数式表示，
n 为正整数）
【解析】根据直线解析式判断出直线与x 轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角
形是等腰直角三角形，再根据点A 的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n 个
正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积
再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
解：∵函数y=x 与x 轴的夹角为45°，
∴直线y=x 与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A（8，4），
∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，
第二个正方形的边长为2，
第一个正方形的边长为1，
…，
第n 个正方形的边长为2n﹣1，
由图可知，S1= ×1×1+ ×（1+2）×2﹣×（1+2）×2= ，
S2= ×4×4+ ×（4+8）×8﹣×（4+8）×8=8，
…，
Sn为第2n 与第2n﹣1 个正方形中的阴影部分，
第2n 个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1 个正方形的边长为22n﹣2，
Sn= •22n﹣2•22n﹣2=24n﹣5．
故答案为：24n﹣5．
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5．正方形的性质；命题与定理；旋转的性质．
【例5】（2014•海南海口一中月考）正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A，将正方形AEFG 绕点
A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认
为需要补充的一个条件，不必说明理由．
【解析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF 即可；
（2）当α=180°时，DF=BF．
（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF 的性质即可证得是真命题．
（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 和四边形AEFG 为正方形，
∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
在△DGF 和△BEF 中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（2）解：图形（即反例）如图2，
10
（3）解：补充一个条件为：点F 在正方形ABCD 内；
即：若点F 在正方形ABCD 内，DF=BF，则旋转角α=0°．
练7．正方形ABCD 的顶点A 在直线MN 上，点O 是对角线AC、BD 的交点，过点O 作OE⊥MN 于点E，
过点B 作BF⊥MN 于点F．
（1）如图1，当O、B 两点均在直线MN 上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）
（2）当正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至图2、图3 的位置时，线段AF、BF、OE 之间又有怎样的关
系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
【解析】（1）过点B 作BG⊥OE 于G，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，
BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同
角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全
等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；
（2）选择图2，过点B 作BG⊥OE 交OE 的延长线于G，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的
对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，
∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE
和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整
理即可得证；选择图3 同理可证．
（1）证明：如图，过点B 作BG⊥OE 于G，
则四边形BGEF 是矩形，
∴EF=BG，BF=GE，
11
在正方形ABCD 中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE 和△OBG 中，
，
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，
∴AF﹣OE=OE﹣BF，
∴AF+BF=2OE；
（2）图2 结论：AF﹣BF=2OE，
图3 结论：BF﹣AF=2OE．
对图2 证明：过点B 作BG⊥OE 交OE 的延长线于G，
则四边形BGEF 是矩形，
∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD 中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE 和△OBG 中，
，
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，
∴AF﹣OE=OE+BF，
∴AF﹣BF=2OE；
若选图3，其证明方法同上．
作OG⊥BF 于G，
则四边形EFGO 是矩形，
∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，
∴∠AOE+∠AOG=90°．
在正方形ABCD 中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠BOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG．
∵OG⊥BF，OE⊥AE，
∴∠AEO=∠BGO=90°．
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴OE=OG，AE=BG，
12
∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，
∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，
∴BF﹣AF=2OE．
1．如图，四边形ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点E，且四边形ABCD 的面积为
8，则BE=（ ）
A．2
B．3
C．
D．
2．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC 时，它是菱形 B．当AC⊥BD 时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD 时，它是正方形
3．下列命题中正确的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
4．边长为1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为 ．
5．已知正方形ABCD 的对角线AC=
，则正方形ABCD 的周长为 ．
6．我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如
矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有 个．
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1．如图，边长分别为4 和8 的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点
T，交FG 于点P，则GT=（ ）
13
A．
B．2
C．2
D．1
2．如图，四边形ABCD、AEFG 均为正方形，其中E 在BC 上，且B、E 两点不重合，并连接BG．根据
图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4 的大小关系何者正确？（ ）
A．∠1＜∠2
B．∠1＞∠2
C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4
3．附图为正三角形ABC 与正方形DEFG 的重叠情形，其中D、E 两点分别在AB、BC 上，且BD=BE．
若AC=18，GF=6，则F 点到AC 的距离为何？（ ）
A．2
B．3
C．12﹣4
D．6
﹣6
4．如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E，使ME=MC，以DE 为边作
正方形DEFG，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2
的值为（ ）
14
A．16 B．17
C．18
D．19
6．已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那
么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B．AB=CD C．AD=BC
D．BC=CD
7．下列判断中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
8．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪
口线与折痕成（ ）
A．22.5°角
B．30°角
C．45°角
D．60°角
9．下列说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都相等
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．等腰梯形的对角线相等
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC 的度数．
11．如图，正方形AEFG 的顶点E、G 在正方形ABCD 的边AB、AD 上，连接BF、DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）连接CF，请直接写出BE：CF 的值（不必写出计算过程）．
15
12．如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A、D 重合，BP 的垂直平分线分别交CD、AB 于
E、F 两点，垂足为Q，过E 作EH⊥AB 于H．
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD 的边长为12，AP=4，求线段EQ 的长．
参考答案：
当堂检测
1.
【考点】正方形的判定．
【分析】运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE 的长．
【解答】解：过B 点作BF⊥CD，与DC 的延长线交于F 点，
则有△BCF≌△BAE（ASA），
则BE=BF，S 四边形ABCD=S 正方形BEDF=8，
∴BE=
=
．
故选C．
【点评】本题运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE 就是正方形的边长
了；也可以看作将三角形ABE 绕B 点逆时针旋转90°后的图形．
2．
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直
角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD 是平行四边形，当AB=BC 时，
它是菱形，故A 选项正确；
16
B、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，
∴AB=AD，∴四边形ABCD 是菱形，故B 选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C 选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD 时，它是矩形，不是正方形，故
D 选项错误；
综上所述，符合题意是D 选项；
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解
和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
3．
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项．
【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．
B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误．
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误．
D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误．
故选A．
4．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含30 度角的直角三角形．
【分析】过点C 作CD 和CE 分别垂直于正方形的两条边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出
CE 的长，进而得出△ABC 的面积即可．
【解答】解：过点C 作CD 和CE 垂直正方形的两个边长，如图
∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，
∴四边形DBEC 是矩形，
∴CE=DB= ，
∴△ABC 的面积= AB•CE= ×1× = ，
故答案为：．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE 和CE 的长．
5．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的对角线等于边长的
倍求出边长，再根据正方形的周长公式列式计算即可
得解．
【解答】解：∵正方形ABCD 的对角线AC=
，
∴边长AB=
÷
=1，
∴正方形ABCD 的周长=4×1=4．
故答案为：4．
17
【点评】本题考查了正方形的性质，比较简单，熟记正方形的对角线等于边长的
倍是解题的关
键．
6．
【考点】正方形的性质；等腰三角形的判定．
【分析】根据把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点，
可得正方形一共有9 个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四点，
据此解答即可．
【解答】解：如图，
，
正方形一共有9 个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四个腰点．
故答案为：9．
【点评】（1）此题主要考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平
分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形
的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形
又是轴对称图形，有四条对称轴．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，
解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
家庭作业
1．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到
△DGT 是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等
于斜边的
倍求解即可．
【解答】解：∵BD、GE 分别是正方形ABCD，正方形CEFG 的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT 是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8﹣4=4，
18
∴GT=
×4=2
．
故选B．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的
判定与性质．
2．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD=∠EAG=90°，然后根据同角的余角相等可得
∠1=∠2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到AG＞AB，再根据三角形
中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3＞∠4．
【解答】解：∵四边形ABCD、AEFG 均为正方形，
∴∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAD=∠1+∠DAE=90°，
∠EAG=∠2+∠DAE=90°，
∴∠1=∠2，
在Rt△ABE 中，AE＞AB，
∵四边形AEFG 是正方形，
∴AE=AG，
∴AG＞AB，
∴∠3＞∠4．
故选D．
【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，
要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用．
3．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】过点B 作BH⊥AC 于H，交GF 于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定
△BDE 是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，
两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，
再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．
【解答】解：如图，过点B 作BH⊥AC 于H，交GF 于K，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE 是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG 是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18×
﹣6×
﹣6=9
﹣3
﹣6=6
﹣6，
∴F 点到AC 的距离为6
﹣6．
故选D．
19
【点评】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三
角形的高线等于边长的
倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，
熟记各图形的性质是解题的关键．
4．
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出CM 的长，即ME 的长，有DE=DG，可以求出DE，进而得到DG 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，M 为边DA 的中点，
∴DM= AD= DC=1，
∴CM=
=
，
∴ME=MC=
，
∵ED=EM﹣DM=
﹣1，
∵四边形EDGF 是正方形，
∴DG=DE=
﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．
5．
【考点】正方形的性质；等腰直角三角形．
【分析】由图可得，S1的边长为3，由AC=
BC，BC=CE=
CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=
；然
后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=
x，x=
CD，
∴AC=2CD，CD= =2，
∴EC2=22+22，即EC=
；
∴S2的面积为EC2=
=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选：B．
6．
20
【考点】正方形的判定．
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【解答】解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正
方形，故选D．
【点评】本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有
两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等是菱形；②先说明它是菱形，再说明它
有一个角为直角，是矩形．
7．
【考点】正方形的判定．
【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析．
【解答】解：A 错误，四边相等的四边形是菱形；
B 错误，四角相等的四边形是矩形；
C 错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D 正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
故选D．
【点评】此题主要考查正方形、矩形、菱形的判定．
8．
【考点】正方形的判定；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分
别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选：
C．
【点评】本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手
操作，易得出答案．
9．
【考点】正方形的判定；菱形的判定；矩形的性质；等腰梯形的性质．
【分析】根据各四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：A 正确，符合矩形的判定；
B 正确，符合菱形的判定定理；
C 正确，符合等腰梯形的判定；
D 不正确，对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形；
故选D．
10．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可
得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据
角的和差，可得答案．
【解答】
（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE 为正三角形
∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
21
在△BAE 和△CDE 中
，
∴△BAE≌△CDE
∴BE=CE；
（2）∵AB=AD，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．
【点评】本题考查了正方形的性质：
（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；
（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．
11．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF 求得BF=DF，
（2）由BF=DF 得点F 在对角线AC 上，再运用平行线间线段的比求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 和AEFG 都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
∴BE=AB﹣AE，DG=AD﹣AG，
∴BE=DG，
在△BEF 和△DGF 中，
，
∴△BEF≌△DGF（SAS），
∴BF=DF；
（2）解：∵BF=DF
∴点F 在对角线AC 上
∵AD∥EF∥BC
∴BE：CF=AE：AF=AE：
AE=
∴BE：CF=
．
12．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB 得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH 得出
△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA 定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；
（2）由勾股定理求出BP 的长，根据EF 是BP 的垂直平分线可知BQ= BP，再根据锐角三角函
数的定义得出QF=BQ 的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4
，再根据
EQ=EF﹣QF 即可得出结论．
（1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，
22
∴∠EQN=∠BHM=90°．
∵∠EMQ=∠BMH，
∴△EMQ∽△BMH，
∴∠QEM=∠HBM．
在Rt△APB 与Rt△HFE 中，
，
∴△APB≌△HFE，
∴HF=AP；
（2）解：由勾股定理得，BP=
=
=4
．
∵EF 是BP 的垂直平分线，
∴BQ= BP=2
，
∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2
×
=
．
由（1）知，△APB≌△HFE，
∴EF=BP=4
，
∴EQ=EF﹣QF=4
﹣
=
．
课程顾问签字： 教学主管签字：
