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难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性
问题
类型一 特殊平行四边形的动态探究问题
一、动点问题
1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E，F，P 分别在线段
AB，AD，AC 上，已知EP＝FP＝6，EF＝6，∠BAD＝60°，且AB>6.
(1)求∠EPF 的大小；
(2)若AP＝10，求AE＋AF 的值；
(3)若△EFP 的三个顶点E，F，P 分别在线段AB，AD，AC 上运动，请直接写出AP 的最大
值和最小值．
二、图形的变换问题
2．如图①，点O 是正方形ABCD 两条对角线的交点．分别延长OD 到点G，OC 到点E，
使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE 为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α 角(0°<α<360°)得到正方形
OE′F′G′，如图②.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α 的度数；
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②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α 的度数，直接写
出结果不必说明理由．
类型二 四边形间的综合性问题
3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边
形叫中点四边形．
(1)如图①，四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点．求证：中
点四边形EFGH 是平行四边形；
(2)如图②，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点
E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜
想；
(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形
EFGH 的形状．(不必证明)
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参考答案与解析
1．解：(1)如图①，过点P 作PG⊥EF 于点G，H 为PE 的中点，连接GH，∴∠PGE＝90°，
GH＝PH＝HE＝PE＝3.∵PF＝PE，∴∠FPG＝∠EPG，FG＝GE＝EF＝3.在Rt△PGE 中，由
勾股定理得PG＝＝＝3.∴PG＝GH＝PH，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH＝60°，
∴∠FPE＝∠FPG＋∠GPE＝2∠GPE＝2×60°＝120°.
(2)如图①，过点P 作PM⊥AB 于点M，作PN⊥AD 于点N，∴∠ANP＝∠AMP＝
90°.∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°，PM＝PN.在Rt△PME
和Rt△PNF 中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME＝NF.∵∠PAM＝30°，AP＝
10，∴PM＝AP＝5.由勾股定理得AM＝＝5.在△ANP 和△AMP 中，∴△ANP≌△AMP，∴AN
＝AM＝5.∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＋ME－NF＝10.
(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB，AD，AC 上运动，点P 在P1，P 之间运动．P1O＝
PO＝PE＝3，AE＝EF＝6，AO＝＝9.∴AP 的最大值为AO＋OP＝12，AP 的最小值为AO－
OP1＝6.
2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H.∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA＝
OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO
＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；
(2)解：①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：
a．α 由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴∠AG′O＝
30°，∠AOG′＝60°.∵OA⊥OD，∴∠DOG′＝90°－∠AOG′＝30°，即α＝30°；
b．α 由90°增大到180°过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求的∠AOG′＝60°，∴α＝90°
＋∠AOG′＝150°.综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°；
②AF′长的最大值是2＋，此时α＝315°.
3．(1)证明：如图①中，连接BD.∵点E，H 分别为边AB，DA 的中点，∴EH∥BD，EH＝
BD.∵点F，G 分别为边BC，CD 的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点
四边形EFGH 是平行四边形．
(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC，BD.∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD. 在△APC 和△BPD 中，
∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD.∵点E，F，G 分别为边AB，BC，CD 的中点，∴EF＝AC，FG＝
BD，∴EF＝FG.∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．
(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O.AC 与PD 交
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于点M，AC 与EH 交于点N.∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP.∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°.∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝
90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．
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