专题08函数的奇偶性、对称性及周期性压轴题（学生版）_2027版高中《压轴培优讲义》高一上学期（人教A版必修第一册）

专题08
函数的奇偶性、对称性及周期性
压轴题（学生版）
1.函数的奇偶性
函数
定义
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且____________，那么函数
f(x)就叫做偶函数
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且_____________，那么函数
f(x)就叫做奇函数
2.奇偶函数的性质
(1)奇函数的图象关于______对称，偶函数的图象关于_____对称．
(2)若奇函数f(x)在x＝0 处有定义，则f(0)＝___．
(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性_____；
若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性______．
(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．
(5)在函数f(x)，g(x)的公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(6)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D 是关于原点对称的非空
数集．
3.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有
x＋T∈D，且__________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个____________就叫做
f(x)的最小正周期．
4.函数对称性的常见结论
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．
(2)若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a 对称．
若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
(3)函数y＝f(x)的图象关于x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(4)函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a－x)＝－f(a＋x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)．
题型一判断函数的奇偶性
例1.（1）已知


4
y
f x


是定义域为R 的奇函数，


2
y
g x


是定义域为R 的偶函数，且

y
f x

与

y
g x

的图象关于y 轴对称，则（
）
A．

y
f x

是奇函数
B．

y
g x

是偶函数
C．

y
f x

关于点

2,0 对称
D．

y
g x

关于直线
4
x 
对称
(2).函数
( )
f x 的定义域为R，且
(
1)
f x 
与
(
2)
f x 
都为奇函数，则下列结论错误的是（
）
A．
( )
f x 为奇函数
B．
( )
f x 为周期函数
C．
(
3)
f x 
为奇函数
D．
(
4)
f x 
为偶函数
(3).已知定义在


,0
0,




上的函数

f
x 满足
a
，




,0
0,
b

，


a
f
f a
f b
b







，且当


0,1
x
时，

0
f x 
，则下列说法正确的是（
）
A．

f
x 是奇函数但不是偶函数
B．

f
x 是偶函数但不是奇函数
C．

f
x 既是奇函数又是偶函数
D．

f
x 既不是奇函数也不是偶函数
练习题
（1）设函数

2
1
4
5
f
x
x
x



，则下列函数中为偶函数的是（
）
A．


2
f x 
B．
1
f x 
C．


2
f x 
D．
1
f x 
(2).若定义在R 上的函数
( )
f x 满足：对任意
1,
x
2
x
R

有
1
2
1
2
(
)
( )
(
) 1
f x
x
f x
f x



则下列说法一定正确的是
A．
( )
f x 为奇函数B．
( )
f x 为偶函数
C．
( )
1
f x 为奇函数
D．
( )
1
f x 为偶函数
(3)．设函数
( )
f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A．
( )
f x +|g(x)|是偶函数
B．
( )
f x -|g(x)|是奇函数
C．|
( )
f x | +g(x)是偶函数
D．|
( )
f x |- g(x)是奇函数
(4)．函数
( )
f x 的定义域为R，若
(
1)
f x 
与
(
1)
f x 
都是奇函数，则
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．
( )
f x 是偶函数
B．
( )
f x 是奇函数
C．
( )
(
2)
f x
f x


D．
(
3)
f x 
是奇函数
题型二对称性与周期性
例2.（1）已知函数

f
x 的定义域为

R,
1
0
f

，且

0
0,
,
R
f
x y



都有





2
f x
y
f x
y
f x f
y




，
则下列说法正确的命题是（
）
①

0
1
f
；②



R,
0
x
f
x
f x




；
③

f
x 关于点

1,0 对称；④
2023
1
( )
1
i
f i



A．①②
B．②③
C．①②④
D．①③④
（2）已知函数

f
x 的定义域为R ，若


2
1
f
x 
为偶函数，


2
f x 
为奇函数，则（
）
A．

1
0
f 

B．
1
0
f

C．


2022
0
f

D．


2023
0
f

（3）若函数

f
x 的定义域为R ，

2
1
f
x 
是偶函数，且




2
2
6
f
x
f
x




．则下列说法正确的个数为
（
）
①

f
x 的一个周期为2；
②


22
3
f

；
③

f
x 的一条对称轴为
5
x 
；
④




1
2
19
57
f
f
f





．
A．1
B．2
C．3
D．4
（4）设

f
x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有



2
f x
f x


．当


0,2
x
时，
2
2
f
x
x
x


．
(1)求证：

f
x 是周期函数；
(2)当


2,4
x
时，求

f
x 的解析式；
(3)计算





0
1
2
2011
f
f
f
f





．
练习题
(1).已知

f
x 是定义在R 上的函数，且满足


3
2

f
x
为偶函数，


2
1
f
x 
为奇函数，则下列说法正确的是
（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．函数

f
x 的周期为2
B．函数

f
x 关于直线= 1
x 对称
C．函数

f
x 关于点

1,0

中心对称
D．


2023
1
f

(2).已知函数

f
x 是R 上的偶函数，
g x 是R 上的奇函数，且


1
g x
f x


，求证：

f
x 是周期函数.
(3).我们知道，函数
( )
y
f x

的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数
( )
y
f x

为奇函数，有同学
发现可以将其推广为：函数
( )
y
f x

的图象关于点
( , )
P a b 成中心对称的充要条件是函数
(
)
y
f x
a
b



为奇
函数.
(1)依据推广结论，求函数
3
2
( )
3
f x
x
x


图象的对称中心；
(2)请利用函数
3
2
( )
3
f x
x
x


的对称性求
( 2019)
( 2017)
( 2015)
( 3)
( 1)
(1)
(3)
(5)
(2017)
(2019)
(2021)
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f















的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数
( )
y
f x

的图象关于x 轴成轴对称的充要条件是函数
( )
y
f x

为偶函数”
的一个推广结论.（不需要证明）
题型三奇偶性、对称性、周期性的应用
例3.(1)定义在R 上的函数

f
x 满足




f x
y
f x
f
y



，当
0
x 
时，

0
f x 
，则下列说法错误的是
（
）
A．

0
0
f

B．

f
x 为奇函数
C．

f
x 在区间

4,4

上有最大值

4
f
D．




2
2
1
2
0
f
x
f
x




的解集为

1,3

(2).已知函数
( )
f x 满足如下条件：①任意xR ，有
( )
(
)
0
f x
f
x



成立；②当
0
x 
时，
2
2
2
1
( )
(|
|
|
2
| 3
)
2
f x
x
m
x
m
m





；③任意xR ，有
( )
(
1)
f x
f x


成立，则实数m 的取值范围是(
)
A．
6
6
[
,
]
6
6

B．
1 1
[
, ]
6 6

C．
3
3
[
,
]
3
3

D．
1 1
[
, ]
3 3

(3).已知定义在R 上的函数

f
x 在

,3

单调递增，且


3
f x 
是偶函数，则不等式




1
2
f
x
f
x


的解
集为（
）
A．
3
1, 5






B．

5
,1
,
3









C．

,1

D．

1,
【答案】B
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(4).已知函数

f
x 对任意实数,x y 恒有




f x
y
f x
f
y



，当
0
x 
时，

0
f x 
，且
1
2
f

(1)判断

f
x 的奇偶性；
(2)求函数

f
x 在区间

3,3

上的最大值；
(3)若



2
1,1 ,
1,1 ,
<
2
2
x
a
f
x
m
am








恒成立，求实数m 的取值范围.
(5).已知函数

2
1
f x
x
x
a



，x
R

．
(1)判断函数

f
x
的奇偶性，并说明理由；
(2)当
0
a 
时，求函数

f
x
的单调区间；
(3)求函数

f
x
的最小值
g a ．
练习题
(1).已知函数

f
x 的定义域为R ，
1
2
,
x x

R 都有





1
2
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
x
x




，函数
1
g x
f x

，且
g x
为奇函数，则不等式



2
2
3
2
f m
f
m



的解集为（
）
A．

3,1

B．

1,3

C．



, 3
1,



D．



, 1
3,



(2).已知
0
a 
，设函数
( ) |
|
|
1|
f x
x
a
ax




．
(1)判断函数
( )
f x 的奇偶性；
(2)若对任意的xR ，不等式
( )
(2
)
f x
x
a
x


恒成立，求a 的取值范围．
(3).若定义在R 上的函数

f
x 满足：
1
2
,
x x
R


，都有





1
2
1
2
1
f x
x
f x
f x



成立，
1
1
f
且

f
x 为
R 上的增函数，
(1)求

0
f
的值，并证明
( )
1
f x 为奇函数；
(2)解不等式

2
3
3 ( )
0
2
f
x
x
f x




(3)若
x
R ，
y
R

，


2
2
2
4
4
3
f
x
m
xy
y
my









恒成立，求实数m 的取值范围.
题型四能力提升创新题
1.已知函数

f
x 的定义域为R ，值域为

0, 

，若




1
1
4
f
x
f
x



，函数


2
f x 
为偶函数，

2024
1
f
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则

2023
1
n
f n



（
）
A．4050
B．4553
C．4556
D．4559
2.已知函数
( )(
)
f x xR 满足
(
)
2
( )
f
x
f x



，若函数
1
x
y
x


与
( )
y
f x

图像的交点为
1
1
2
2
( ,
),(
,
),
,(
,
),
m
m
x y
x
y
x
y

则
1
(
)
m
i
i
i
x
y




A．0
B．m
C．2m
D．4m
3.已知函数





2
2
1
1
R
f
x
x
a
x
a
a







．
(1)当
0
a 
时，求

f
x 的单调区间( 不要求证明)；
(2)若

f
x 为偶函数，求a 的值；
(3)若

f
x 的最小值
min
3
f x

，求实数a 的取值范围．
4.已知

3
2
1
3
f x
x
x
ax



，且关于x 的方程

0
f
x 
有3 个不同的实数解
1
2
0
,
x x
，
，其中
1
2
x
x

（1）求a 的取值范围；
（2）是否存在点

,
m n ，使得

f
x 的图像关于点

,
m n 对称？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理
由；
（3）若对任意的


1
2
,
x
x x

，都有


1
f
f
x

，求实数a 的取值范围.
5.如果函数
( )
y
f x

的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有
(
)
(
)
f x
a
f
x



成立，
则称此函数
( )
f x 具有“性质
( )
P a ”.
（1）判断函数
|
1|
y
x


是否具有“
( )
P a 性质”，若具有“
( )
P a 性质”，求出所有a 的值的集合，若不具有“
( )
P a
性质”，请说明理由；
（2）已知函数
( )
y
f x

具有“
(0)
P
性质”，且当
0
x 
时，
2
( )
(
)
f x
x
m


，求函数
( )
y
f x

在区间[0,1] 上的值
域；
（3）已知函数
( )
y
g x

既具有“
(0)
P
性质”，又具有“
(2)
P
性质”，且当1
1
x

时，( ) |
|
g x
x

，若函数
( )
y
g x

的图像与直线y
px

有2017 个公共点，求实数p 的值.
1.已知定义在R 上的函数

=
y f x 满足条件
3
(
)
( )
2
f x
f x


，且函数
3
(2
)
4
y
f
x


为奇函数，则下列说法中
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
错误的是（
）
A．函数

f
x 是周期函数；
B．函数

f
x 的图象关于点
0
3
4 ,







对称；
C．函数

f
x 为R 上的偶函数；
D．函数

f
x 为R 上的单调函数．
2.已知

f
x 是定义域为

,
的奇函数，满足



2
f x
f
x


.若

1
1
f
，则





1
2
3
2019
f
f
f
f



（
）
A．-2019
B．1
C．0
D．2019
3.已知函数


f
x
x
x


，其中
x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（
）
A．

f
x 的值域是

0,1
B．

f
x 是奇函数
C．

f
x 是周期函数
D．

f
x 是增函数
4.函数


y
f
x

的图像关于点

,
P a b 成中心对称的充要条件是函数


y
f
x
a
b



为奇函数，以下选项不正
确的有（
）
A．


3
1
f
x
x

关于1,0
3






中心对称
B．


3
2
6
13
f
x
x
x



关于

2, 3

中心对称
C．函数


y
f
x

的图象关于点

,
P a b 对称，则




2
2
f
x
b
f
a
x



D．函数


y
f
x

的图象关于x
a

对称的充要条件是


y
f
x
a


为偶函数
5.已知

f
x 是定义在R 上的奇函数，且

2
2
f

，若对任意的
1
x ，


2
0,
x 
，均有



1
2
1
2
1
f x
f x
x
x



成立，
则不等式

1
1
f x
x


的解集为（
）
A．



2,0
2,



B．



, 2
0,2


C．



, 1
1,3


D．



1,1
3,



6.已知函数

f
x 是定义在R 上的偶函数，若
a
，


0,
b



，且a
b
¹
，都有


0
af a
bf b
a
b



成立，则不
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
等式




2
1
2
2
1
0
f
t
t f
t
t






的解集为（
）
A．

1
1,0
,
2









B．


1 ,0
1,
2









C．

1
, 1
,
2












D．


1
,
1,
2












7.函数

f
x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,
)
上是增函数，若对任意


0,
1
x
t


，均有




2
f x
t
f
x


，
则实数t 的最大值是（
）
A．5
4
B．3
2
C．5
2
D．3
8.已知奇函数
( )
f x 在R 上单调递增，对
[ 2,2]
a

，关于x 的不等式
2
( )
(
)
0
f a
f x
ax
b
x




在
[ 2,0)
(0,2]
x

上有解，则实数b 的取值范围为（
）
A．
2
b 
或
1
b 
B．
6
b 或
3
b 
C．1
3
b


D．
2
b 或
3
b 
9.设

f
x 是定义在R 上的奇函数，对任意xR ，满足






2
2
4
4
f x
f x
f x
f x






，
，则


2022
f
的值等于（
）
A．2022
B．2021
C．4040
D．4042
10.已知函数

f
x 的定义域为

2,2

，对任意


,
2,2
x y
，都有




f x
f
y
f x
y



，且当x

0,2 时，

0
f x 
.
(1)求证：

f
x 是奇函数；
(2)若

1
2
f 
，

2
1
f x
t
at


对任意的


1,1
x
，


2,2
a
恒成立，求实数t 的取值范围.
11.已知函数

3
1
x
f x
x
x


．
(1)判断函数

f
x 的单调性并证明；
(2)若关于m 的不等式




2
6
3
2
0
f
m
f
m
mt







在




3, 1
3,6
m


恒成立，求实数t 的取值范围．
12.定义在

1,1

上的函数

f
x 满足：对任意的


,
1,1
x y 
，都有


1
x
y
f x
f
y
f
xy










，当


1,0
x
，

0
f x 
．
(1)求证：函数

f
x 是奇函数；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)求证：

f
x 在

1,1

上是减函数；
(3)解不等式：


1
1
0
1
f x
f
x










；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师