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专题05 函数的图像 函数的零点（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（2023·上海徐汇·一模）函数
的零点是 ．
2．（23-24 高三上·上海松江·期中）已知二次函数
的零点为2 和4，则不等式
的解集为 .
3．（2023·上海徐汇·模拟预测）已知幂函数
的图像过点
，则函数
的零点为
．
4．（23-24 高一上·上海·期中）已知关于x 的不等式
恰有一个整数解，则实数a 的取值范围
是 ．
5．（23-24 高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数
的零点有且只有一个，
则实数
的取值集合为 ．
6．（2023·上海浦东新·模拟预测）若
的值域为
，则
至多有
个零点.
7．（23-24 高一上·上海·期末）已知
，若关于
的方程
有唯一解，则
的取值范围是
.
8．（23-24 高三下·上海浦东新·阶段练习）设定义在
上的偶函数
满足
，它在区
间
上的图像为如图所示的线段
，则方程
的最大实数根的值为 ．
1
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9．（22-23 高三上·上海静安·期中）设函数
，则方程
的实数解个数为 ．
10．（22-23 高三下·上海杨浦·开学考试）已知
，函数
在
零点的个数最
大值为 ．
11．（20-21 高三上·上海闵行·期中）若函数
在区间
上的零点个数为个，则实数
的取值范围是 .
12．（23-24 高二下·上海·期末）若函数
的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则
.
13．（23-24 高三上·上海虹口·期末）设
，若关于x 的方程
有3 个不同的
实数解，则实数a 的取值范围为 ．
14．（2023·上海虹口·三模）若存在实数
及正整数
，使得
在区间
内恰有
个零点，则所有满足条件的正整数
的值共有 个．
15．（23-24 高一上·上海虹口·期末）设
，若实数
满足：
，则
的取值范围是 ．
16．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）设
，其中
，
，如果函数
与函数
都有零点且它们的零点完全相同，则
为 ．
2
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二、单选题
17．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）已知方程
，
.若
，则方程有（ ）解
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 个或2 个
18．（23-24 高一上·上海·期中）设
，若
有且仅有三个解，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（22-23 高一上·上海徐汇·期末）关于x 的方程
，给出下列四个命题，其中假命
题的个数是（ ）．
①存在实数k，使得方程恰有2 个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4 个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5 个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8 个不同的实根；
A．0
B．1
C．2
D．3
20．（23-24 高二下·上海·阶段练习）若函数
满足
，则称函数
为延展函数，已知延展函数
和函数
，满足当
时，
，
．
给定以下两个命题，则（ ）
①存在函数
与
有无穷多个交点；
②存在函数
与
有无穷多个交点．
A．①真②真
B．①真②假
C．①假②真
D．①假②假
三、解答题
21．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）已知函数
，
.
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(1)当
时，求函数
的零点：
(2)若函数
为偶函数，求实数
的值.
22．（23-24 高三上·上海静安·阶段练习）已知函数
.
(1)若对于任意
,
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)若函数
的图像与
轴正半轴有两个不同的交点，求实数
的取值范围.
23．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）已知函数
(1)解不等式
;
(2)若关于
的方程
在
上有两解，求
的取值范围:
(3)若函数
，其中
为奇函数，
为偶函数，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
24．（23-24 高三上·上海浦东新·阶段练习）函数
，
．
(1)若
，是否存在实数，使得
是奇函数；
(2)若
，且
的图象与x 轴的正半轴有两个交点，求实数
的取值范围；
(3)若
，
，
，已知对任意的
，都存在
使得不等式
恒成立，求实数的取值范围．
25．（23-24 高三上·上海静安·开学考试）已知函数
，
（其中
，
，为常
数）
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(1)当
，
，
时，求函数
在
上的值域；
(2)当
，
，
时，判断函数
在
上的单调性，并加以证明；
(3)当
，
时，方程
有三个不同的解，求实数
的取值范围.
一、填空题
1．（2022·上海崇明·一模）设函数
的零点为
，若
成等比数列，
则
.
2．（2024·上海·三模）设
，已知函数
的两个不同的零点
、
，满足
，若将该函数图象向右平移
个单位后得到一个偶函数的图象，则
．
3．（2023·上海嘉定·一模）关于x 的方程
有三个不同的实数解，则实数m 的值为
．
4．（2024·上海青浦·二模）对于函数
，其中
，若关于
的方程
有两个不同的根，则实数
的取值范围是 ．
5．（2023·上海金山·一模）若函数
的图像关于直线
对称，且该
函数有且仅有7 个零点，则
的值为 ．
6．（2022·上海杨浦·模拟预测）已知函数
，若对于任意正数k，关于x 的方程
都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的取值集合为 ．
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7．（2022·上海黄浦·二模）对于给定的正整数
(
)，定义在区间
上的函数
满足：当
时，
，且对任意的
，都成立
．若与
有关的实数
使得方
程
在区间
上有且仅有一个实数解，则关于
的方程
的实数解的个数为
．
8．（2022·上海虹口·一模）已知函数
，若对任意实数
，
，方程
有解，方程
也有解，则
的值的集合为 .
二、单选题
9．（2021·上海徐汇·一模）方程
的实数解的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·上海松江·一模）若函数
在区间
上存在零点，则常数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2018·上海长宁·一模）已知函数
且
，
，
，则满足方程
的根的个数为（ ）.
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
12．（2020·上海青浦·二模）已知函数
，关于x 的方程
有以下结
论：
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①当
时，方程
在
最多有3 个不等实根；
②当
时，方程
在
内有两个不等实根；
③若方程
在
内根的个数为偶数，则所有根之和为
；
④若方程
在
根的个数为偶数，则所有根之和为
．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②④
B．①④
C．①③
D．①②③
三、解答题
13．（2021·上海徐汇·二模）已知函数
．
（1）若
，求函数f（x）的零点；
（2）针对实数a 的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
14．（2022·上海黄浦·一模）已知直线
与函数
、
的图像分别交于M、
N 两点．
(1)当
时，求
的值；
(2)求
关于的表达式
，写出函数
的最小正周期，并求其在区间
内的零点．
15．（2021·上海松江·二模）已知函数
(
为常数，
).
（1）讨论函数
的奇偶性；
（2）当
为偶函数时，若方程
在
上有实根，求实数
的取值范围.
16．（2021·上海·模拟预测）已知函数
，其中
.
（1）当
时，求函数
的零点；
（2）若
，
，当
时，关于
的方程
有3 个不同的实数解，
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求实数
的值及该方程的解；
（3）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的最小值.
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