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3.6 零点定理（精练）
1．（2023 云南）函数
的零点所在的区间为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
在
上单调递增，
又由
，即
，
所以根据零点存在性定理可知，函数
的零点所在的区间为
.故选：D.
2．（2022 江西）用二分法求函数
的零点时，初始区间大致可选在（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，可得
为单调递增函数，
又由
，即
，
所以函数
零点的初始区间大致为
.故选：B.
3．（2023·北京）已知二次函数
，若
，则
在区间
内的零点
情况是（ ）
A．有两个零点
B．有唯一零点
C．没有零点
D．不确定
【答案】C
【解析】因为函数
开口向下，又
，所以
在区间
内没有零点.
故选：C
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a
(1)
0,
(2)
0
f
f
( )
f x
(1,2)
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a
(1)
0,
(2)
0
f
f
( )
f x
(1,2)
1
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4．（2023·河南平顶山）已知等差数列
中，
，
是函数
的两个零点，则
（ ）
A．3
B．6
C．8
D．9
【答案】B
【解析】由已知，函数
的两个零点，即方程
的两根
，
，
∴
，
∵数列
为等差数列，∴
，∴
.故选：B.
5．（2023·贵州黔东南）函数
在
内零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由
，得
，
由
，得
或
或
，则
或
或
所以
在
内零点的个数为3.故选：C.
6．（2023 山西）已知函数
，若
恰有两个零点，则正数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，得
成立，
因为函数
恰有两个零点，所以
时，
有1 个实数根，显然a 小于等于0，不合要
na
5a
14
a
2
3
2
( )
x
x
x
f
3
8
11
16
a
a
a
a
2
3
2
( )
x
x
x
f
2
3
2
0
x
x
1
x
2
x
5
14
1
2
3
3
1
a
a
x
x
na
3
16
8
11
5
14
3
a
a
a
a
a
a
3
8
11
16
6
a
a
a
a
π
sin 3
3
f x
x
0,π
0,π
x
8
3
,
π
π
π
3
3
3
x
0
f x
π
3
0
3
x
π
3
π
3
x
π
3
2π
3
x
π
= 9
x
4π
= 9
x
7π
= 9
x
f x
0,π
2
1,
1
2
,
1
x
x
f x
x
a
x
a
x
f x
a
1
0 2
，
1 ,2
2
1 ,1
2
1,2
1
x
2
1
0
x
0
x
f x
1
x
2
0
x
a
x
a
2
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求，当
时，只需满足
，解得：
.故选：C
7．（2023·辽宁鞍山）已知函数
在区间
上有唯一零点，则正整数
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，且在
上是减函数；
易得
，
，∴
，
根据零点存在性定理及其单调性，可得函数
的唯一零点所在区间为
，
∴
．故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数
的零点时，第一次经过计算得
，
，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】因为
，由零点存在性知：零点
，根据二分法，第二次应计算
，
即
，故选：D.
9．（2023·上海金山）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln x
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)＝3x－1 在R 上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于B，f(x)＝x3在R 上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
0
a
1
2
a
a
1
1
2
a
12
lg
f x
x
x
,
1
n n
n
12
lg
f x
x
x
0,
0,
11
12 11 lg11 1 lg11
0
f
10
12 10
lg10
1
0
f
11
10
0
f
f
f x
10,11
10
n
5
3
8
1
f x
x
x
0
0
f
0.5
0
f
0,0.5
0.125
f
0,0.5
0.375
f
0.5,1
0.75
f
0,0.5
0.25
f
(0) (0.5)
0
f
f
0
0,0.5
x
0
0.5
2
f
0.25
f
3
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对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；
对于D，f(x)＝ln x 在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
故选：C．
10．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数
的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，
使得x1，x2，x4 (
∈a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，
但x3 (
∈a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．故选：C
11．（2022 秋·湖北）已知
，且
是方程
的两实数根，则
，
，m，n 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，
为方程
的两实数根，∴
，
为函数
的图像与x 轴交点的
横坐标，令
，∴m，n 为函数
的图像与x 轴交点的横坐标，
易知函数
的图像可由
的图像向上平移2022 个单位长度得到，
f x
1
x
2
x
3x
4x
2022
y
x
m
x
n
m
n
，
,
0
y
m
n
m
n
m
n
m
n
0
y
2022
y
x
m
x
n
1y
x
m
x
n
1y
x
m
x
n
2022
y
x
m
x
n
1y
x
m
x
n
4
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所以
.故选：C.
12．（2023·四川南充）设正实数
分别满足
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知可得
，
，
，
作出
的图像如图所示：
它们与
交点的横坐标分别为
，由图像可得
，故选：B
13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程
有两个不同的
解
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
m
n
, ,
a b c
3
2
2
log
log
1
a
a
b
b
c
c
, ,
a b c
a
b
c
b
c
a
c
b
a
a
c
b
1
2a
a
3
1
log b
b
2
1
log c
c
2
3
2 ,
log
,
log
x
y
y
x y
x
1
y
x
, ,
a b c
b
c
a
2
2
1
1
7
log
0
4
2
4
x
x
x
1
2
,
x x
1
2
1
2
x x
1
2
1
x x
1
2
1
0
2
x x
1
2
0
1
x x
5
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【解析】
由于
，即
，在同一坐标系下做出函数
及
的图像，如图所示：
由图知
在
上是减函数，故
，由图知
，
所以
，即
，化简得
，即
，
故选：D.
14．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数
，若方程
恰有
四个不等的实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为当
时，
，则
，
，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，当
时，
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
，当
时，
，
综上，
的图象如图所示，
2
2
1
1
7
log
0
4
2
4
x
x
x
2
2
1
log
1
2
4
x
x
2
log
y
x
2
1
1
2
4
y
x
2
1
1
2
4
y
x
0,
2
1
2
2
log
log
x
x
1
2
0
1
x
x
1
2
2
2
log
log
x
x
2
1
2
2
log
log
0
x
x
1
2
2
log
0
x x
1
2
0
1
x x
e ,
0
( )
ln(
1),
0
x
x
x
f x
x
x
2( )
( )
0(
R)
f
x
af x
a
a
1
(0, )
e
(
1
, )
e
1
(
,0)
e
1
( ,
)
e
0
x
( )
ex
f x
x
( )
e (
1)
x
f
x
x
( )
0
1
f
x
x
( )
0
1
0
f
x
x
( )
f x
(
, 1)
( 1,0)
1
( 1)
e
f
(0)
0
f
x
( )
0
f x
0
x
( )
ln(
1)
f x
x
( )
ln(
1)
f x
x
[0,
)
(0)
0
f
x
( )
f x
( )
f x
6
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因为
，所以
或
，
又因为
恰有4 个不等的实根，且
，所以
恰有3 个不等的实根，
即
恰有3 个不同的交点，所以由图象可知，
.故选：A.
15．（2023·河北）若函数
的一个零点是1，则它的另一个零点是__________．
【答案】3
【解析】由
，所以令
或
，故另一个零点为3
故答案为：3
16．（2023 春·浙江·高一校联考期中）函数
的零点是_______________
【答案】
【解析】令
，则
，解得
，故答案为：
.
17．（2023 春·四川雅安）已知函数
，则
在区间
内的所有零
点之和为__________．
【答案】8
【解析】
，则
等价于
若
显然上面方程不成立；当
，则
可化为
易知
和
都关于
中心对称，如下图所示，在
上有8 个交点，不妨设其横坐标依
次为
，则
，即所有零点之和为8.故答案为：8
2( )
( )
0
f
x
af x
( )
0
f x
( )
f x
a
2( )
( )
0
f
x
af x
( )
0
0
f x
x
( )
f x
a
( )
y
f x
y
a
1
0
e
a
2
(
3
)
f x
x
ax
( )1
1
3
0
4
f
a
a
= + + =
-
2
4
3=
)
0
(
1
f x
x
x
x
3
x
( ) |
1|
f x
x
x
1
2
( ) |
1|
0
f x
x
x
1
x
x
1
2
x
1
2
3
1 sin π
cos
π
2
f x
x
x
x
f x
3,5
3
1 sin π
cos
π
1
1 sin π
2
f x
x
x
x
x
x
0
f x
1 sin π
1
x
x
1
x =
1
x
1 sin π
1
x
x
1
sinπ
1
x
x
sinπ
y
x
1
1
y
x
1,0
3,5
1
2
8
x ,x ....x
8
i=1
4×2=8
ix
7
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18．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数
有三个零点，则a
的取值范围是______.
【答案】
【解析】由
得，
，
所以若函数
有三个零点，则方程
有三个根，
设
，则
，
令
得，
或
，
当
时，
，
递减，
当
时，
，
递增，
当
时，
，
递减，
又
，
作出函数
的大致图像，如图，
由图可知，当
时，函数
有三个零点.
2
ln
f x
x
ax
2
4
0, e
0
f x
2
ln x
a
x
2
ln
f x
x
ax
2
ln x
a
x
2
ln x
g x
x
2
ln
2
ln
x
x
g
x
x
0
g
x
1
x
2e
x
0,1
x
0
g
x
g x
2e
x1,
0
g
x
g x
2e ,
x
0
g
x
g x
2
2
4
e
e
g
g x
2
4
0,
a
e
f x
8
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故答案为：
.
19．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象与函数
的图象所有交点的横坐
标之和等于______.
【答案】8
【解析】由
，则
，即
关于
对称；
由
在
上递增且值域为
、
上递增且值域为
，且关于
对称；
又
，根据对称性知：
，
所以
、
且
的图象如下，
所以，在
的两侧各有4 个交点，且4 对交点分别关于
对称，
故任意两个对称的交点横坐标之和为2，所有交点的横坐标之和为8.
故答案为：8
20．（2023 春·江苏扬州）若
是方程
的解，则
在区间________内(填序号).
2
4
0, e
1
1
y
x
2sin π ( 2
4)
y
x
x
( )
2sin π
y
f x
x
(2
)
2sin π(2
)
2sin π
( )
f
x
x
x
f x
2sin π
y
x
(1,0)
1
( )
1
y
g x
x
(
,1)
(0,
)
(1,
)
(
,0)
(1,0)
1
π
1
1
( )
2sin
2
( )
1
2
2
2
1
2
f
g
3
3
( )
2
( )
2
2
f
g
( )
y
g x
( )
y
f x
[ 2,4]
x
1
x
(1,0)
0x
e
2
x
x
0x
9
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①
；②
；③
；④
.
【答案】③
【解析】构造函数
，则
，
，
显然函数f(x)是单调递增函数，且连续不间断，故其有且只有一个零点，
，
，则函数
的零点在区间
上，
所以
的解在区间
上．
故答案为： ③．
21．（2023·全国·高三对口高考）方程
在区间
上有解，则实数a 的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】考查
，因为
，且
开口向上，
故
在区间
上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程
在区间
上有
解，
则
，即
，解得
.
故答案为：
22．（2023 春·湖北）设函数
在区间[
上有零点，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【解析】令
，则
，函数
在区间[
，3]上有零点等价于直线
与曲线
在
上有交点，
2, 1
1,0
0,1
1,2
( )
e
2
x
f x
x
(0)
1
f
(1)
e 1
0
f
(0)
1
0
f
(1)
e 1
0
f
f x
0,1
e
2
x
x
0,1
2
2
0
x
ax
[1,5]
23,1
5
2
2
f x
x
ax
0
2
0
f
f x
f x
[1,5]
2
2
0
x
ax
[1,5]
1
0
5
0
f
f
2
2
1
2
0
5
5
2
0
a
a
23,1
5
a
23,1
5
e
2
x
f x
mx
1 ,3
2
m
3
e e
,
2 6
e
2
0
x
f x
mx
e
2
x
m
x
e
2
x
f x
mx
1
2
y
m
e
2
x
g x
x
1 ,3
2
x
10
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则
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
，
，显然
，
，
即当
时，函数
在
上有零点；
故答案为：
.
23．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数
，若
在区间
上有零点，则
的最
大值为__________.
【答案】
【解析】设
，则
，
此时
，则
，
令
，
当
时，
，
记
，则
，
所以
在
上递增，在
上递减，
故
,所以
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
'
2
1 e
2
x
x
g
x
x
1 ,1
2
x
'
0,
g
x
g x
＜
1,3
x
'
0,
g
x
g x
＞
min
e
1
2
g x
g
1
3
2
1
e
e ,
3
2
6
g
g
1
3
2
e
e
6 ＞
3
e e
,
2 6
g x
m
3
e e
,
2 6
f x
1 ,3
2
3
e e
,
2 6
2
ln
f x
x
ax
b
f x
2,3
ab
2
1
4e
0
0
(
)
0
2,3
f x
x
，
2
0
0
ln
0
x
ax
b
2
0
0
ln
b
x
ax
2
2
0
0
ln
ab
a x
a x
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
ln
ln
ln
2
2
x
x
g a
a x
a x
x a
x
x
0
2
0
ln
2
x
a
x
2
0
max
0
ln
2
x
g a
x
ln
( )
2
x
h x
x
=
2
1 ln
( )
2
x
h x
x
( )
h x
2,e
e,3
max
1
( )
(e)
2e
h x
h
2
0
2
max
0
ln
1
2
4e
x
g a
x
ab
2
1
4e
2
1
4e
11
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24．（2023·广西北海·）若函数
在区间
上存在一个零点，则实数m 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】由函数
在区间
上存在一个零点，则
.
即
，解之得
，
故答案为：
25．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
26．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
有三个不同的零点，其中有两个正零点，则
实数
的取值范围为____.
【答案】
【解析】由
，得
，因为
不是
的零点，
等式两边同时取对数得
，即
，
令
，
，则
，所以
为奇函数，
( )
2
f x
x
m
(1,2)
( 4, 2)
( )
2
f x
x
m
(1,2)
(1)
(2)
0
f
f
(2
)(4
)
0
m
m
4
2
m
( 4, 2)
cos
1(
0)
f
x
x
0,2π
[2,3)
0
2
x
π
≤≤
0
2
x
π
≤
≤
( )
cos
1
0
f x
x
cos
1
x
t
x
cos
1
t
[0,2 π]
t
cos
y
t
4π
2 π
6π
2
3
[2,3)
4
eax
f x
x
a
4
0, e
4
e
0
ax
x
4
eax
x
0
x
f x
4ln
ax
x
4ln x
a
x
4ln x
g x
x
,0
0,
x
4ln
4ln
x
x
g
x
g x
x
x
g x
12
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当
时，
，所以
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以当
时函数取得极大值，即
，
又因为
，当
时，
，当
时，
，
所以可得
的图象如下所示，
又因为有两个正实根，所以
.
故答案为：
27．（2023 秋·宁夏银川·高三校考期末）已知函数
满足
，且
是偶函数，当
时，
，若在区间
内，函数
有2 个零点，则实数a 的取值范围
是________．
【答案】
【解析】当
时，
，
；
故
时，
，
0
x
4ln x
g x
x
2
4 1 ln x
g
x
x
0
e
x
0
g
x
g x
0,e
e
x
0
g
x
g x
e,
e
x
4
e
e
g x
g
极大值
1
0
g
0
x
g x
x
0
g x
g x
4
0, e
a
4
0, e
f x
2
f x
f x
f x
1,0
x
2
f x
x
1,3
loga
g x
f x
x
3,
0,1
x
1,0
x
2
2
f x
f
x
x
x
1,1
x
2
f x
x
13
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当
时，
，即
.
，即
，
，
画出函数图像，如图所示：
当
时，
最多有一个交点，不满足；
当
时，
有两个交点，则
，即
，
.
综上所述：
.
故答案为：
.
28．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数
，
，
若
有2 个不同的零点，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】设
，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
.
综上可得，
.
1,3
x
2
1,1
x
2
2
2
f x
f x
x
log
0
a
g x
f
x
x
loga
f x
x
3
1
f
0
1
a
loga
f x
x
1
a
loga
f x
x
log 3
1
a
log 3
log
a
a a
3
a
3,
a
3,
e ,
0
ln ,
0
x x
f x
x x
g x
f
f x
a
g x
a
,1
h x
f
f x
0
x
e
0
x
lnex
f
f x
x
0
1
x
ln
0
x
ln
e x
f
f x
x
1
x
ln
0
x
ln ln
f
f x
x
,
1
ln ln
,
1
x x
h x
x
x
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函数
的定义域为
，
由复合函数单调性可知函数
单调递增.
又
，
作出
的图象如图所示
由图象可知，当
时，曲线
与
恒有两个交点，
即
有两个零点，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则
有零点的充要条件是______.
【答案】
【解析】函数
有零点
方程
有解.
当
时，方程有一解
；
当
时，方程
有解
，
综上知：
有零点的充要条件是
.
故答案为：
.
ln(ln )
y
x
1,
ln ln
y
x
e
ln ln e
0
h
h x
1
a
h x
y
a
g x
a
,1
,1
2
2
2
1 e x
f x
ax
x
f x
,1
2
2
2
1 e x
f x
ax
x
2
2
1
0
ax
x
0
a
1
2
x
0
a
2
2
1
0
ax
x
0
1,
0
Δ
4
4
0
a
a
a
a
f x
1
a
,1
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30．（2023·全国·模拟预测）已知函数
满足
.当
时，
，则
在
上的零点个数为___________.
【答案】160
【解析】因为函数
满足
，所以
，所以
的最小正周期为3，
当
时，令
，
解得
或
，所以当
时，
有两个零点，
所以
在
上的零点个数为
个.故答案为：160.
1．（2023·陕西西安）已知函数
，则关于
的方程
实数解的个数
为（ ）
A．4
B．5
C．3
D．2
【答案】A
【解析】因为
，解之得
或2，
当
时，
；
当
时，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
，
的图象如图：
f x
3
3
2
2
f
x
f
x
0,3
x
3
2
2
11
14
f
x
x
x
x
f x
120,120
f x
3
3
2
2
f
x
f
x
3
f x
f x
f x
0,3
x
3
2
2
11
14
0
2
2
7
0
f x
x
x
x
x x
x
0
x
2
x
0,3
x
f x
f x
120,120
120
2
2
160
3
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由图可知使得
或
的点有4 个.故选：A.
2．（2023 春·安徽）已知函数
与
的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，
，所以
且
，
，所以
且
，
对比
和
可知，结合
和
只有一个交点，
所以
，故
，故选项A 错误；
因为
在定义域内单调递增，
易知
在
单调递增，
若
，则
，
与a 是
的零点矛盾，故选项B 错误；
若成立，
则有
，即有
，
即有
，故矛盾，所以选项C 错误；
，故选项D 正确．
故选：D．
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3．（2023·湖北·校联考模拟预测）函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则函数
在
上的所有零点之和为（ ）
A．－32
B．32
C．16
D．8
【答案】D
【解析】
函数
是定义在R 上的奇函数,
.
又
函数
,
函数
是偶函
数,
函数
的零点都是以相反数的形式成对出现的.
函数
在
上所有的零点的和为,
函数
在
上所有的零点的和,即函数
在
上所有的零点之和.
即方程
在
上的所有实数解之和.
由
时,
,故有
函数
在
上的值域为
,当且仅当
时,
.
又
当
时,
,如图：
( )
f x
0
x
1
2
1,0
2
( )
1
(
2),
2
2
x
x
f x
f x
x
( )
( ) 1
g x
xf x
[ 6,
)
f x
f
x
f x
1
g x
xf x
1
g
x
x f
x
1
1
x
f x
xf x
g x
g x
g x
g x
6,6
0
g x
6,
g x
6,
1
( )
f x
x
6,
0
2
x
1
2
1
x
f x
1
1
2
1,0
1
2
1,1
2
1
2 ,
2
2
x
x
x
f x
x
f x
x
f x
0,2
0,1
2
x
1
f x
2
x
1
2
2
f
x
f
x
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函数
在
上的值域为
；
函数
在
上的值域为
；函数
在
上的值域为
,当且仅当
时,
,
即方程
在
上的又一个实数解
.即
有一个零点
；
函数
在
上的值域为
,当且仅当
时,
,
故
在
上恒成立,
在
上无零点,同理
在
上无零点,
依此类推,函数
在
无零点.综上函数
在
上的所有零点之和为8,故选：D.
4．（2023·北京）若函数
的零点与
的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数
可
以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，
的零点为
；
对B，
的零点为
；
对C，
的零点为；
对D，
的零点为
；
，
，
，
故
零点在
之间，再用二分法，取
，
，
，故
的零点
，
由题
的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有
的零点符合；
f x
2,4
1
0, 2
f x
4,6
1
0, 4
f x
6,8
1
0, 8
8
x
1
8
f x
1
( )
f x
x
6,8
8
x
1
g x
xf x
8
x
f x
8,10
1
0,16
10
x
1
1
16
10
f x
1
f x
x
8,10
1
g x
xf x
8,10
1
g x
xf x
10,12
g x
8,
1
g x
xf x
6,
( )
f x
3
( )
512
125
g x
x
( )
f x
( )
4
1
f x
x
( ) | 2
1|
f x
x
3
( )
2
f x
x
x
2
( )
(3
1)
f x
x
4
1
f x
x
1
4
( ) | 2
1|
f x
x
1
2
3
( )
2
f x
x
x
1
2
( )
(3
1)
f x
x
1
3
1
1
512
125
64 125
61
0
2
8
g
1
512 125
387
0
g
1
1
0
2
g
g
g x
1 ,1
2
3
4
x
3
27
512
125
216 125
91
0
4
64
g
1
3
0
2
4
g
g
g x
1 3
,
2 4
x
,
f x
g x
( ) | 2
1|
f x
x
19
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故选：B
5．（2023·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数
在
附近一点的函数值可用
代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续
迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程
，选取初始值
，在
下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
令
，即
，可得
，
迭代关系为
，
取
，则
，
，
故选：D.
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知函数
，
，对于下述四个结论：
①函数
的零点有三个；②函数
关于
对称；
③函数
的最大值为2；④函数
的最小值为0．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】由
，令
，
f x
0x
0
0
0
f x
f x
f
x
x
x
3
3
1
0
x
x
0
1
2
x
0.333
0.335
0.345
0.347
3
3
1
f x
x
x
( )
2
3
3
f
x
x
=
-
0
f x
0
0
0
0
f x
f
x
x
x
0
0
0
f x
x
x
f
x
3
3
1
2
2
3
1
2
1
3
3
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
f x
x
x
x
x
x
x
k
f
x
x
x
N
0
1
2
x
3
0
1
2
0
1
2
1
2
1
1
8
1
3
3
3
3
3
4
x
x
x
3
1
2
2
1
1
2
1
2
1
25
27
0.34722
1
3
3
72
3
3
9
x
x
x
cos2
cos
f x
x
x
0,2π
x
y
f x
y
f x
π
x
y
f x
y
f x
2
2cos
cos
1
(2cos
1)(cos
1)
f x
x
x
x
x
0
f x
20
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所以
或
，又
，故
或
或
或
，
所以
的零点有四个，①错；
，
关于
对称，②对；
由
，而
，且含cos x 的二次函数开口向上，
又
，故
的最大值：
时有
，③对；
的最小值：
时有
，④错；
故选：B
7．（2023·新疆·校联考二模）若函数
在区间
上的三个零点为
，
，
，
且
，且
，则下列结论：（ ）
①
的最小正周期为
；
②
在区间
有3 个极值点；
③
在区间
上单调递增；
④
为函数
离原点最近的对称中心．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】令
，则由
，得
，
所以
，由
，得到
如图，由
的图像与性质知，
，
，
1
cos
2
x
cos
1
x
0,2π
x
2π
3
x
4π
3
x
0
x
2π
x
y
f x
2π
cos2(2π
)
cos(2π
)
cos2
cos
( )
f
x
x
x
x
x
f x
y
f x
π
x
2
2
1
9
2cos
cos
1
2(cos
)
4
8
f x
x
x
x
cos
[ 1,1]
x
1
1
| 1
| |1
|
4
4
y
f x
cos
1
x
2
y
y
f x
1
cos
4
x
9
8
y
π
2sin
1
6
f x
x
5π
0, 2
1
x
2
x
3x
1
2
3
x
x
x
1
2
3
7
2
3
x
x
x
f x
π
f x
5π
0, 2
f x
π
0, 2
5π , 1
12
f x
π
6
t
x
5π
0, 2
x
7
,
6
3
t
2sin
1
g t
t
2sin
1
0
g t
t
1
sin
2
t=
sin
y
t
1
2
π
t
t
2
3
3π
t
t
21
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即
化简得
，
将
代入得
，所以
，故①正确；
对于②，因为
，
由
的图像与性质知，函数
的极值点，即函数
的最值点，
所以由
，得到
，
又因为
，所以
或
，
所以
在区间
上有且仅有2 个极值点，故②错误；
对于③，由
，
，得
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，得到
，由
，得到
，
所以
在区间在
上单调递增，在区间
上单调递减，故③错误；
对于④，令
，解得
，当
时，
为最小，
所以函数
离原点最近的对称中心为
，故④错误．
故选：B．
1
2
3
2
4π
π
6
6
6
π
π
x
x
x
1
2
3
2π
2
4π
3
x
x
x
1
2
3
7π
2
3
x
x
x
2
2π
π
T
π
2sin 2
1
6
f x
x
sin
y
x
f x
f x
π
π
2
π,
Z
6
2
x
k
k
π
π ,
Z
3
2
k
x
k
5π
0
4
x
π
3
x
5π
6
x
f x
5π
0, 4
π
0, 2
x
π
2
6
t
x
π 5π
,
6
6
t
2sin
1
g t
t
π π
,
6 2
π 5π
,
2
6
π
π
π
2
6
6
2
x
π
0
3
x
π
π
5π
2
2
6
6
x
π
π
3
2
x
f x
π
0, 3
π π
,
3 2
π
2
π(
Z)
6
x
k
k
π
π ,
2
12
k
x
k
Z
0
k
x
f x
π , 1
12
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8．（2023·全国·统考高考真题）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，则
，
若
要存在3 个零点，则
要存在极大值和极小值，则
，
令
，解得
或
，
且当
时，
，
当
，
，
故
的极大值为
，极小值为
，
若
要存在3 个零点，则
，即
，解得
，
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数
，
的零点
分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为函数
与
的图象关于直线
对称，
图象也关于直线
对称，
3
2
f
x
x
ax
a
, 2
, 3
4, 1
3,0
3
( )
2
f x
x
ax
2
( )
3
f
x
x
a
f x
f x
a<0
2
( )
3
0
f
x
x
a
3
a
x
3
a
,
,
3
3
a
a
x
( )
0
f
x
,
3
3
a
a
x
( )
0
f
x
f x
3
f
a
3
f
a
f x
0
3
0
3
a
f
a
f
2
0
3
3
3
2
0
3
3
3
a
a
a
a
a
a
a
a
3
a
10 (
1)
1
x
x
f x
x
x
lg (
1)
1
x
g x
x x
x
1
x
2
x
1
2
lg
x
x
1
2
1
1
1
x
x
1
2
4
x
x
1
2
10
200
x x
10x
y
lg
y
x
y
x
(
1)
1
x
y
x
x
y
x
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设
与
图象的交点为A，
与
图象的交点为
，
则
与
关于直线
对称，则
，
．
因为
，所以
，则
，即
，
因为
的图象与直线
的交点为
，
所以
，
，
，则
．
故选：ABD.
10．（2023 秋·河北石家庄·高三统考期末）（多选）已知函数
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】如图示，作出
和
的图像.
(
1)
1
x
y
x
x
10x
y
(
1)
1
x
y
x
x
lg
y
x
B
1
1,10x
A x
2
2
,lg
B x
x
y
x
1
2
lg
x
x
1
2
10x
x
1
1
1
10
0
1
x
x
x
1
2
1
1
x
x
x
1
2
1
2
x
x
x x
1
2
1
1
1
x
x
(
1)
1
x
y
x
x
y
x
2,2
1
2
4
x
x
1
1
2
1 10x
x x
x
1
1,2
x
1
2
10
200
x x
1
1
2
2
2
2,
0
1
2
,
0
2
x
x
x
f x
x
x
x
1
2
3
4
f x
f x
f x
f x
1
2
3
4
x
x
x
x
1
2
2
x
x
3
4
0
1
2
x
x
3
4
1
x x
1
2
3
4
0
x
x
x
x
1
1
2
2
2
2,
0
1
2
,
0
2
x
x
x
f x
x
x
x
y
t
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当
时，
.
因为存在
使得
，所以
.
由图示可知
关于
对称，所以
，所以
.故A 正确；
令
，即
，解得：
或
.
所以由图示可知：
.故B 正确.
因为当
时，
，所以
，
，所以
时，
有
，即
的图像关于
对称，所以
关于
对称，所以
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
.故C 错误；
因为
关于
对称，所以
，所以
.
又因为
，所以
.故D 正确.
故选：ABD
11．（2022 秋·四川成都）（多选）已知函数
的两个零点分别为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
0
x
1
1
0
2
2
2
2
f
1
2
3
4
,
,
,
x x x x
1
2
3
4
f x
f x
f x
f x
1
0
2
t
1
2
,
x x
=
1
x
1
2
1
2
x
x
1
2
2
x
x
1
2
f x
1
1
1
2
2
2
2
0
x
x
x
0
x
2
x
3
4
0
1
2
x
x
0
x
1
1
2
2
2
x
x
f x
1
2
2
2
x
x
f
x
1
2
2
2
x
x
f
x
0
2
x
1
1
f
x
f
x
f x
1
x
3
4
,
x x
1
x
3
4
1
2
x
x
3
4
2
x
x
4
3
2
x
x
2
3
4
3
3
3
3
2
1
1, 0
1
x x
x
x
x
x
3
1
x
3
4
1
x x
3
4
,
x x
1
x
3
4
1
2
x
x
3
4
2
x
x
1
2
2
x
x
1
2
3
4
0
x
x
x
x
1
ln
e
x
y
x
1
2
,
x x
1
2
x
x
1
1
2
1
1
x
x
x
2
1
2
1
1
x
x
x
2
1
2
1
1
x
x
x
2
1
2
1
1
x
x
x
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【解析】函数
的两个零点即函数
与
的图象的两个交点的横坐标，作出两个
函数的图象，如下图：
则
，
，即
，
，故D 错误；
由图可知
，且
，
，则
，
由
，
，则
，即
，可得
，即
，
故A、C 正确，B 错误.
故选：AC.
12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知
，
分别是函数
和
的零点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】令
，得
，即
，
，
令
，得
，即
，即
，
，
记函数
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
1
ln
e
x
y
x
1
e
x
y
ln
y
x
2
0
1
x
1
1
x
1
1
0
1
x
2
1
1
x
1
2
1
1
e
e
x
x
1
1
1
ln
e
x
x
2
2
1
ln
e
x
x
1
2
ln
ln
x
x
2
0
1
x
1
1
x
1
2
ln
ln
x
x
1
2
1
ln
ln
x
x
1
2
1
x
x
2
1
1
x
x
1
x
2
x
1
ex
f x
x
1
ln
g x
x
x
1
1
0
2
x
1
2
ln
ln
0
x
x
1
2
e ln
1
x
x
1
2
13
5
6
2
x
x
0
f x
1
1
1
ex
x
1
1e
1
x
x
1 > 0
x
0
g x
2
2
1
ln x
x
2
2
ln
1
x
x
2
ln
2
ln
e
1
x
x
2
1
x
( )
ex
h x
x
0
x
( )
(
1)
0
x
h x
x
e
( )
ex
h x
x
(0,
)
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因为
，
，所以
，故A 错误；
又
，所以
，
，
所以
，故B 正确；
所以
，故C 正确；
又
，所以
，结合
，得
，
因为
，所以
，且
，
因为
在区间
上单调递减，所以
，
即
，故D 正确；
故选：BCD
13．（2023 春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）函数
在区间
上存
在零点，则
的最小值为_________.
【答案】
/
【解析】设为
在
上的零点，可得
，
所以
，即点
在直线
，
又
表示点
到原点距离的平方，
则
有解，即
有解，
令
，可得
，
1
1
1
(
)
e
1
x
h x
x
1
1
( )
e
1
2
2
h
1
1
2
x
1
2
ln
1
1
2
2
(
)
e
1, (ln
)
ln
e
1
x
x
h x
x
h
x
x
1
2
ln
x
x
1
2
ex
x
1
1
2
1
2
1
ln
ln
ln(
)
ln( e )
ln1
0
x
x
x
x x
x
1
2
2
2
e ln
ln
1
x
x
x
x
2
3
1
2
2
( )
e
1
( )
3
3
h
h x
1
2
3
x
1
1
2
x
1
1
2
2
3
x
1
2
1
x x
1
2
1
1
1
x
x
x
x
1
1
2
2
3
x
1
y
x
x
1 2
( , )
2 3
1
1
2
3
1
1
2
3
2
2
x
x
1
2
13
5
6
2
x
x
( )
ex
f x
ax
b
1,3
2
2
a
b
2
2
e
2
1
2 e
t
f x
1,3
e
0
t
at
b
e
0
t
ta
b
,a b
e
0
t
tx
y
2
2
a
b
,a b
2
2
2
e
1
t
a
b
t
2
2
2
2
e
1
t
a
b
t
2
2
e
1
t
g t
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2e
1
2 e
2e
1
1
1
t
t
t
t
t
t
t
g t
t
t
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因为
，
，
所以
恒成立，
可得
在
上为单调递增函数，
所以当
时，
，
所以
，即
的最小值为
．
故答案为：
.
14．（2023·天津·统考高考真题）若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围
为_________．
【答案】
【解析】（1）当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
（2）当
时，
，
即
，
2e
0
t
2
1
0
t
t
0
g t
g t
1,3
1
t
2
min
e
1
2
g t
g
2
2
2
e
2
a
b
2
2
a
b
2e
2
2e
2
2
2
2
1
f x
ax
x
x
ax
a
,0
0,1
1,
2
1
0
x
ax
0
f x
2
1
2
1
0
a
x
a
x
1
1
1
0
a
x
x
1
a
=
1
x
2
1
0
x
ax
1
a
1
1
x
a
=
1
x
=
1
x
1
1
0
a
2
a
1
a
1
1
x
a
2
1
1
1
0
1
1
a
a
a
2
a
1
a
1
1
1
x
a
0
a
1
1
0
a
2
1
0
x
ax
0
f x
2
1
2
1
0
a
x
a
x
1
1
1
0
a
x
x
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若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
；
若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
15．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数
与函数
的图象恰有三个不同
的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则
的取值范围为__________.
【答案】
【解析】依题意，方程
，即
有三个不等实根，
设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为
，
于是
，
1
a
1
x
2
1
0
x
ax
1
a
1
x
1
1
x
a
1
x
1
1
0
a
2
a
1
1
x
a
2
1
1
1
0
1
1
a
a
a
2
a
1
1
1
x
a
0
a
2
1
0
x
ax
2
a
1
1
a
1
1
a
2
0
a
1
1
a
1
0
a
1
0
1
a
1
1
a
1
1
a
1
1
2
a
1
1
a
1
2
a
1, 1
0
a
1
a
,0
0,1
1,
2
( )
( ,
R)
f x
ax
b a b
1
( )
g x
x
x
a
3
3
(
,0)
(0,
)
9
9
2
1
x
ax
b
x
3
2
1
0
a
x
x
bx
1
2
3
,
,
(
0)
x
m
d x
m x
m
d d
3
2
1
[
(
)](
)[
(
)]
a
x
x
a x
m
d
x
m
m
x
b
x
d
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整理得
，
因此
，则
，即有
，解得
或
，
所以
的取值范围是
..
故答案为：
16（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）设
，函数
，若
函数
在区间
内恰有6 个零点，则a 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
最多有2 个根，所以
至少有4 个根由
，可得
，
由
可得
.
时，当
时，
有4 个零点，即
；
当
，
有5 个零点，即
；
当
，
有6 个零点，即
；
当
时，
，
，
当
时，
，
无零点；
当
时，
，
有1 个零点;
3
2
3
2
2
2
2
2
1
1
3
(3
)
(
)
x
x
x
mx
x
m
d
x
m m
d
a
b
a
a
2
2
1
3
1
(
)
m
a
m m
d
a
2
2
1
1
1
(
)
3
9
d
a
a
a
2
2
1
3
3
9
d
a
3
0
9
a
3
0
9
a
a
3
3
(
,0)
(0,
)
9
9
3
3
(
,0)
(0,
)
9
9
R
a
2
2
cos 2
2
,
2
1
5,
x
a
x
a
f x
x
a
x
a
x
a
f x
0,
5 11
9
,
2,
2 4
4
2
2
2(
1)
5
0
x
a
x
a
cos(2
2
)
0
x
a
2
2
,
Z
2
x
a
k
k
1
,
Z
2
4
k
x
a k
1
0
2
4
k
a
a
1
1
2
2
2
a
k
x
a
1
5
2
4
2
a
( )
f x
7
9
4
4
a
1
6
2
5
2
a
( )
f x
9
11
4
4
a
1
7
2
6
2
a
( )
f x
11
13
4
4
a
x
a
2
2
( )
2(
1)
5
f x
x
a
x
a
2
2
Δ
4(
1)
4(
5)
8(
2)
a
a
a
2
a
Δ
0
( )
f x
2
a
Δ
0
( )
f x
30
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当
时，令
，则
，
此时
有2 个零点；
所以若
时，
有1 个零点.
综上，要使
在区间
内恰有6 个零点，
则应满足
或
或
，
则可解得
的取值范围是：
.
故答案为：
.
17．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数
有三个零点，则a
的取值范围是______.
【答案】
【解析】由
得，
，
所以若函数
有三个零点，则方程
有三个根，
设
，则
，
令
得，
或
，
当
时，
，
递减，
当
时，
，
递增，
当
时，
，
递减，
2
a
2
2
( )
2 (
1)
5
2
5
0
f a
a
a a
x
a
a
5
2
2
a
( )
f x
5
2
a
( )
f x
( )
f x
0,
7
9
4
4
5
2
2
a
a
9
11
4
4
5
2
2
a
a
a
或
11
13
4
4
2
a
a
a
5 11
9
,
2,
2 4
4
5 11
9
,
2,
2 4
4
2
ln
f x
x
ax
2
4
0, e
0
f x
2
ln x
a
x
2
ln
f x
x
ax
2
ln x
a
x
2
ln x
g x
x
2
ln
2
ln
x
x
g
x
x
0
g
x
1
x
2e
x
0,1
x
0
g
x
g x
2e
x1,
0
g
x
g x
2e ,
x
0
g
x
g x
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又
，
作出函数
的大致图像，如图，
由图可知，当
时，函数
有三个零点.
故答案为：
.
18．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）若关于
的方程
恰有两个不同的实数解，则实数
__________.
【答案】
【解析】
如图，显然
.
当
时，由单调性得，方程
有且仅有一解.
因此当
时，方程
也恰有一解.
即
为函数
的切线，
，
2
2
4
e
e
g
g x
2
4
0,
a
e
f x
2
4
0, e
x
ex
a x
a
e
0
a
0
x
ex
ax
0
x
ex
ax
y
ax
ex
y
ex
y
32
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令
得
，
故当
时，
，
得
，即
从而
.
故答案为：
19．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若存在实数
及正整数
，使得
在区间
内恰有
个零点，则所有满足条件的正整数
的值共有_________个．
【答案】
【解析】由题意知，
，
令
，
，此时
，
而
，
，
，
则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，
当
时，
，
一个周期
内有两个零点，则
或
；
当
时，
，
一个周期
内有三个零点，则需要
个周期，
即
；
当
时，此时
，解得
，
若
，此时
，
则一个周期
内有四个零点，
则需要
个周期，
即
；
y
a
ln
x
a
ln
x
a
ex
ax
ln
e
ln
a
a
a
ln
a
a a
e
a
e
a
n
cos2
sin
f x
x
a
x
(0, π)
n
2022
n
5
2
cos2
sin
2sin
sin
1
f x
x
a
x
x
a
x
0
f x
sin
t
x
2
2
1
0
t
at
2
8
0
a
1 2
1
2
t t
1
2
2
a
t
t
2
1
t
1
0
1
t
2π
2022
n
2021
n
2
1
t
1
1
2
t
2π
2022
674
3
674 2
1348
n
2
1
0
t
2
1
0
a
1
a
1
1
a
1
0
1
t
2π
2022
1
505
4
2
2 505 1
1011
n
33
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若
，此时
，
，
则一个周期
内有三个零点，
则需要
个周期，
即
；
若
，此时
，
一个周期
内有两个零点，
则
或
.
综上所述，这样的正整数
有个，
分别是
.
故答案为：
20．（2022·全国·高三专题练习）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检
测的总人数是
（
）将
个人的样本混合在一起做第1 轮检测（检测一次），如果检测结果为阴
性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组
人的样本混合在一起做第2 轮检测，每组检测1 次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组
人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必
须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4 轮共7 次检测后确定了所
有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为
，且假设其中有不超过2 名感染
者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n 的最大值为______.
【答案】 2
【解析】若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1 次，第2 轮需检测2 次，第3 轮需检测2 次，第4 轮需
检测2 次，
则共需检测7 次，此时感染者人数最多为2 人；
若待检测的总人数为
，且假设其中有不超过2 名感染者，
若没有感染者，则只需1 次检测即可；
若只有1 个感染者，则只需
次检测；
若只有2 个感染者，若要检测次数最多，则第2 轮检测时，2 个感染者不位于同一组，
1
a
2
1
2
t
1
1
t
2π
2022
674
3
674 2
1348
n
1
a
1
1
t
2π
2022
n
2023
n
n
5
1011,1348,2021,2022,2023
5
2m
m
N
2m
1
2m
2
3
m m
4
1
m
2
3
m m
1
2
2
1
m
m
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此时相当两个待检测均为
的组，
每组1 个感染者，此时每组需要
次检测，
所以此时两组共需
次检测，
故有2 个感染者，且检测次数最多，共需
次检测，
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n 的最大值为
.
故答案为：2，
1
2m
1
2
1
2
1
m
m
2 2
1
4
2
m
m
4
2 1
4
1
m
m
4
1
m
4
1
m
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