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5.2 等比数列
1
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2
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3
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考点一 等比数列基本量的计算
【例1-1】（2024·安徽滁州·三模）已知
是单调递增的等比数列，
，则公比
的值是
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【例1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）等比数列
中，
，
，记
为
的前n 项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【例1-3】（2024·福建福州·模拟预测）等比数列
的前
项和为
，若
，
，
，
，则
（ ）
A．30
B．31
C．62
D．63
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
或9
B．8 或
C．8 或9
D．
或
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．1
B．
或-1
C．
D．
或1
3．（2024·浙江·三模）设
为等比数列
的前
项和，已知
，则公比
（ ）
A．2
B．-2
C．
D．
4．（2024·山东·模拟预测）设等比数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
5．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列
的前
项和为
，则其公比
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 等比中项的性质
4
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【例2-1】（2024·四 川巴中·一模）已知
，
，若a，b，c 三个数成等比数列，则
（ ）
A．5
B．1
C．
D．
或1
【例2-2】（2024·浙江金华·三模）已知
是等比数列，若
，
，则
的值为（ ）
A．9
B．
C．
D．81
【例2-3】（23-24 高二下·辽宁辽阳·期中）在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例2-4】（2024·江苏南通·二模）若
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知数列
满足
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
2．（23-24·上海·阶段练习）已知数列
是等比数列，且
，则
的值为 .
3．（23-24 上海·期中）正项等比数列
中，
与
是
的两个极值点，则
.
4．（2024·湖南株洲·一模）在非直角
中，
、
、
成等比数列，则
的取值范围是
考点三 等比数列片段和的性质
【例3-1】（2024·四川内江·三模）在等比数列
中，
为其前
项和，若
，则
的值为
（ ）
A．25
B．30
C．35
D．40
【例3-2】（23-24 湖北恩施·期中）设
是等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
5
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A．
B．
C．5
D．
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．40
B．-30
C．30
D．-30 或40
3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．8
B．
C．
D．10
考点四 等比数列前n 项和的最值
【例4-1】．（23-24 陕西渭南·期末）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，若
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
中的最大值是
D．数列
无最大值
【一隅三反】
1．（23-24 高三上·广东深圳·阶段练习）设公比为
的等比数列
的前
项和为
，前
项积为
，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．
是数列
中的最小值
2．（23-24 高三上·江西·期中）在等比数列
中，
，
，
，若
为
的前
项和，
6
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为
的前
项积，则（ ）
A．
为单调递增数列
B．
C．
为
的最大项
D．
无最大项
3．（22-23 高三上·福建三明·期中）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并满足条
件
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是数列
中的最大值
C．
D．数列
无最大值
考点五 等比数列奇数项或偶数项的和
【例5-1】（2024 湖北）已知等比数列
的公比
，且
，则
等于（ ）
A．100
B．80
C．60
D．40
【例5-2】（2024 山西太原·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列
，所有项之和为所有偶数项之和的
4 倍，前3 项之积为64，则
（ ）.
A．11
B．12
C．13
D．14
【一隅三反】
1．（2024·浙江宁波·三模）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为
170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
2．（2024 湖北·期末）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则
这个数列的项数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
3．（2024 安徽芜湖·一模）等比数列
共有
项，其中
，偶数项和为
，奇数项和为
，则
A．
B．
C．
D．
考点六 等比数列的实际应用
7
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【例6-1】（2024·北京房山·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初
步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个
人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的
地．”则该人第三天走的路程为（ ）
A．12 里
B．24 里
C．48 里
D．96 里
【例6-2】（23-24 高三上·广东揭阳·期末）从2019 年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每
年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019 年到2023 年底的零件总销售额为202 万元，则该企
业2019 年的销售额约为（参考数据：
，
）（ ）
A．30 万元
B．35.2 万元
C．40.4 万元
D．42.3 万元
【一隅三反】
1．（2024·天津红桥·二模）某同学于2019 年元旦在银行存款1 万元，定期储蓄年利率为
，以后按约定自
动转存，那么该同学在
年元旦可以得到本利和为（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到
公元583 年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为
主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或
复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技
术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张
完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．
在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l 的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对
折6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照
同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7 万元入手
一辆3～5 年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是
万，则
8
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（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17
4 ．（23-24 上海杨浦·阶段练习）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：
“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问
题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加
､
倍，小鼠减半，则（ ）天后两鼠相遇.
A．1
B．2
C．3
D．4
考点七 等比数列的综合运用
【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知数列
的首项
，且满足
（
）．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，求数列
的前
项和
，并证明
．
【一隅三反】
1．（2024·四川自贡·三模）已知数列
的前项和为
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)若
，
，
成等比数列，求
的最大值．
9
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2．（23-24 河南·期中）已知数列
的首项
且
(1)证明:
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
一．单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知等比数列
的前n 项和为
.若
，
，则
（ ）
A．3
B．6
C．12
D．14
2．（2024·云南曲靖·一模）已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．36
B．54
C．28
D．42
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列
中，
为其前n 项和，若
，
，则
的值为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40
4 ．（2024·重庆·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
5．（22-23 全国·单元测试）设正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
的
10
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最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 广东）数列
中，
，对任意
，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．（2023·江西赣州·一模）若等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并且
，
则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最大值为
二．多选题
9．（23-24 高三上·河南·期末）设等比数列
的前
项和为
，且
(
为常数)，则（ ）
A．
B．
的公比为2
C．
D．
10．（2024·吉林·模拟预测）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日
脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛
每天走的路程为前一天的一半，走了6 天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为
，中间四天走
的路程之积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．此人第一天走了全程的一半
B．此人第五天和第六天共走了18 里路
C．
D．
11．（23-24 ·四川绵阳·期中）等比数列
的公比为
，且
成等差数列，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若
，则
11
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C．若
，则
D．
三．填空题
12．（23-24 吉林长春·期末）已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，
，且
．则
．
13．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前
项和为
，则
的值为 ．
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列
满足
，记
，则使得
的最大正整数
的值为 .
四．解答题
15．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列
中，
，
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和.
16．（2024·浙江·三模）在直角坐标平面内有线段
，已知点
是线段
上靠近
的三等分点，点
是
12
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线段
上靠近
的三等分点，……，点
是线段
（
，
）上靠近
的三等分点，设点
的横坐标为
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)若
，
，求
的通项公式.
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列
满足
当
时，
(1)求
和
，并证明当
为偶数时
是等比数列；
(2)求
13
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18．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列
中，
，
．
(1)记
，证明：
为等比数列；
(2)记
为
的前
项和，若
是递增数列，求实数
的取值范围．
19．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)设
，若
是递增数列，求实数
的范围.
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