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专题09 奇偶性、周期性及对称性
考点一
判断函数的奇偶性
考点二
根据奇偶求解析式
考点三
利用奇偶求参数
考点四
利用奇偶求函数值及解不等式
考点五
函数的周期性
考点六
函数的对称性
考点七
单调性与奇偶性的综合问题
考点八
奇偶性与周期性的综合问题
考点九
对称性，周期性与奇偶性的综合问题
一、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶
性
定义
图象特点
偶函
数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于_____对称
奇函
数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于_____对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，
也在定义域内（即定义域关于_____对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____；
（2）
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
_____
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
奇函数
_____
奇函数
偶函数
不能确定
_____
偶函数
1
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奇函数
奇函数
_____
偶函数
_____
（3）若奇函数的定义域包括
，则
．
（4）若函数
是偶函数，则
．
（5）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数
为_____，函数
为奇函数．
②函数
（
且
）为奇函数．
③函数
（
且
）为奇函数．
④函数
（
且
）为_____．
二、函数的周期性
1．周期函数
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，
那么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数
，
.
①若
，则函数的周期为
；②若
，则函数的周期为_____；
③若
，则函数的周期为
三、函数的对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数y=f ( x)
的图像关于点
A(a，b)
对称的充要条件是：
2
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，即f (a−x)+f (a+x)=2b ；
（2）函数y=f ( x)
的图像关于直线_____对称的充要条件是：
f (a+x)=f (a−x)
，即f ( x)=f (2a−x)
。
2．不同函数对称性
（1）函数y=f (a+x)
与y=f (b−x)
的图像关于直线_____成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线y=x 对称。
考点一
判断函数的奇偶性
例1．（2022 秋·高一单元测试）（多选）若正比例函数
的图象经过点
，则函数
在定义
域上是（ ）.
A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．减函数
例2．（2023 春·云南普洱·高三校考阶段练习）（多选）设
是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是
（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是偶函数
D．
是偶函数
例3．（2023·辽宁丹东·统考一模）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2023 春·广东佛山·高三佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）下列函数为偶函数的是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
考点二
根据奇偶求解析式
例5．（2022 秋·高三单元测试）已知
是定义在R 上的偶函数，当
时，
.
(1)求
的解析式；
(2)画出
的图象；
(3)求该函数的值域．
例6．（2022 秋·高一课时练习）已知
是定义在R 上的奇函数，当
时
则
在R 上
的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7．（2023 春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知
为偶函数，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）设函数
与
的定义域是
，函数
是一个偶函数，
是一个奇函数，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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考点三
利用奇偶求参数
例9．（2022 秋·高三课时练习）已知函数
是偶函数，则
________，
________.
例10．（2023 春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知定义域为
的奇函数
则
的值为__________．
例11．（河北省2023 届高三下学期大数据应用调研联合测评（Ⅲ）数学试题）已知函数
，
则“
”是“函数
是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例12．（2023·上海静安·统考二模）已知函数
为偶函数，则函数
的值域为
___________.
考点四
利用奇偶求函数值及解不等式
例13．（2022 秋·高一课时练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，在
上的图象如图所示，
则使
的x 的取值集合为______．
5
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例14．（河南省信阳市2022-2023 学年高三下学期期中数学试题）已知函数
，若
，则
=__________________
例15．（2022 秋·北京房山·高三统考期中）偶函数
在
上单调递减、且
，则
_____________；满足
的x 的取值范围是___________________．
例16．（2022 秋·广东清远·高三校联考期中）如果奇函数
在
上是减函数，且最小值是-5，那么
在
上有最___________（填“大”或“小”）值为____________.
例17．（2022 秋·吉林白山·高三校考阶段练习）定义在R 上的偶函数
满足
，则
函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6
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考点五
函数的周期性
例18．（2022 秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知实数
，函数
的定义域为
，
则“对任意的
，都有
”是“
是函数
的一个周期”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例19．（2021·高一课时练习）如图，从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球.已知第1，2 个是黑球，第
3 个是白球，……，以此类推，第2 019 个球是____（填“白球”或“黑球”）
例20．（2021 秋·高三课时练习）已知函数
的最小正周期为3，则函数
的最小正周期为
______．
例21．（2022 春·陕西西安·高二校考阶段练习）已知定义在R 上的奇函数
满足
，当
时，
，则
________.
考点六
函数的对称性
例22．（2021 春·陕西汉中·高二校考期中）已知函数
满足
，且当
时，
，则
______.
例23．（2023 春·湖北·高三赤壁一中校联考阶段练习）下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图
形的是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
例24．（2023 春·江西·高三校联考阶段练习）设函数
，则（ ）
A．
关于
对称
B．
关于
对称
C．
关于
对称
D．
关于
对称
例25．（2023 春·云南保山·高三校联考阶段练习）若函数
是偶函数，则函数
的图象对
称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七
单调性与奇偶性的综合问题
例26．（2023 春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
.
(1)求函数
的解析式.
(2)若对任意的
，
恒成立，求m 的取值范围.
例27．（2023 春·湖北宜昌·高三校联考期中）已知函数
，若
，则
实数a 的取值范围是_______.
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例28．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例29．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数
在定义域
上满足
，若
在
上是减函数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八
奇偶性与周期性的综合问题
例30．（2021 春·高三课时练习）已知
是定义在
上的周期为3 的偶函数，若
，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例31．（2022 秋·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知函数
如满足：
，
，且
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
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例32．（2023·陕西安康·统考三模）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，
则
（ ）
A．
B．
C．2022
D．2023
例33．（2023·全国·高三专题练习）函数
在
上有定义，且满足
是偶函数，且
，
是奇函数，则
的值为__________ ．
考点九
对称性，周期性与奇偶性的综合问题
例34．（2023 春·湖南·高三校联考期中）（多选）已知定义在R 上的函数
满足条件
，且函数
为奇函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数
是周期函数
B．函数
为R 上的偶函数
C．函数
的图象关于点
对称
D．函数
为R 上的单调函数
例35．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，函
数
为偶函数，
，则
（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
例36．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，且
在
上单调递减，若方程
在
有实数根，则方程
在区间
上所有实数根之和
是（ ）
A．6
B．12
C．30
D．56
例37．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
是偶函数，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2
例38．（四川省资阳市2023 届高考适应性考试数学（理科）试题）已知函数
满足
，
且
是偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
一、单选题
1．（2021 春·高三课时练习）若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为
正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为
天(下图是相继两次满月时，月、地、日相
对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间
为（ ）
11
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A．
天
B．
天
C．
天
D．
天
2．（2022 秋·高一单元测试）奇函数
在
上是增函数，在
上的最大值是8，最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020 秋·安徽合肥·高三合肥市第十一中学校考期中）已知
，若
，则
（ ）
A．－14
B．14
C．6
D．10
4．（2022 秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考期中）已知函数
的图像关于直线x＝1 对
称，则实数a 的取值为（ ）
A．-1
B．1
C．-3
D．3
5．（2023 秋·广东广州·高三校考期末）奇函数
是定义域为
上的增函数，且
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
12
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C．
D．
6．（2022 秋·重庆云阳·高三校考阶段练习）已知
是奇函数,当
时,
， 若
， 则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
7．（2023·陕西西安·校联考一模）定义在R 上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
8．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）函数
的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知
是定义在
上的增函数，且
的图象关于点
对称，
则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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10．（2023·贵州·统考模拟预测）已知函数
的定义域均为
，且
，若
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．0
11．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数且
，当
时，
，则
（ ）
A．10
B．4
C．-4
D．
12．（四川省攀枝花市2023 届高三第三次统一考试文科数学试题）定义在R 上的连续函数
满足
，且
为奇函数.当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．0
二、多选题
13．（2023 秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数
在R 上单调递减，且为奇函数，若
，则满足
的x 值可能为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
14．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数
的定义域为R，且对任意
14
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，都有
，且当
时，
恒成立，则（ ）
A．函数
是R 上的减函数
B．函数
是奇函数
C．若
，则
的解集为
D．函数
(
)+
为偶函数
15．（2022 秋·高三单元测试）下列函数中，即是奇函数，又是（0，+∞）增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2023 秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
是偶函数
D．
三、填空题
17．（2023 秋·广东佛山·高三南海中学校考期末）已知函数
为R 上奇函数，当
时，
，则
时，
____．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
______．
19．（2022 秋·浙江绍兴·高三统考期末）若函数
；且
，则
______.
15
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20．（2023 春·甘肃武威·高三民勤县第一中学校考开学考试）设函数
，若
，则实数m 的取值范围是________．
四、解答题
21．（2023 春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）已知定义在
上的奇函数
，当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
22．（2023 春·河北石家庄·高三石家庄一中校考期中）已知定义在
上的奇函数m=1,n=2 ，（其中
为常数）.
(1)求实数
的值；
(2)求不等式
的解集.
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