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1
平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C19】
（1 ）
图
备用图
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，已知在正方形
中，
为线段
上一点（
与
，
不重合），
，
为线段
上一点，且满足
，
为
为中点，连接
，
．
图
求证：
为等腰直角三角形．
如图，若
为射线
上一点，其它条件不变，且满足
，直接写出
的度
数．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
或
．
∵四边形
是正方形，连接
，交
于点
．
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
2
（2 ）
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形．
如图，过
作
于点
，
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
．
如图，过
作
，
∴
，
3
【标注】
∴
，
∴
．
∴综上所述，
为
或
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
G
D
C
A
B
E
F
图
（3 ）
2. 已知：在正方形
中，
、
分别是射线
、
上的两个动点，点
是
边上，满足
．
如图，当
、
在
、
边上运动时（不与正方形顶点重合），求证：
．
图
如图，在的情况下，连结
，求证：
．
图
如图． 当
、
运动到
、
的反向延长线时，请你直接写出
、
、
三者的数
量关系（不必写出证明过程）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
证明：延长
至
，使
，
连结
∵四边形
是正方形 ，
∴
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形 ∴
∴
．
连结
∵
，且
，
∴
是等腰直角三角形 ，
∴
，
∵ 四边形
是平行四边形，
∴
，
在
中，
，
∴
．
．
5
【标注】【知识点】动点与特殊平行四边形问题
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
在边长为的正方形
中，点
，
分别是
，
边长的两个动点（不与点
，
，
重
合），且
．
图
图
延长交正方形
外角平分线
于点
．依题意将图补全．
小京通过观察、实验提出猜想：在点
运动过程中，始终有
．小京把这个猜想与同
学们交流，形成了证明该猜想的三种想法：
想法：在
上截取
，连接
，要证
，需证
≌
．
想法：作点
关于
的对称点
，连接
，
，
．要证
，需证
为等腰三角形．
想法：将线段
绕点
顺时针旋转
，得到线段
，连接
，
，要证
，需证四边形
为平行四边形．
请你参考上面的想法，帮助小京证明
．（一种方法即可）
【答案】（1 ）
（2 ）
答案见解析．
答案见解析．
依题意补全图形
6
（2 ）法一．在
上截取
，连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
是正方形
的外角平分线，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
≌
，
∴
．
法二．作点
关于
的对称点
，连接
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，点
，
，
在同一条直线上，
∵
，
∴
，
∴
．
法三．将线段
绕点
顺时针旋转
，得到线段
，连
接
，
，
∴
，
∴
，
，
由法一：
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
7
【标注】
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
