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核心2 复数概念与运算
一．单选题.
【求复数的模 山西省2025 学年高三模拟测试】
1．已知
，
，且
，其中i 是虚数单位，则
（ ）
A．10
B．
C．2
D．
【复数的相等 25 高三·江西九江期末】
2．记是虚数单位，复数
满足
，则
（ ）
A．－2 或
B．
或
C．
或2
D．
或2
【复数的分类 2025 年上陕西西安期末测试】
3．如图所示是复数分类的框图，下列空白处应填的是（ ）
A．虚数
B．非纯虚数
C．非实数
D．非纯虚数的虚数（
，
）
【复数代数形式的乘法运算 2025·广东茂名·一模】
4．已知
，
则，
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【复数的除法运算 2025·广东佛山·一模】
5．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【虚数单位i 及其性质 2025 高三上·福建福州模拟测试】
6．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【棣莫佛定理 2025 高三上·云南昭通检测】
7．棣莫佛定理：若复数
，则
，计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【复数的向量表示 2024 年山东菏泽市联考】
8．设复数
对应的向量为
，复数
对应的复数为
，则（ ）
A．
按逆时针旋转
，再拉伸2 倍得到
B．
按顺时针旋转
，再拉伸2 倍得到
C．
按逆时针旋转
，再压缩
倍得到
D．
按顺时针旋转
，再压缩
倍得到
【复数范围内方程的根 2024 吉林长春二模】
9．若
（为虚数单位）是关于
方程
的一个根，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【欧拉公式 2025 年上江苏苏州阶段测试】
10．欧拉公式
是由18 世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈
德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题.
【由复数的类型求参数 2025 高三上·山东菏泽·期末】
11．已知
则（ ）
A．z 有可能为实数
B．z 不可能为纯虚数
C．
的最小值为1
D．若z 在复平面内所对应的点在第三象限，则
【复数的“大小” 2024 河北沧州中学、盐山中学联考】
12．在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域
内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于
是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x
轴上方的复数为正，在x 轴下方的复数为负，在x 轴上的复数即为实数大小．“大小”用
符号+“长度”表示，我们用
来表示复数的“大小”，例如：
，
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在复平面内表示一个圆
B．若
，则方程
无解
C．若
为虚数，且
，则
D．复平面内，复数
对应的点在直线
上，则
最小值为
【四元数 2024 山西长治市·模拟预测】
13．数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843 年，数学家哈密顿发现了四元数．四元
数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位，和
，而且它们有如下关系：
．四元数一般可表示为
，其中
为实数．定义两个四元数：
，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：
关于四元数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，且
，则
【复向量 2024 安徽宣城三模】
14．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对
看作一个向量，记
，则称
为复向量.类比平面向量的相关运算
法则，对于
，
，
，规定如下运算法则：①
；②
；③
；④
.则下
列结论正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．
D．
【收敛点 2024 年浙江宁波阶段检测】
15．已知复变函数
是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数
，由
可以得到
，
，
，…，
，….如果存在一个正实数
，使得
对任意
都成立，那么称
为函数
的收敛点.若
是复变函数
的
收敛点，则复变函数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【新定义--复数比较大小 2025 年上重庆沙坪坝期末】
16．定义复数的大小关系：已知复数
，
，
，
，
，
．若
或（
且
）,称
．若
且
,称
．共余情形均为
．复数u，v，w 分别满足：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【复数加减法几何意义 2025 上河南洛阳期末测试】
17．（多选）在复平面内有一个平行四边形
，点
为坐标原点，点
对应的复数为
，点
对应的复数为
，点
对应的复数为
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．点
位于第二象限
C．
D．
三．填空题.
【复数对应的点所在的象限 2025 高三上·天津和平·期末】
18．若复数
满足
，则
在复平面内对应的点位于第 象限
【纯虚数 2025 上四川南充阶段测试】
19．复数
是纯虚数，则
.
【共轭复数 2025 上浙江杭州阶段测试】
20．复数
（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【等部复数 2024 四川攀枝花·三模】
21．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数
（i
为虚数单位）为“等部复数”，则实数a 的值为
【复数的模 2024·黑龙江哈尔滨·三模】
22．在复平面
内，复数
、
所对应的点分别为
、
，对于下列四个等式：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
.其中恒
成立的等式的个数是
【与复数模相关的轨迹（图形）问题 2025 高三上·安徽阜阳·期末】
23．已知复数
满足
，则
取最小值时，
．
【新交汇・复数与圆锥曲线交汇 2024 湖南长沙长郡中学模考】
24．已知复数
满足
，
（其中
是虚
数单位），则
的最小值为
【新定义运算 2025 高三上贵州·贵阳期末检测】
25．若定义一种运算：
.已知
为复数，且
，则复数
1.试题特点分析：复数几乎是每年一题，主要以考查复数的四则运算为主，偶
尔会与其他知识交汇，整体难度较小.在近几年高考中，复数的考查大都集中在
第1 题或第2 题，分值为5 分，属于基础题型.
2.解题方法阐述：复数解题方法包括以下几种：
（1）化虚为实：即将复数问题转化为实数问题，把较陌生问题转化为我们最熟悉的问题，
求解更方便.
（2）直接利用代数方法：当式子所表达的几何意义不明显时，我们常常直接利用代数方法，
常设复数z=a+bi.
（3）利用几何意义，数形结合：由于复数表示复平面上的一点，且可以用三角形式来表示，
因此它具有鲜明的几何意义，比如复数所描述的轨迹是一个圆、一条曲线等，在做题时如
果充分利用其几何意义，有时会使问题得到快速的解决.
3.解题经验分享：在做选择题或填空题时，可以采用特殊值法或估算的方法.例如，对于
一些关于复数范围或性质的判断，可以取一些特殊的复数进行验证.对于模、实部、虚部等，
可以通过估算“部分”来推断“整体”，或者通过特殊情况来估算一般情况，以位置估算
复数等.
