文档文本内容
第 04 讲 幂函数与二次函数
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................2
高频考点一：幂函数的定义.........................................2
角度1：求幂函数的值...........................................2
角度2：求幂函数的解析式.......................................3
角度3：由幂函数求参数.........................................3
高频考点二：幂函数的值域.........................................4
高频考点三：幂函数图象...........................................4
角度1：判断幂函数图象.........................................4
角度2：幂函数图象过定点问题...................................5
高频考点四：幂函数单调性.........................................7
角度1：判断幂函数的单调性.....................................7
角度2：由幂函数单调性求参数...................................7
角度3：由幂函数单调性解不等式.................................7
高频考点五：幂函数的奇偶性.......................................8
高频考点六：二次函数.............................................9
角度1：二次函数值域问题.......................................9
角度2：求二次函数解析式.......................................9角度3：由二次函数单调性（区间）求参数........................10
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数........................10
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题......................11
第四部分：新定义题（解答题）.......................................12
第一部分：基础知识
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；
②当 时， 在 单调递减；
2、二次函数
形如 的函数叫做二次函数.第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知 是幂函数，则
（ ）
A．3 B． C．6 D．
例题2．（2024上·河北承德·高一统考期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 .
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）若幂函数 的图象经过点 ，则
．
例题2．（2024上·河北保定·高一统考期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 .角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知幂函数 在 上单调递增，则
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期末）已知幂函数 的图象
不经过第二象限，则 （ ）
A． B． 或 C． 或 D．
练透核心考点
1．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若 是定义域为 的幂函数，则
．
2．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高级中学校联考期末）若幂函数 在区间
上单调递减，则 .
3．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知幂函数 在
上单调递减，则 ．
4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 等于
.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·全国·高一假期作业）已知幂函数 在区间 上是减函数．
(1)求函数 的解析式；(2)讨论函数 的奇偶性和单调性；
(3)求函数 的值域．
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024下·河北承德·高二承德县第一中学校联考开学考试）函数 的值域为
．
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）函数 与 在同一平面直角坐标系中的图
象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．当 时，函数 的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过 ， 两点
C．幂函数 图象不可能在第四象限内
D．若幂函数 为奇函数，则 是定义域内的严格增函数
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 ， 的图象恒过定点A，若点A在一次函数
的图象上，其中m， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数 （ 且 互质）的图象关于y轴对称，如图所
示，则（ ）A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
2．（多选）（2024上·重庆北碚·高一统考期末）函数 与 在同一直角坐标系中的
图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2024·全国·高一专题练习）已知幂函数 的图象经过函数 （ 且
）的图象所过的定点，则幂函数 具有的特性是（ ）
A．在定义域内单调递减 B．图象过点
C．是奇函数 D．定义域是高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递减的是
（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源县第一中学校考期中）函数 的单调递减
区间为（ ）
A． B． C． D．
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若 是幂函数，
且在 上单调递增，则 的值为（ ）
A． 或 3 B．1 或 C． D．3
例题2．（2023上·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）已知幂函数 单调
递减，则实数 .
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上单调递减，求满足 的a的取值范围.
例题2．（2023上·广西钦州·高一校考期中）已知 是幂函数.
(1)求 、 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北沧州·高一统考期中）若幂函数 在 上单调递增，则实数
.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 在 上是增函数.
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
4．（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考期中）已知幂函数 在定义域内单调递
增．
(1)求 的解析式；
(2)求关于x的不等式 的解集．高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）“幂函数 在 上为增函数”是“函数
为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
例题2．（2024上·上海虹口·高一统考期末）设 ，若幂函数 的图像关于 轴对称，
且在区间 上是严格增函数，则实数 ．
练透核心考点
1．（多选）（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知函数 为幂函数，则下列结论正确
的为（ ）
A． B． 为偶函数
C． 为单调递增函数 D． 的值域为
2．（2024上·福建南平·高一统考期末）已知幂函数 ．若 是奇函数，则 的值
为 ．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2024上·江西·高一校联考期末）已知函数 ，则 在区间 的值域为（ ）A． B．
C． D．
例题2．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数 满足 ，且 的图象经过点
.
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域.
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数 的图象过点 ，且最小值为
．
(1)求函数的解析式；
例题2．（2024上·青海西宁·高一统考期末）设 ，已知函数过点 ，且函数的对称轴
为 .
(1)求函数的表达式；
(2)若 ，函数的最大值为 ，最小值为 ，求 的值.
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2024下·云南红河·高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数 在区间 内是单
调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．例题2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知幂函数 为偶函数，若函数
在区间 上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2024上·广东中山·高一统考期末）已知函数 在 上的值域是 ，则
的最大值是（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
例题2．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）设二次函数
的值域是 ，则 的最小值是 .
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023上·北京·高一北京市第十二中学校考期中）已知函数 .
(1)若对任意 ，都有 ，则 的解析式；
(2)若函数在区间 上不单调，求实数 的取值范围；
(3)若 ，求 的最小值 .
例题2．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知二次函数 ， ， .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 的最大值 .练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 在 上具有单调性，则k的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知幂函数 为偶函数．
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上是单调函数，求实数 的取值范围．
3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的值域；
(2)若 的最大值为9，求a的值．
4．（2024上·江西·高一校联考期末）已知 是二次函数，且 ， .
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最大值.
5．（2024上·河南周口·高一统考期末）已知函数 ， 的图象关于直线 对称，
(1)求 的解析式；(2)若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值.
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）对于函数 ，若 的图象上存在关于原点对称的点，则称
为定义域上的“G函数”．
(1)试判断 ，（ ）是否为“G函数”，简要说明理由；
(2)若 是定义在区间 上的“G函数”，求实数m的取值范围；
(3)试讨论 在 上是否为“G函数”？并说明理由．
